Уравнение спектральной функции чм сигнала (3 видео)

Частотная модуляция

При частотной модуляции (frequency modulation; FM) мгновенное значение несущей частоты ω(t) связано с модулирующим сигналом e(t) зависимостью (15)

здесь k_Ч — размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад/(В-с).

Полную фазу ЧМ-сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования мгновенной частоты, выраженной через формулу (15),

Уравнение спектральной функции чм сигнала

— максимальное отклонение частоты от значения ω₀, или девиация частоты (frequency deviation) при частотной модуляции;

— максимальное отклонение от текущей фазы ω₀t или девиация фазы несущего колебания называется индексом частотной модуляции (index of frequency modulation). Данный парамер определяет интенсивность колебаний начальной фазы радиосигнала.

С учетом полученных соотношений (1) и (16) частотно-модулированный сигнал запишется в следующем виде:

Спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции.Преобразуем полученное выражение (17)

Спектр ЧМ-сигнала при m«1 (такую угловую модуляцию называют узкополосной). В этом случае имеют место приближенные равенства: (18)

Подставив формулы (18) в выражение (17), после несложных математических преобразований получим (при начальных фазах модулирующего и несущего колебаний θ₀ = 0 и φ₀ = 0): (19)

Видим, что по аналитической записи спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции напоминает спектр АМ- сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (ω₀+ Ω) и (ω₀— Ω) причем и амплитуды их рассчитываются аналогично (только вместо коэффициента амплитудной модуляции М в формуле для ЧМ-сигнала фигурирует индекс угловой модуляции m). Но есть и принципиальное отличие, превращающее амплитудную модуляцию в частотную, знак минус перед одной из боковых составляющих.

Спектр ЧМ-сигнала при m> 1. Из математики известно (20) (21)

где J_n(m) — функция Бесселя 1 -го рода n-го порядка.

В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой формулой (22)

Ряды (20) и (21) подставим в формулу (17), а затем заменим произведение косинусов и синусов полусуммами косинусов соответствующих аргументов. Тогда, с учетом (22), получим следующее выражение для ЧМ-сигнала (23)

Итак, спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией при индексе

модуляции m > 1 состоит из множества высокочастотных гармоник: несущего колебания и бесконечного числа боковых составляющих с частотами ω₀+ nΩ. и ω₀-nΩ, расположенными попарно и симметрично относительно несущей частоты ω₀.

При этом, исходя из (22), можно отметить, что начальные фазы боковых колебаний с частотами ω₀+ nΩ. и ω₀-nΩ совпадают, если m — четное число, и отличаются на 180°, если m — нечетное. Теоретически спектр ЧМ- сигнала (так же и ФМ-сигнала) бесконечен, однако в реальных случаях он ограничен. Практическая ширина спектра сигналов с угловой модуляцией

ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике в радиотехнике и связи, имеют индекс модуляции m>> 1, поэтому

Полоса частот ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией равна удвоенной девиации частоты и не зависит от частоты модуляции.

Сравнение помехоустойчивости радиосистем с амплитудной и угловой модуляцией. Следует отметить, что радиосигналы с угловой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитудной модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к заметному искажению передаваемого сообщения.

2. Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает при неизменной средней мощности колебаний.

Видео:Методы определения девиации частоты ЧМ(FM) сигнала(по ширине спектра, по функции Бесселя)Скачать

Сигналы с частотной модуляцией

Частотно модулированным (ЧМ) сигналом называется сигнал, приращение мгновенной частоты которого относительно среднего значения пропорционально амплитуде модулирующего первичного электрического сигнала U_W(t).

Изменение мгновенной частоты w(t) ЧМ сигнала описывается как функция времени следующим выражением

Максимальное отклонение частоты

, (3)

где а – коэффициент пропорциональности.

Максимальное отклонение частоты Dw(t)_max относительно среднего значения называется девиацией частоты.

Известно, что при ЧМ полная фаза модулированного колебания определяется интегралом от модулирующего сигнала U_W(t):

. (4)

С учетом (4) аналитическое выражение для ЧМ сигнала запишем следующим образом:

. (5)

Если модулирующий сигнал U_W(t) имеет частоту одного тона, то (5) примет вид:

, (6)

где — индекс ЧМ, который равен отношению девиации частоты Dw_m к частоте модулирующего колебания W :

. (7)

Временные диаграммы при ЧМ приведены на рис. 1.

Для определения спектра ЧМ сигнала воспользуемся выражением (6) и, раскрывая косинус суммы двух углов по правилу:

получим: (8)

Сравнивая это выражение с выражением для АМ при тональной модуляции, видим, что спектр ЧМ сигнала значительно сложнее, т.к. здесь соединяются сложные функции cos(m_ЧМ sin W t) и sin(m_ЧМ sin W t), которые представляются тригонометрическим рядом вида:

(9)

(10)

где J_n(m) – бесселева функция первого рода п-го порядка от аргумента, который рассмотрим по графикам позже.

Рис. 1. Временные диаграммы при ЧМ

Подставляя в (8) ряды (9) и (10) и заменяя произведения косинусов и синусов на суммы

приходим к окончательному выражению:

(11)

Из (11) видно, сто спектр ЧМ сигнала при тональной модуляции содержит кроме несущей бесконечное число боковых составляющих, отстоящих на оси частот от значения w_Н на kW, где k – любое целое число от 1 … ¥.

Выражение (11) можно записать более компактно:

(12)

Фазы боковых составляющих спектра ЧМ сигнала определяются для верхних боковых частот

Для четных гармоник нижних боковых частот

Для нечетных гармоник нижних боковых частот

где f – начальная фаза ПЭС.

Амплитуды боковых составляющих А_k пропорциональны соответствующим значениям функций Бесселя:

(16)

На графиках рис. 2 по оси абсцисс отложены значения аргумента функций, по оси ординат — значение самих функций. В зависимости от номера гармоник выбирают соответствующую ей функцию Бесселя J_k(m). Значения функций Бесселя приводятся в справочниках по математике. Из графиков видно, что J_k(m) знакопеременные, убывающие функции. С ростом порядка k наибольшее значение функций уменьшается и отдаляется от начала координат.

Рис. 2. Графики функции Бесселя

Поэтому у спектра ЧМ сигналов с увеличением индекса т_ЧМ происходит изменение структуры спектра (рис. 3). С увеличением т_ЧМ уменьшается амплитуда несущей и возрастают амплитуды боковых частот с большими номерами. Ширина спектра возрастает.

Рис. 3. Спектры ЧМ сигналов при тональной модуляции

Видео:Спектр сигналаСкачать

Сигналы с угловой модуляцией

При угловой модуляции (angle modulation) в несущем гармоническом колебании u(t) = U m cos( w t+ j ) значение амплитуды колебаний U m остается постоянным, а информация s(t) переносится либо на частоту w , либо на фазовый угол j . И в том, и в другом случае текущее значение фазового угла гармонического колебания u(t) определяет аргумент y (t) = w t+ j , который называют полной фазой колебания.

Фазовая модуляция (ФМ, phase modulation — PM). При фазовой модуляции значение фазового угла постоянной несущей частоты колебаний w o пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). Соответственно, уравнение ФМ – сигнала определяется выражением:

u(t) = U m cos[ w o t + k Ч s(t)], (9.2.1)

где k – коэффициент пропорциональности. Пример однотонального ФМ – сигнала приведен на рис. 9.2.1.

При s(t) = 0, ФМ – сигнал является простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией u o (t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний y (t)= w o t+k Ч s(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание w o t. Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига Dy между ФМ – сигналом и значением w o t немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы ( вверх Dj в = k Ч s max (t), или вниз Dj н = k Ч s min (t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = y (t)/dt = ω o + k ds(t)/dt.

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

y (t) = ω(t) dt, и ли y (t) = ω(t) dt + j o .

Частотная модуляция (ЧМ, frequency modulation — FM) характеризуется линейной связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания w o со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности:

w (t) = w o + k Ч s(t). (9.2.2)

Соответственно, полная фаза колебаний:

y( t ) = ω o (t) + k s(t) dt, или y( t ) = ω o (t) + ks(t) dt + j o .

Уравнение ЧМ – сигнала:

u(t) = U m cos(ω o t+ks(t) dt + j o ). (9.2.3)

Аналогично ФМ, для характеристики глубины частотной модуляции используются понятия девиации частоты вверх Dw в = k Ч s max (t), и вниз Dw н = k Ч s min (t).

Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.

Однотональная угловая модуляция. Рассмотрим гармонический модулирующий сигнал с постоянной частотой колебаний ω. Начальная фаза колебаний:

где b — индекс угловой модуляции (modulation index), которым задается интенсивность колебаний начальной фазы. Полная фаза модулированного сигнала с учетом несущей частоты ω о :

y(t) = w o t + b sin( W t).

Уравнение модулированного сигнала:

u(t) = U m cos( w o t + b sin( W t)). (9.2.4)

Мгновенная частота колебаний:

ω(t) = d y (t)/dt = w o + bW cos( W t).

Как следует из этих формул, и начальная фаза, и мгновенная частота изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение от среднего значения ω о равно ω d = bW , и получило название девиации частоты (frequency deviation). Отсюда, индекс угловой модуляции равен отношению девиации частоты к частоте модулирующего сигнала:

Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты W модулирующего сигнала.

При фазовой модуляции девиация частоты прямо пропорциональна W , а индекс угловой модуляции от частоты модулирующего сигнала не зависит:

b = const, ω d = b W.

Напротив, при ЧМ постоянным параметром модуляции является девиация частоты, при этом индекс модуляции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала:

ω d = const, b = ω d / W.

Спектры сигналов с угловой модуляцией.

Формулу (9.2.4) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

u(t) = U m cos( bЧ sin( W t)) cos( w o t) — U m sin( bЧ sin( W t)) sin( w o t). (9.2.6)

При малых значениях индекса угловой модуляции ( b

cos( bЧ sin( W t)) » 1, sin( bЧ sin( W t)) » bЧ sin( w o t).

При их использовании в (9.2.6), получаем:

u(t) » U m cos( w o t) + ( b U m /2)cos[( w o + W )t] + (- b U m /2)cos[( w o — W )t]. (9.2.7)

Сравнение данного выражения с формулой АМ – сигнала (9.1.4) позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при b w o + W и w o — W. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 180 0 относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180 о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса b основная мощность сигнала приходится на несущую частоту.

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением функции (9.2.4) в следующий ряд:

u(t)=U m J k (m) cos[( w o +k W )t],

где J k (m) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента m= b . Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих — нижних и верхних боковых колебаний, с частотами w o ± k W, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям J k (m). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при U m =1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рис. 9.2.2.

При малой величине индекса b значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины b количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ω о спадает немонотонно. На рис. 9.2.2 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота w o в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма физических амплитудный спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модуляции приведена на рис. 9.2.3 .

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

П практ = 2( b +1) W , (9.2.8)

т.е. спектральными составляющими с номерами k>( b +1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b >>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

П практ » 2 bW = 2w d . (9.2.9)

Рис. 9.2.3. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции.

(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)

Отсюда следует, что по сравнению с АМ – сигналами, полоса частот которых равна 2 W , для передачи сигналов с угловой модуляцией требуется полоса частот, в b раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.

Для функций Бесселя имеет также место: J -k (m) = (-1) k J k (m). Это означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами w o +k W и w o -k W совпадают при четных k, и отличаются на 180 о при нечетных k.

Сигналы с многотональной угловой модуляцией отличаются еще большей сложностью спектрального состава. В их спектре присутствуют не только боковые частоты с гармониками частот модулирующего сигнала, но и боковые комбинационные частоты типа w o ± W 1 ± W 2 ± . W i , со всеми возможными комбинациями частот модулирующего сигнала W i . При непрерывном спектре модулирующего сигнала спектры ЧМ и ФМ сигналов также становятся непрерывными.

Демодуляция УМ – сигналов много сложнее демодуляции сигналов АМ.

При демодуляции полностью зарегистрированных цифровых сигналов обычно используется метод формирования комплексного аналитического сигнала с помощью преобразования Гильберта:

u a (t) = u(t) + j u h (t),

где u h (t) – аналитически сопряженный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисляется сверткой сигнала u(t) с оператором Гильберта (1/π t):

u h (t) = (1/π) u(t’) dt’ / (t-t’).

Полная фаза колебаний представляет собой аргумент аналитического сигнала:

Дальнейшие операции определяются видом угловой модуляции. При демодуляции ФМ сигналов из фазовой функции вычитается значение немодулированной несущей ω о t:

j (t) = y (t) — ω o t.

При частотной модуляции фазовая функция дифференцируется с вычитанием из результата значения частоты ω о :

j (t) = y (t)/dt — ω o .

В принципе, данный метод может применяться и в реальном масштабе времени, но с определенной степенью приближения, поскольку оператор Гильберта слабо затухает.

Обычно в реальном масштабе времени используется квадратурная обработка, при которой входной сигнал умножается на два опорных колебания со сдвигом фазы между колебаниями в 90 о :

u 1 (t) = u(t) cos(ω o t) = U m cos(ω o t+ j (t) cos(ω o t) = Ѕ U m cos j( t) + Ѕ cos(2 w o t+ j (t)),

u 2 (t) = u(t) sin(ω o t) = U m cos(ω o t+ j (t) sin(ω o t) = — Ѕ U m sin j( t) + Ѕ sin(2 w o t+ j (t)).

Из этих двух сигналов фильтрами низких частот выделяются низкочастотные колебания, и формируется аналитический сигнал:

u a (t) = Ѕ U m cos j( t) — Ѕj U m sin j( t).

Аргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представляет полную фазу колебаний, обработка которой выполняется аналогично.

Квадратурная модуляция позволяет модулировать несущую частоту одновременно двумя сигналами путем модуляции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. Уравнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модуляции:

s(t) = u(t) cos(ω o t+ j (t)).

Сигнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодуляции. Раскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух АМ-колебаний.

s(t) = u(t) cos(ω o t) cos j (t) – u(t) sin(ω o t) sin j (t).

При a(t) = u(t) cos j (t) и b(t) = -u(t) sin j (t), сигналы a(t) и b(t) могут быть использованы в качестве модулирующих сигналов несущих колебаний cos(ω o t) и sin(ω o t), сдвинутых по фазе на 90 о относительно друг друга:

s(t) = a(t) cos(ω o t) + b(t) sin(ω o t).

Полученный сигнал называют квадратурным (quadrature), а способ модуляции — квадратурной модуляцией (КАМ).

Спектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модуляции (9.1.17) для суммы двух сигналов:

S(ω) = Ѕ A(ω+ω o ) + Ѕ A(ω-ω o ) – Ѕj B(ω+ω o ) + Ѕj B(ω-ω o ).

Демодуляция квадратурного сигнала соответственно выполняется умножением на два опорных колебания, сдвинутых относительно друг друга на 90 о :

s 1 (t) = s(t) cos ω o t = Ѕ a(t) + Ѕ a(t) cos 2ω o t + Ѕ b(t) sin 2ω o t,

s 2 (t) = s(t) sin ω o t = Ѕ b(t) + Ѕ a(t) sin 2ω o t — Ѕ b(t) cos 2ω o t.

Низкочастотные составляющие a(t) и b(t) выделяются фильтром низких частот. Как и при балансной амплитудной модуляции, для точной демодуляции сигналов требуется точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебания.

Пример моделирования квадратурной модуляции в системе Mathcad.

Моделирование выполняется в дискретной форме.

N := 2999 n := 0 .. N D t := 0.001 ‘Интервал и шаг дискретизации (в сек).

f0 := 50 f1 := 2 f2 := 3 ‘Частоты в Гц несущей, первого и второго сигналов.

s1 n := sin(2· p ·f1·n· D t) ‘Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

s2 n := sin(2· p ·f2·n· D t) ‘Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

b := 10 j n := b ·s2 n ‘Перенос информации s2 n на фазу

u n := s1 n ·cos(2· p ·f0·n· D t+ j n ) ‘Амплитудно-фазовая модуляция