Уравнение пуассона примеры решения задач

Формула Пуассона

Содержание:

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Уравнение пуассона примеры решения задачпоявления события Уравнение пуассона примеры решения задачпри большом числе испытаний Уравнение пуассона примеры решения задачнапример, Уравнение пуассона примеры решения задачПо формуле Бернулли (2.1) . Уравнение пуассона примеры решения задач

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами Уравнение пуассона примеры решения задач— числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления Уравнение пуассона примеры решения задачпри больших Уравнение пуассона примеры решения задач

  • Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра—Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность Уравнение пуассона примеры решения задачнаступления события Уравнение пуассона примеры решения задачв каждом испытании стремится к нулю Уравнение пуассона примеры решения задачпри неограниченном увеличении числа Уравнение пуассона примеры решения задачиспытаний Уравнение пуассона примеры решения задачпричем произведение Уравнение пуассона примеры решения задачстремится к постоянному числу Уравнение пуассона примеры решения задачто вероятность Уравнение пуассона примеры решения задачтого,

что событие Уравнение пуассона примеры решения задачпоявится Уравнение пуассона примеры решения задачраз в Уравнение пуассона примеры решения задачнезависимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

Уравнение пуассона примеры решения задач

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

По формуле Бернулли (2.1)

Уравнение пуассона примеры решения задач

или, учитывая, что Уравнение пуассона примеры решения задачт.е. при достаточно больших Уравнение пуассона примеры решения задач

Уравнение пуассона примеры решения задачТак как Уравнение пуассона примеры решения задач

Уравнение пуассона примеры решения задачто Уравнение пуассона примеры решения задач

Строго говоря, условие теоремы Пуассона Уравнение пуассона примеры решения задачпри Уравнение пуассона примеры решения задачтак что Уравнение пуассона примеры решения задачпротиворечит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании Уравнение пуассона примеры решения задач

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Однако, если вероятность Уравнение пуассона примеры решения задач— постоянна и мала, число испытаний Уравнение пуассона примеры решения задач— велико и число Уравнение пуассона примеры решения задач— незначительно (будем полагать, что Уравнение пуассона примеры решения задачто из предельного равенства (2.5) вытекает приближенная формула Пуассона:

Уравнение пуассона примеры решения задач

В табл. III приложений приведены значения функции Пуассона Уравнение пуассона примеры решения задач

Примеры с решением

Пример 2.4.

На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение:

Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна Уравнение пуассона примеры решения задачТак как Уравнение пуассона примеры решения задач— мала, Уравнение пуассона примеры решения задач1825 — велико и Уравнение пуассона примеры решения задачто применяем формулу Пуассона (2.6):

Уравнение пуассона примеры решения задач(по табл. III приложений).

В этом подразделе вы научитесь решать задачи по определению вероятностей редких явлений по формуле Пуассона.

Если в каждом отдельном независимом испытании вероятность одного из событий Уравнение пуассона примеры решения задачили Уравнение пуассона примеры решения задачблизка к нулю, то события называют редкими. Редкими можно считать события: появление ошибки на некоторой странице в книге, телефонный звонок в квартиру за сутки, количество осадков, выпавших за июнь в городе Уравнение пуассона примеры решения задачи др.

Для определения вероятности таких явлений применяется асимптотическая формула Пуассона, названная по имени французского математика С. Пуассона, Уравнение пуассона примеры решения задач Уравнение пуассона примеры решения задач

Теорема 1.8. Если вероятность Уравнение пуассона примеры решения задачсобытия Уравнение пуассона примеры решения задачв каждом повторном испытании связана с числом независимых испытаний Уравнение пуассона примеры решения задачкоторое достаточно велико, то вероятность того, что в Уравнение пуассона примеры решения задачнезависимых испытаниях событие Уравнение пуассона примеры решения задачпроизойдет Уравнение пуассона примеры решения задачраз, приближенно находится по формуле

Уравнение пуассона примеры решения задач

Доказательство. По формуле Бернулли имеем:

Уравнение пуассона примеры решения задач

Выразим Уравнение пуассона примеры решения задаччерез Уравнение пуассона примеры решения задачТак как Уравнение пуассона примеры решения задач

Тогда формула примет вид Уравнение пуассона примеры решения задачНайдем приближенное значение вероятности при Уравнение пуассона примеры решения задачпомощью предела: Уравнение пуассона примеры решения задачПри выводе формулы использован второй замечательный предел:

Уравнение пуассона примеры решения задач

Пределы остальных двучленов равны единице при Уравнение пуассона примеры решения задач Уравнение пуассона примеры решения задачИтак, закон Пуассона применяется для определения вероятности появления Уравнение пуассона примеры решения задачсобытий, происходящих независимо друг от друга с постоянной вероятностью (средней интенсивностью), причем число испытаний Уравнение пуассона примеры решения задачдостаточно велико Уравнение пуассона примеры решения задача вероятность появления события в каждом испытании Уравнение пуассона примеры решения задачмала, т.е. Уравнение пуассона примеры решения задач(или Уравнение пуассона примеры решения задач

Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона приведены в табл. П. 1.

Задача с решением

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более чем на трех веретенах.

Решение:

По условию задачи Уравнение пуассона примеры решения задач

Так как обрыв нити на каждом веретене может либо произойти, либо не произойти, то речь идет о независимых повторных испытаниях. Тот факт, что вероятность обрыва нити мала, дает возможность использовать для решения формулу Пуассона для редких явлений.

Имеем Уравнение пуассона примеры решения задач

Тогда Уравнение пуассона примеры решения задач

Используя формулу Пуассона, имеем:

Уравнение пуассона примеры решения задач

Задача 1.63.

Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного из них в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа:

а) двух элементов;

б) не менее двух и не более четырех элементов;

в) не менее двух элементов в год?

Решение:

Независимые повторные испытания при Уравнение пуассона примеры решения задачвычисляют по формуле Пуассона для редких явлений. Тогда Уравнение пуассона примеры решения задач Уравнение пуассона примеры решения задачНайдем вероятность по табл. П. 1.

Уравнение пуассона примеры решения задач

Задача 1.64.

Уравнение пуассона примеры решения задачполучает в среднем 300 вызовов в час. Какова вероятность того, что в указанную минуту будут два вызова?

Решение:

Количество вызовов в среднем можно найти, если вычислить число вызовов в минуту, т.е. Уравнение пуассона примеры решения задачНайдем

Уравнение пуассона примеры решения задач

Задача 1.65.

Вероятность выхода из строя кодового замка в течение месяца равна 2 %. Какова вероятность того, что в партии из 600 кодовых замков, установленных фирмой на входных дверях домов, 20 замков выйдут из строя в течение месяца?

Решение:

По условию Уравнение пуассона примеры решения задачЕсли применять формулу Бернулли, Уравнение пуассона примеры решения задачто подсчет вероятности будет весьма сложен.

Уравнение пуассона примеры решения задач

Уравнение пуассона примеры решения задач

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Уравнение пуассона примеры решения задачУравнение пуассона примеры решения задач

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Формула ПуассонаСкачать

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку ( 2 ) в ( 1 ) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство ( 3 ) принимает вид:

Выражение ( 4 ) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя ( 2 ) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

  • значение потенциала как непрерывная функция;
  • потенциал должен быть конечной функцией;
  • производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения ( 4 ) будет выражаться для потенциала вида:

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Видео:Формула ПуассонаСкачать

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ :

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z :

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .

Видео:Формула Бернулли. Формула ПуассонаСкачать

Формула Бернулли. Формула Пуассона

Примеры решения задач

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .

Уравнение пуассона примеры решения задач

Решение

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = — A ln ( r ) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ ( r 2 ) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно

φ ( r 1 ) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:

A = ∆ U ln r 2 r 1 .

φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Решение

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ ( r ) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C ‘ 2 .

C 1 , C ‘ 1 , C 2 , C ‘ 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 ( 0 ) = 0 . Получим C ‘ 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C ‘ 2 :

C 2 ln R + C ‘ 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Видео:Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задач

2.3.3. Распределение Пуассона

Случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задач, распределённая по этому закону, принимает бесконечное и счётное количество значений Уравнение пуассона примеры решения задач, вероятности появления которых определяются формулой:

Уравнение пуассона примеры решения задач

Или, если расписать подробно:
Уравнение пуассона примеры решения задач

Вспоминая разложение экспоненты в ряд, легко убедиться, что:
Уравнение пуассона примеры решения задач

Математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно Уравнение пуассона примеры решения задачи дисперсия – тому же самому значению: Уравнение пуассона примеры решения задач.

Во всех задачах параграфа Формула Пуассона мы лишь ПОЛЬЗОВАЛИСЬ распределением Пуассона для приближенного расчёта вероятностей, в то время как ТОЧНЫЕ значения следовало находить по формуле Бернулли, т.е., там имело место биномиальное распределение. И последующие задачи отличаются принципиально
– отличие состоит в том, что сейчас речь идёт именно о РАСПРЕДЕЛЕНИИ Пуассона:

Задача 99
Случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задачподчинена закону Пуассона с математическим ожиданием, равным Уравнение пуассона примеры решения задач. Найти вероятность того, что данная случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задачпримет значение, меньшее, чем её математическое ожидание.

Решение: известно, что математическое ожидание распределения Пуассона в точности равно Уравнение пуассона примеры решения задач, таким образом, случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задачпринимает значения Уравнение пуассона примеры решения задачс вероятностями:
Уравнение пуассона примеры решения задач

Интересующее нас событие Уравнение пуассона примеры решения задачсостоит в трёх несовместных исходах: случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задачпримет значение Уравнение пуассона примеры решения задачили Уравнение пуассона примеры решения задач, или Уравнение пуассона примеры решения задач. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
Уравнение пуассона примеры решения задач– вероятность того, что случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задачпримет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ: Уравнение пуассона примеры решения задач

Аналогичная задача на понимание:

Задача 100
Случайная величина Уравнение пуассона примеры решения задачподчинена закону Пуассона с единичным математическим ожиданием. Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце книги.

Помимо прочего, распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим, если он удовлетворяет условиям стационарности, отсутствия последствий и ординарности.
Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невероятно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в дверь?» – нет уж, увольте, рубить удобнее по порядку.
Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью Уравнение пуассона примеры решения задачзаявок в некоторую единицу времени (минуту, час, день или в любой другой). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени, в систему поступит ровно Уравнение пуассона примеры решения задачзаявок, равна:

Уравнение пуассона примеры решения задач

Поразительно, с какой скоростью устаревают задачи:

Задача 101
Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение: используем формулу Пуассона:
Уравнение пуассона примеры решения задач

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
Уравнение пуассона примеры решения задачвызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
Уравнение пуассона примеры решения задач– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:
Уравнение пуассона примеры решения задач

По формуле Пуассона:
Уравнение пуассона примеры решения задач– вероятность того, что в течение 5 минут не будет ни одного звонка.

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
Уравнение пуассона примеры решения задач– вероятность того, что в течение 5 минут будет хотя бы один вызов.

Ответ: а) Уравнение пуассона примеры решения задач, б) Уравнение пуассона примеры решения задач

Обращаю внимание, что в отличие от задач параграфа Формула Пуассона, эту задачу уже нельзя решить по формуле Бернулли. По той причине, что заранее не известно общее количество исходов Уравнение пуассона примеры решения задач(точное количество звонков в тот или иной час).
И предсказать это значение, разумеется, невозможно.

Для самостоятельного решения:

Задача 102
Среднее число автомобилей, проходящих таможенный досмотр в течение часа, равно 3. Найти вероятность того, что: а) за 2 часа пройдут досмотр от 7 до 10 автомобилей; б) за пол часа успеет пройти досмотр только 1 автомобиль.

Таможня пройдена, достаём припрятанное:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

🔍 Видео

Приближенная формула Пуассона: примеры задач и расчеты в ExcelСкачать

Приближенная формула Пуассона: примеры задач и расчеты в Excel

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема Бернулли

Теорема Пуассона | Распределение Пуассона | Теория вероятностейСкачать

Теорема Пуассона | Распределение Пуассона | Теория вероятностей

Задача №7 теория вероятностей контрольная работа Формула ПуассонаСкачать

Задача №7 теория вероятностей   контрольная работа   Формула Пуассона

Формула БернуллиСкачать

Формула Бернулли

7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения Пуассона

9. Уравнение ПуассонаСкачать

9. Уравнение Пуассона

Закон Пуассона распределения случайной величиныСкачать

Закон Пуассона распределения случайной величины

Адиабатный процесс. 10 класс.Скачать

Адиабатный процесс. 10 класс.

29. Адиабатический процесс. Уравнение ПуассонаСкачать

29. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Локальная формула Муавра-ЛапласаСкачать

Локальная формула Муавра-Лапласа

Математика без Ху!ни. Сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности.Скачать

Математика без Ху!ни. Сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности.
Поделиться или сохранить к себе: