Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Видео:Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Уравнение в частных производных  Уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности

При решении задач, связанных с нахождением температурного по­ля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло­проводности.

Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса.

Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сде­ланы следующие допущения:

– физические параметры постоянны;

– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

– внутренние источники теплоты в теле Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессараспределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:

количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время теп­лопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмо­трения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(*)

где dQ1 – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время ;

dQ2 – количество теплоты, Дж, которое за время выделилось в элементарном объем Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаза счет внутренних источников;

dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, за время dτ.

Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQx, dQy, dQz.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаКоличество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz.

Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время , составляет Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса,

где qx – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса.

Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время в направлении оси Ох

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Функция Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаявляется непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Если ограничиться двумя первыми членами ряда:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.

Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Обозначим через Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, Вт/м 3 , ко­личество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.

Тогда Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, под­веденная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энер­гии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса– изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);

ρ – плотность вещества, кг/м 3 .

Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса,

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса; Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса; Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса.

где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(***)

Выражение (***) называется дифферен­циальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь меж­ду временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаи Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Тогда выражение (***) имеет вид:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Выражение (***) в цилиндрической системе координат:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаВывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где r – радиус-вектор;

φ – полярный угол;

Коэффициент пропорциональности а, м 2 /с, назы­вается коэффициентом температуропроводности и явля­ется физическим параметром вещества.

Он характеризует скорость изменения темпера­туры, т.е. являет­ся мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффи­циентом температуропроводности.

Коэффициент температуропроводно­сти зависит от природы вещества.

Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффи­циентом температуропроводности.

Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температу­ропроводности.

Если система тел не содержит внутренних источ­ников теплоты (qυ=0), то

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, то

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведен­ная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(**)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, то

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где сp – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).

В итоге (**) имеет вид:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

|следующая лекция ==>
СПОСОБЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛОТЫ|Условия однозначности для процессов теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопро­водности в самом общем виде

Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 4650 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

  • • внутренние источники теплоты отсутствуют;
  • • среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;
  • • используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется следующим образом: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 4.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей х, у, z. Через площадку dxdy за время dt согласно уравнению Фурье проходит количество теплоты Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

(gradГ взят в виде частной производной, так как предполагается зависимость температуры не только от х, но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— температура второй грани, а величина Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаопределяет

изменение температуры в направлении Z-

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Рис. 4.2. Схема распространения тепла к выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счет потока тепла в направлении оси z равно

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счет потока тепла в направлении оси у выразится аналогичным уравнением

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

а в направлении оси х

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где dxdydz — объем параллелепипеда; dxdydzp — масса параллелепипеда; с — удельная теплоемкость среды; р— плотность среды; Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— изменение

температуры в данной точке среды за время dt.

Левые части уравнений (4.19) и (4.20) равны, поэтому

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

или Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

и обычно обозначают сокращенно V 2 ; величину Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаназывают тем

пературопроводностью и обозначают буквой а. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Уравнение (4.23) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке поля.

Температуропроводность Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаявляется физическим параметром вещества и имеет единицу м 2 /с. В нестационарных тепловых процессах а характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (4.23) следует, что изменение температуры во

времени Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессадля любой точки тела пропорционально величине а.

Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где qy удельная мощность источника, т.е. количество выделяемой теплоты в единице объема вещества за единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где г — радиус-вектор в цилиндрической системе координат; ф — полярный угол.

Видео:Вывод уравнения теплопроводностиСкачать

Вывод уравнения теплопроводности

Дифференциальные уравнения теплопроводности и конвективного теплообмена

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

18 Дифференциальные уравнения

теплопроводности и конвективного

18.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности

В соответствии с первым законом термодинамики теплота, передаваемая твёрдому телу из окружающей среды, при отсутствии работы деформации полностью трансформируется во внутреннюю энергию тела.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаУравнение теплового баланса для элемента с величиной рёбер Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(рисунок 18.1) в однородном твёрдом теле имеет вид:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, (18.1)

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессагде Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— элементарная теплота, передаваемая через грани выделенного элемента в направлении осей x, y,z ; dU — изменение внутренней энергии элемента.

В направлении оси x через грань dydz за время dt поступает в соответствии с законом Фурье теплота

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

За то же время через противоположную грань, расположенную на расстоянии dx от первой и имеющую температуру Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, из элемента передается теплота

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Результирующая теплота, подведенная теплопроводностью к элементу в направлении оси х, равна

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.2)

Аналогично определяется результирующая теплота в направлении осей y и z :

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.3)

Изменение внутренней энергии элемента составляет

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.4)

C учетом (18.2-18.4) уравнение (18.1) имеет вид:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.5)

После сокращений в уравнении (18.5) получается:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.6)

Выражение (18.6) называют дифференциальным уравнением теплопроводности. Его записывают и в таком виде:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, (18.7)

где Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессакоэффициент температуропроводности, характеризующий темп изменения температуры;

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— оператор Лапласа.

Уравнение (18.7) описывает в самом общем виде процесс теплопроводности и устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела. Для его решения применительно к определенной задаче необходимо математическое описание конкретных условий, называемых условиями однозначности, которые включают:

временные или начальные условия, определяющие распределение температуры в теле в начальный момент;

геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

физические условия, задаваемые теплофизическими параметрами вещества, составляющего рабочее тело;

граничные условия, определяющие характер взаимодействия тела с окружающей средой на границе соприкосновения.

Начальные условия имеют смысл при нестационарной теплопроводности и обычно задаются законом распределения температур по всему объему тела для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Если для любого момента времени известно распределение температур на границе тела, то это называют граничными условиями первого рода.

При граничных условиях второго рода задаётся поверхностная плотность теплового потока (а, следовательно, и температурный градиент) в каждой точке поверхности тела для любого момента времени. Температура на поверхности тела при этом неизвестна.

Граничные условия третьего рода предполагают, что известна температура окружающей среды и закономерность взаимосвязи между этой температурой и температурой тела. В условиях конвективного теплообмена связующим является уравнение Ньютона-Рихмана.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности позволяет получить температурное поле исследуемого тела для любого частного случая в любой момент времени. Такое аналитическое решение позволяет в ряде случаев избавиться от проведения сложных и дорогостоящих экспериментальных работ.

18.2 Распределение температур в однослойной

плоской стенке

Пусть теплота передается через плоскую стенку (рисунок 15.2а) толщиной d. Размеры стенки в направлении осей о-z и o-y не ограничены. Тепловой поток постоянный и не зависит от времени. Температура горячей поверхности стенки равна Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, температура холодной поверхности — Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса.

Для этого случая одномерной задачи уравнение теплопроводности (18.7) имеет вид:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.8)

При принятых граничных условиях первого рода (Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса) последовательное интегрирование формулы (18.8) даёт:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.9)

Выражение (18.9) показывает линейную зависимость температуры по толщине стенки.

Для определения констант интегрирования используются граничные условия:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

После подстановки констант в формулу (18.9) выражение для определения температуры в любом сечении стенки предстанет в таком виде:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, (18.10)

где x — отстояние сечения от начала координат

18.3 Теплопроводность при нестационарном режиме

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при нагревании и охлаждении металлических заготовок в литейном и кузнечном производствах, при обжиге кирпича, при запуске дизельных дизельных или карбюраторных двигателей, при прогреве холодных зданий, при замерзании рек и водохранилищ и т. д.

Как отмечалось в п 15.1 , нестационарная теплопроводность характеризуется уравнением

Указанная зависимость может быть определена из решения дифференциального уравнения теплопроводности (18.6) при граничных условиях третьего рода методами теории подобия.

Для одномерной нестационарной задачи изменение температуры по оси х и во времени определяется выражением, полученным из уравнения теплопроводности (18.7), которое для этого случая имеет вид:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Обработка этого выражения методами теории подобия выявляет число Фурье:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.11)

Обработка уравнения (18.11) , характеризующего граничные условия третьего рода, выявляет число подобия Био:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где l — характерный линейный размер геометрической системы, λ – теплопроводность стенки.

Число Био отличается от числа Нуссельта тем, что оно содержит теплопроводность материала тела, а не теплопроводность движущейся около тела жидкой или газообразной среды. Это число определяет соотношение теплоты, переданной конвективным способом, и теплоты, переданной внутри тела теплопроводностью.

Искомая функция в виде безразмерной температуры определяется в общем случае выражением

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса. (18.12)

В качестве примера ниже рассматривается процесс охлаждения равномерно прогретой пластины с начальной температурой t , которая омывается с обеих сторон жидкостью или газом с температурой Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессапри коэффициенте теплоотдачи a. Размеры пластины в направлении осей y и z считаются неограниченными, а физические характеристики материала пластины — теплопроводность l, теплоёмкость с и плотность r — постоянными.

Решение задачи представляется в виде:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.13)

где Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— температуры на поверхности и в центральном сечении пластины.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаОтсутствие в формулах (18.13) линейного симплекса объясняется тем, что в средней плоcкости и на поверхности пластины температуры постоянны и изменяются только в направлении оси x.

Теплота, передаваемая пластиной в окружающую среду за время t, равно изменению внутренней энергии пластины за период охлаждения.

Начальная внутренняя энергия пластины, отсчитанная от внутренней энергии при температуре среды как от нуля, равна

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.14)

Отношение теплоты, переданной за период t, к начальной внутренней энергии пластины определяется также безразмерными числами Био и Фурье:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.15)

Конкретные решения уравнений (18.13,18.15) обычно представлены в виде графиков или в табличной форме (cм. таблицу 18.1). При решении конкретной задачи вначале подсчитывают числовые значения определяющих критериев, а затем, пользуясь таблицей, находят искомые значения.

Решения, аналогичные вышеизложенному, имеются для других геометрических систем — цилиндрических тел, шаров и др.

Таблица 18.1 — Расчётные зависимости для пластины

18.4 Дифференциальные уравнения конвективного

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена учитывают особенности гидродинамики потока и влияние различных факторов на теплообмен между потоком и поверхностью твердого тела.

Гидродинамика потока описывается уравнением движения вязкой жидкости (уравнением Навье-Стокса) и уравнением неразрывности (сплошности) потока.

Уравнение движения учитывает влияние сил инерции (левая часть

уравнения), сил вязкостного трения (третье слагаемое в правой части), сил статического давления (второе слагаемое в правой части) и гравитационных сил (первое слагаемое в правой части). Оно определяет поле скоростей во времени, а также в пространстве, и в проекции на ось х имеет следующий вид:

где выделенное скобками в левой части выражение представляет собой полную или субстанциальную (в пространственных и временных координатах) производную от скорости Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса. С учетом этого

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.16а)

Аналогично записываются уравнения в проекции на оси y и z:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.16б)

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.16в)

В формулах (18.16): r — плотность вязкой жидкости, Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— проекции скорости на соответствующие оси x, y и z , p — давление, m — коэффициент динамической вязкости.

Уравнение сплошности выводится на основе закона сохранения массы и говорит о том, что в любом сечении неразрывного потока жидкости или газа массовый расход имеет одно и то же значение:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.17)

В основу вывода дифференциального уравнения энергии для движущегося потока сжимаемой вязкой жидкости положен закон сохранения энергии. Это уравнение определяет изменение температуры жидкости во времени и в пространстве. В отличие от дифференциального уравнения теплопроводности в уравнении энергии учитывается то обстоятельство, что в движущемся потоке температура изменяется не только за счет нагревания или охлаждения, но и в связи с изменением положения этой жидкости в пространстве. Этим объясняется появление в правой части формулы (18.19) субстанциальной производной от скорости:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.19)

Дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплообмена на границе жидкости и стенки (16.3) , уже было применено ранее в п. 16.2.

18.5 Условия гидродинамического подобия

Для двух подобных систем, в которых протекают подобные процессы, записываются уравнения движения

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.20)

Для подобных процессов

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Если выразить переменные второй системы через переменные первой системы и множители подобного преобразования, то получится

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.21)

Тождественность уравнений (18.20) и (18.21) возможно при следующем условии:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Из равенства Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаполучается индикатор подобия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаи число гомохронности

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Из условия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаполучается индикатор подобия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, которому соответствует число Фруда

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Следующее равенство Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессадаёт индикатор подобия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаи число Эйлера

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Из условия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаследует индикатор подобия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаи число Рейнольдса

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

где Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса— кинематическая вязкость.

Из полученных чисел подобия определяющим в гидродинамических задачах является число Эйлера

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.22)

Для стационарных гидродинамических процессов, когда фактор времени не имеет значения, выражение (18.22) упростится

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.23)

При естественной конвекции скорость потока определить чрезвычайно сложно, поэтому часто число Фруда преобразуют в более удобное число Грасгофа, которое равно произведению числа Фруда на квадрат числа Рейнольдса и отношение плотностей свободно движущейся среды:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса, (18.24)

где b — температурный коэффициент объемного расширения жидкости.

Замена отношения плотностей произведением температурного объемного коэффициента на разность температур объясняется тем, что причиной естественной конвекции является разность плотностей жидкости, которая образуется из-за изменения температуры.

Анализ уравнения сплошности (18.17) показывает, что новых чисел подобия, кроме тех, что получены из уравнений энергии, движения и теплообмена, это выражение не дает.

18.6 Тепловое подобие

Ранее, в главе 16, было показано, что из дифференциального уравнения, описывающего процесс теплообмена на границе между жидкостью и стенкой, получается число Нуссельта

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Уравнения, описывающие процесс энергообмена в потоке жидкости, для двух подобных систем

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Множители подобных преобразований равны

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Переменные второй системы выражаются через переменные первой системы и множители подобного преобразования:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Условия подобия определяются равенством

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Из первого равенства следует индикатор подобия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаи уже знакомое (см. п.18.3) число Фурье

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Из второго равенства получается индикатор подобия Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процессаи число Пекле

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

При делении числа Пекле на число Рейнольдса получается новый безразмерный комплекс — число Прандтля:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса

Условия теплового подобия процессов в общем виде выглядит так:

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.25)

Для стационарных процессов числа подобия, имеющие в своем составе время, не являются определяющими, и уравнение (6.23) в этом случае упрощается

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.26)

При свободной конвекции, когда вынужденное движение отсутствует, число Рейнольдса, характеризующее этот режим, отсутствует

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для установившегося и неустановившегося процесса(18.27)

Конкретный вид критериальных зависимостей для различных случаев конвективного теплообмена дан ранее в главе 17 .

💥 Видео

Демидович №4450: вывод уравнения теплопроводностиСкачать

Демидович №4450: вывод уравнения теплопроводности

Решение неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Решение неоднородного уравнения теплопроводности

Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.

Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать

Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | Физика

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

6-1. Уравнение теплопроводности

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезке

Одномерное уравнение теплопроводности. Виды краевых задачСкачать

Одномерное уравнение теплопроводности. Виды краевых задач

Уравнение теплопроводности в цилиндрических координатахСкачать

Уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах

Решение задачи теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение задачи теплопроводности методом конечных разностей

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводностиСкачать

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводности

Закон и уравнение теплопроводностиСкачать

Закон и уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)Скачать

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)
Поделиться или сохранить к себе: