Уравнение параболы и гиперболы 9 класс (5 видео)

Содержание

Алгебра. Урок 5. Графики функций
Декартова система координат
Функция
Прямая
Парабола
Гипербола
Квадратный корень
Возрастающие/убывающие функции
Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Презентация по теме «Замечательные кривые: парабола, эллипс, гипербола»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Краткое описание документа:
Разница между параболой и гиперболой
📽️ Видео

Видео:ПАРАБОЛЫ И ГИПЕРБОЛЫ НА ИЗИСкачать

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Декартова система координат

Функция

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Видео:Графики функций|Парабола, прямая и гиперболаСкачать

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.

Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.

Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.

Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .

Если D > 0 – две точки пересечения.
Если D = 0 – одна точка пересечения.
Если D 0 – нет точек пересечения.

Видео:Как получить легкий балл на ОГЭ? / Подробный разбор заданий с графиками функций по математикеСкачать

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Видео:Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Видео:Как запомнить графики функцийСкачать

Возрастающие/убывающие функции

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Презентация по теме «Замечательные кривые: парабола, эллипс, гипербола»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Замечательные кривые: парабола, эллипс, гипербола Работу выполнила ученица 9 класса «Г» МОУ гимназии имени А. Л. Кекина Андреева Елена учитель: Иванченко И. А.

Обоснование выбора темы реферата Я выбрала именно эту тему для создания реферата, потому что не хочется ограничиваться объемом информации из школьного курса по интересным для меня темам, кривые второго порядка одна из них. Интересно узнать различные свойства параболы, эллипса и гиперболы и многое другое о них.

Цель реферата Целью проекта является закрепление и углубление знаний по изучению свойств кривых второго порядка.

Задачи Вывести определение и уравнение параболы. Выяснить, что такое касательная к параболе и в чем заключается оптическое свойство параболы. Узнать, как строится парабола. Вспомнить определение и вывести каноническое уравнение эллипса и гиперболы. Выяснить, что такое директриса эллипса и гиперболы и их оптическое свойство. Узнать, как строится эллипс и гипербола.

История кривых второго порядка Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривые второго порядка 1) парабола 2) эллипс 3) гипербола

Что такое парабола? Найдем множество всех точек, для каждой из которых расстояние до данной прямой равно расстоянию до данной точки, не лежащей на данной прямой. Для любой точки М(x;y) расстояние MM’ до прямой d равно |y + |, а расстояние MF равно Если точка M(x;y) принадлежит искомому множеству, то MM’ = MF, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению |y + |=

Точка F называется фокусом, а прямая d – директрисой этой параболы. Для любой параболы существуют прямая(директриса параболы) и точка(фокус параболы), такие, что расстояние от любой точки параболы до директрисы равно расстоянию от этой точки до фокуса.

Директрисой параболы y=ax2 является прямая d, заданная уравнением y= , а фокусом – точка F (0; ) Для произвольной точки М(x;ax2), лежащей на параболе, расстояние ММ’ до директрисы равно ax2+ , а расстояние MF до фокуса равно . Преобразуя подкоренное выражение, получаем, что MF= = ax2 + . ММ’=МF.

Параболой называется линия, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых расстояние до данной прямой (директрисы параболы) равно расстоянию до данной точки ( фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

Касательная к параболе Уравнение секущей МоМ1 имеет вид

Оптическое свойство параболы Любой луч света, исходящий из фокуса, после отражения от параболы становится параллельным оси параболы ( оси Оу).

Парабола в современном мире Параболу мы можем увидеть: в природе в струе фонтана в архитектуре

Что такое эллипс Эллипсом называется линия, состоящая из всех таких точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 имеет одно и то же значение, большее чем F1F2.

Точки F1 и F2 фокусы эллипса. 2с — расстояние между фокусами 2а – постоянная величина, равная сумме расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов 2с 0, а в случае гипербо. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(24, 0, true)» >

Директриса эллипса и гиперболы В случае эллипса a2 – c2>0, а в случае гиперболы a2 – c2 1).

Если к обеим частям уравнения (2) прибавить 2xc,получится = , Числитель левой части — расстояние от точки М (х; у) до фокуса F1( -c ; o) Знаменатель — расстояние от точки М (х; у) до прямой d1 x =

Каждому фокусу эллипса ( и также гиперболы) соответствует такая прямая, что отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей прямой имеет одно и то же значение. Прямые d1 и d2 называются директрисами эллипса(гиперболы).

Оптическое свойство эллипса и гиперболы В фокусе F1,помещен источник света. Тогда, любой луч света, вышедший из фокуса F1,отразившись в какой-то точке М от эллипса, проходит через фокус F2.

Возьмем на плоскости две точки F1 и F2 и рассмотрим всевозможные эллипсы и гиперболы, для которых эти точки являются фокусами. Каждая из этих гипербол пересекается с каждым эллипсом под прямым углом, т. е. угол между касательными к гиперболе и к эллипсу, проведенными через точку пересечения гиперболы и эллипса, равен 90۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫.

Эллипс в современном мире Эллипс можно увидеть: в природе в архитектуре в обыденной жизни

Гипербола в современном мире Гиперболу можно увидеть: в природе в самолетостроении в средстве связи

Задача 1 Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ox. Решение. y2 = 2px и y2 = -2px. Параметр параболы p есть расстояние от директрисы параболы до фокуса. Расстояние от фокуса до вершины равно половине параметра. Значит, у нас . Подставляя это значение p в каждое из только что написанных уравнений, получим y2 = 16x и y2 = -16x. Эскизы парабол указаны на рисунках

Задача 2 Парабола симметрична относительно оси Ox, проходит через точку A(4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение. Решение. Так как парабола проходит через точку A(4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде y2 = 2px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь искомым уравнением будет Эскиз этой параболы показан на рисунке

Задача 3 Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами 30. Решение Вершины параболы лежат на ее действительной оси. По условию 2a = 20; 2c = 30. Значит, a = 10; c = 15; a2 = 100; c2 = 225. Величины a, b, c у гиперболы связаны соотношением a2 + b2 = c2; отсюда b2 = c2 — a2 = 225 — 100; b2 = 125. Значит, уравнением гиперболы будет

Задача 4 Найти уравнение асимптот гиперболы 2×2 — 3y2 = 6. Решение У гиперболы две асимптоты, определяемые уравнениями (1) Следует найти a и b. Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разделив обе его части на 6. Получим Отсюда заключаем, что . Подставляя эти значения a и b в уравнения асимптот (1) получаем и .

Задача 5 Сумма полуосей эллипса a + b = 12, а расстояние между его фокусам Составить простейшее уравнение эллипса. Решение a + b = 12, . Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что ; c2 = 18; a2 — b2 = c2. Поэтому (a + b)(a — b) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a — b = 1,5. Решая систему уравнений получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде

Задача 6 Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) его полуоси a = 6, b = 4; б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16; Решение а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид . Подставляя сюда a = 6, b = 4, получим б) Имеем 2c = 10; c = 5; 2a = 16; a = 8. Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a2 — b2 = c2, или b2 = a2 — c2. В нашем случае b2 = 64 — 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид

Литература 1. Планирование к учебнику «Геометрия», 7-9 классы, Шарыгин И.Ф. 2. Замечательные кривые (2-е изд.) Маркушевич А. И. Государственное издательство технико-теоретической литературы 1952 3. Математика. Справочное пособие. Для школьников старших классов и поступающих в вузы. Рывкин А.А., Рывкин А.З. 4. «Наглядная геометрия. 5-6 классы: пособие для общеобразовательных учреждений» Шарыгин, Ерганжиева 5. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» автор статьи И. Бронштейн. 6. «Занимательное черчение» автор В. Зорин 7. Дополнительные главы к школьному учебнику по геометрии автор Л. Атанасян 8. Источник из интернета : http://www.etudes.ru/ru/mov/mov012/ http://www.kvant.info/panov/focus/3.html http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0&stype=image http://www.pm298.ru/reshenie/fkuyt.php http://edu.gorod-artem.ru/content/view/867/9/

Краткое описание документа:

В данной работе выводится определение и уравнение параболы, канонические уравнения эллипса и гиперболы, Показано, как правильно построить параболы. Дается определение директрисы эллипса и гиперболы, приводятся их оптические свойства. А так же есть небольшой исторический материал. Имеется небольшой набор задач.

Видео:ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

Разница между параболой и гиперболой

Share on Facebook
Tweet
Share on Google+
Post to Tumblr
Pin it
Add to Pocket
Send email

Парабола против Гиперболы

Парабола и гипербола — это два разных сечения конуса. Мы можем разобраться с их различиями в математическом объяснении или разобраться с различиями очень простым способом, который могут понять не только математики, но и все. Эта статья попытается объяснить разницу между ними очень простым способом..
Прежде всего, когда сплошная фигура, которая в данном случае является конусом, разрезается плоскостью, полученное сечение называется коническим сечением. Конические сечения могут быть кругами, эллипсами, гиперболами и параболами в зависимости от угла пересечения между осью конуса и плоскостью. И параболы, и гиперболы представляют собой открытую кривую, что означает, что плечи или ветви кривых продолжаются до бесконечности; они не являются замкнутыми кривыми, такими как круг или эллипс.

парабола
Парабола — это кривая, полученная, когда плоскость разрезает параллельно стороне конуса. В параболе прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная направляющей, называется «осью симметрии». Когда параболу пересекает точка на «оси симметрии», она называется «вершиной». Все параболы имеют одинаковую форму, поскольку они подрезаются под определенным углом. Характеризуется эксцентриситетом «1». Это причина, почему они все имеют одинаковую форму, но могут быть разных размеров.

Парабола задается уравнением y2 = X
Когда множество точек, присутствующих на плоскости, равноудалено от прямой, заданной прямой линии и равноудалено от фокуса, заданная точка, которая является фиксированной, называется параболой..
Параболы имеют много практических применений. Они используются для проектирования траектории ракет, отражателей фар автомобилей, телескопов, радиолокационных приемников и спутниковых антенн..

гипербола

Гипербола — это кривая, полученная, когда плоскость разрезает почти параллельно оси. Гиперболы не идентичны по форме, так как между осью и плоскостью много углов. «Вершины» — это точки на двух плечах, которые находятся ближе всего; тогда как отрезок, соединяющий плечи, называется «большой осью».
В параболе два плеча кривой, также называемые ветвями, становятся параллельными друг другу. В гиперболе два плеча или изгибы не становятся параллельными. Центр гиперболы является серединой большой оси.

Гипербола задается уравнением XY = 1

Когда разница расстояний между набором точек, присутствующих в плоскости, до двух фиксированных фокусов или точек является положительной постоянной, она называется гиперболой.

Резюме:
Когда множество точек, присутствующих в плоскости, равноудалено от прямой, заданной прямой линии и равноудалено от фокуса, данная точка, которая является фиксированной, называется параболой. Когда разница расстояний между набором точек, присутствующих в плоскости, до двух фиксированных фокусов или точек является положительной постоянной, она называется гиперболой.
Все параболы имеют одинаковую форму независимо от их размера; все гиперболы имеют разные формы
Парабола задается уравнением y2 = X; гипербола задается уравнением XY = 1
В параболе две руки становятся параллельными друг другу, тогда как в гиперболе они не.