Уравнение силовой линии магнитного диполя

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Силовые линии точечного магнитного диполя.

Найдем уравнение силовой линии для точечного магнитного диполя (см. Рис), который расположен в начале координат и вектор которого направлен на юг (противоположно оси Z). Координаты в данной задаче будем использовать сферические.

Воспользуемся дифференциальным уравнением для силовой линии векторного поля общего вида:

Учитывая, что и , можно записать, что

Для магнитного диполя компоненты вектора поля равны:

Подставляя их в уравнение, находим, что

Где использовано начальное условие, что на экваторе (где магнитная широта равна нулю) расстояние до силовой линии равно r0. Подставляя явный вид компонент магнитного поля диполя, получаем уравнение

которое после простых преобразований приводится к виду

Интегрируем его, используя начальное условие.

Экспоненцируя обе части выражения, получаем

Введем параметр L, который характеризует расстояние до силовой линии на экваторе, выразив его в радиусах Земли (параметр Мак-Илвайна).

Тогда уравнение для силовой линии точечного магнитного диполя принимает вид

Видео:Силовые линии электрического поляСкачать

Силовые линии электрического поля

Понятие о магнитном диполь-дипольном взаимодействии

К магнитному диполю относят небольшую петлю с током. Слово «небольшая» означает, что размеры витка с током немного меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током может создавать магнитное поле, которое можно уподобить электрическому при помощи электрического диполя. Магнитный диполь обладает магнитным моментом p m → и электрическим моментом диполя p e → = q l → .

Выражение I S → = p m → ( 1 ) получило название момента магнитного диполя.

По формуле ( 1 ) видно, что величина по модулю равняется произведению силы тока, протекающего в контуре, на площадь, охваченную им. Магнитный момент и положительная нормаль к поверхности S имеют одинаковое направление. Значение векторного потенциала магнитного диполя по формуле определено как:

A → r → = μ 0 4 π p m → × r → r 3 ( 2 ) .

Магнитное поле, создающее магнитный диполь, запишется:

B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 — p m → r 3 ( 3 ) .

Если даны большие расстояния от диполя в любом направлении, то наблюдается пропорциональные r 3 убывание поля и рост площади витка.

Слово диполь в применении к токам запутывает, так как не имеет отдельных магнитных полюсов, соответствующих электрическим зарядам. Создание магнитного «дипольного» поля происходит за счет элементарной петли с током, а не при помощи двух зарядов.

Видео:Теория поля_семинар-9(2). Силовые линии магнитного диполя.Скачать

Теория поля_семинар-9(2). Силовые линии магнитного диполя.

Взаимодействие магнитных диполей

Из данного представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков ( 1 ) тока создает магнитное поле, описываемое формулой ( 3 ) , другой ( 2 ) , находясь в нем, взаимодействует с полем. Если магнитный диполь создает поле, но оно не значится однородным, то B → ≠ c o n s t . Следовательно, действующая сила магнитного поля на виток с током не равняется нулю. Элемент контура ( 2 ) подвергается силе d F → , перпендикулярной к вектору индукции поля, B → , создающего диполь ( 1 ) , то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка d l → . Отсюда следует, что прилагаемые к разным элементам контура (магнитного диполя 2 ) силы имеют форму симметричного конусного веера. Направление их результирующей идет вдоль стороны возрастания магнитной индукции поля, это говорит о втягивании диполя к стороне более сильного поля.

При неизменной ориентации магнитного момента диполя ( 2 ) , постоянной по отношению к полю диполя ( 1 ) , легко находится количественное выражение для силы взаимодействия диполей. Зависимость потенциальной энергии механического взаимодействия диполей W p m от x (через B ) возможно по формуле:

F x = — ∂ W p m ∂ x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 4 ) , где B 1 является индукцией поля, создаваемого магнитным диполем ( 1 ) , p m 2 – магнитным моментом диполя ( 2 ) , a – углом между вектором поля и вектором магнитного момента. Некоторые случаи говорят об слабом изменении поля при других направлениях:

F = F x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 5 ) .

Из выражения ( 5 ) видно, что сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, находится в зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов. Когда вектор p m 2 → ↑ ↑ B 1 → ( a = 0 ) , тогда значение силы взаимодействия диполей положительная и направлена в сторону возрастания B 1 → (считается, что ∂ B 1 ∂ x > 0 ), кроме силы F .

При действии на контур с током вращательного момента M → :

M → = p m 2 → B 1 → ( 6 ) .

Модуль вектора М запишется как:

M = p m 2 B sin a ( 7 ) .

Видео:Лекция №8 "Электричество и магнетизм" (Попов П.В.): Магнитный дипольСкачать

Лекция №8 "Электричество и магнетизм" (Попов П.В.): Магнитный диполь

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами p m i → , p m j → и располагаются в точках, определенных радиус-векторами r i → r j → . Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:

W i j = — p m i → , B j → p m j → , r j → = — μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 — p m j → r 3 ( 8 ) .

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:

E → = 1 4 πε 0 ε 3 p e → · r → r → r 5 — p e → r 3 ( 1 . 1 ) , где p e → = q l → является электрическим моментом диполя.

По выражению ( 1 . 1 ) наблюдается убывание напряженности поля диполя пропорционально третьей степени расстояния от диполя до точки, в которой рассматривается данное поле.

Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:

B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 — p m → r 3 ( 1 . 2 ) , p m → = I S → обозначает магнитный момент магнитного диполя.

Следуя из ( 1 . 1 ) , ( 1 . 2 ) , поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются. В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.

Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.

Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:

W i j = — p m i → , B j → p m j → , r j → = — μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 — p m j → r 3 ( 2 . 1 ) .

Где p m i → , p m j → являются магнитными моментами диполей, r i → , r j → – радиус-векторами, определяющими положения диполей.

Произведем преобразование ( 2 . 1 ) , тогда:

W i j = μ 0 4 π p m j p m i r i j 2 — 3 r i j p m j r i j p m i r i j 5 = μ 0 4 π p m j p m j cos υ i j — 3 cos υ j cos υ i r i j 3 ( 2 . 2 ) , с r i j = r i — r j , υ i j , являющимся углом между векторами p m i → , p m j → .

Из ( 2 . 2 ) понятно, что энергия W i j находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами p m j = p m i = p , с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения:

Видео:3. Поле диполя Электростатика и магнитостатикаСкачать

3. Поле диполя Электростатика и магнитостатика

ЛЕКЦИЯ №8

Плохо заряду, когда он один.
Горе одному, один не воин.
Каждый дюжий ему господин,
И даже слабые, если двое.
(почти В.В.Маяковский)

Видео:Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.

1. Понятие о диполе.

Простейшей системой точечных зарядов является диполь (от лат. «двойной полюс»).

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Уравнение силовой линии магнитного диполяdef: Диполем называются два равных по величине, но противоположных по знаку точечных заряда, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (см. рис.8.1).

Уравнение силовой линии магнитного диполяdef: Электрическим дипольным моментом называется величина, определяемая как Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.1)

Следует отметить, что дипольный момент не зависит от положения диполя в пространстве, так как вектор Уравнение силовой линии магнитного диполяостается неизменным при любом выборе тела отсчета. Поэтому без ограничения общности в дальнейшем начало координат будем выбирать в центре диполя, если другое не оговорено особо.

Видео:Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??Скачать

Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??

2. Поле диполя в дальней зоне.

Уравнение силовой линии магнитного диполяОчевидно, что напряженность в произвольной точке пространства М (см. рис.8.2) по принципу суперпозиции равна

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.2)

где Уравнение силовой линии магнитного диполя, а Уравнение силовой линии магнитного диполя. После подстановки имеем

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.3)

Подробнее рассмотрим знаменатели, считая что l>>r и a — угол между Уравнение силовой линии магнитного диполяи Уравнение силовой линии магнитного диполя. При разложении в ряд пренебрегаем последним членом.

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Аналогично поступаем со вторым знаменателем. При приведении к общему знаменателю в (8.3) ряд слагаемых в числителе взаимно уничтожаются, а в знаменателе пренебрегаем квадратичным членом. В итоге получаем

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.5)

Окончательно, учитывая, что Уравнение силовой линии магнитного диполя, имеем

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.6)

Это напряженность электрического поля диполя в дальней зоне, т.е. в точках пространства, где r>>l.

Видео:НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полей

3. Частные случаи.

Легко понять, что при выборе осей так, как показано на рис.8.3, проекции напряженности и ее модуль равны соответственно

Уравнение силовой линии магнитного диполяУравнение силовой линии магнитного диполя
Уравнение силовой линии магнитного диполя
Уравнение силовой линии магнитного диполя

Видно, что напряженность убывает по закону кубов (а не квадратов).

точкауголнапряженность
A,
C
a =0;
a=p
Уравнение силовой линии магнитного диполя
B,
D
a=p/2Уравнение силовой линии магнитного диполя

В характерных точках, указанных на рисунке 5.3 выражения для напряженности даны в таблице.

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Легко определить угол между напряженностью и радиус вектором (см. рис.8.4)

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Используя тригонометрическую формулу Уравнение силовой линии магнитного диполя, получаем

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.14)

причем смысл имеет верхний знак.

Видео:Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать

Урок 218. Напряженность электрического поля

4. Диполь во внешнем однородном поле.

Уравнение силовой линии магнитного диполя

На диполь действует пара сил, сумма которых равна 0, то есть центр диполя остается на месте или движется равномерно и прямолинейно (вспомните механику!). Однако момент этой пары сил (рис.8.5) отличен от нуля

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.15)

и стремится развернуть диполь по полю, причем после поворота диполь окажется в положении устойчивого равновесия. Диполь может быть приведен в равновесие и поворотом против часовой стрелки (см. рис.8.5), но в этом случае равновесие будет неустойчивым.

Видео:Демонстрация: Силовые линии и эквипотенциальные поверхностиСкачать

Демонстрация: Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

5. Векторное произведение (математическое отступление).

Опыт показывает, что студентам время от времени нужно напоминать, что такое векторное произведение двух векторов.

Уравнение силовой линии магнитного диполяdef:Векторным произведением Уравнение силовой линии магнитного диполядвух векторов Уравнение силовой линии магнитного диполяи Уравнение силовой линии магнитного диполяназывается вектор, модуль которого равен absin a , где a — угол между векторами, а направление определяется правилом правого винта (буравчика).

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Правило правого винта заключается в следующем: винт с правой (обычной) резьбой нужно вращать от первого вектора ко второму. Тогда поступательное движение винта покажет направление векторного произведения. Полезно запомнить, что векторное произведение всегда перпендикулярно плоскости, образованной векторами – сомножителями. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Направление векторного произведения зависит от порядка сомножителей.

Видео:Электродинамика | "магнитный диполь"Скачать

Электродинамика | "магнитный диполь"

6. Диполь во внешнем неоднородном поле.

Пусть теперь поле неоднородно в пространстве.

Уравнение силовой линии магнитного диполя Уравнение силовой линии магнитного диполя

Если считать, что в области диполя поле меняется очень слабо, то формула для момента остается прежней (см.8.15), и диполь также стремится развернуться по полю (рис.8.6).

Не строго получим выражение для силы, действующей на диполь.

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.17)

Опять будем считать, что диполь очень маленький (точечный), то есть заряды смещены друг относительно друга на бесконечно малый вектор Уравнение силовой линии магнитного диполя. Это означает, что значения напряженности поля в точках нахождения зарядов бесконечно мало отличаются друг от друга, поэтому Уравнение силовой линии магнитного диполя, где Уравнение силовой линии магнитного диполяможно записать как полный дифференциал

Уравнение силовой линии магнитного диполя

где Уравнение силовой линии магнитного диполя— уже упоминавшийся ранее (см. лек.№7 п.16) набла-оператор (оператор Гамильтона). Обратите внимание на расстановку знаков. На вектор напряженности действует весь оператор, стоящий в скобках Уравнение силовой линии магнитного диполя, а не только оператор Уравнение силовой линии магнитного диполя, хотя бы потому, что никто не знает, что такое градиент векторного поля (математики такой операции еще не определили).

Таким образом, (8.17) принимает вид

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.19)

Еще немного поиграем с формулами векторного анализа. Нам известно (а вам?!), что

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.20)

Второе и четвертое слагаемые равны нулю, т.к. дипольный момент не зависит от координат, как это отмечалось в пункте 1. Третье слагаемое в электростатике также обращается в нуль по теореме о циркуляции (6.15). Тогда силу, действующую на диполь можно записать в виде

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.21)

Вспомним, что в механике между силой и потенциальной энергией Wp есть связь Уравнение силовой линии магнитного диполя. Тогда очевидно, что в электростатическом поле диполь обладает потенциальной энергией

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.20)

Очевидно, что потенциальная энергия минимальна, если дипольный момент и поле сонаправлены, то есть, диполь развернут по полю.

Из (8.19) или (8.21) ясно, что диполь втягивается в область более сильного поля. Проиллюстрируем данный вывод на следующих примерах.

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Пусть диполь уже развернулся вдоль поля (см. рис.8.7), то есть Уравнение силовой линии магнитного диполя. Тогда

Уравнение силовой линии магнитного диполя,

Уравнение силовой линии магнитного диполяFx Уравнение силовой линии магнитного диполя

Другой пример: диполь симметрично расположен относительно поля (рис.8.8), Уравнение силовой линии магнитного диполя. Поле тоже считаем симметричным относительно оси OY. Тогда

Уравнение силовой линии магнитного диполяи Уравнение силовой линии магнитного диполя

из симметрии поля,

а Уравнение силовой линии магнитного диполятак как Уравнение силовой линии магнитного диполя.

· Диполь разворачивается вдоль поля;

· Диполь втягивается в область более сильного поля;

· Электрическое поле может растянуть диполь. (Мы рассматривали только жесткий диполь).

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2

7. Общий вид поля диполя.

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Легко показать, что в полярных координатах уравнение силовой линии имеет вид (рис.8.9)

Здесь первую полярную координату r обозначим r, чтобы не путать с плотностью заряда, а вторую полярную координату обозначим a , чтобы не путать с потенциалом.

Уравнение силовой линии магнитного диполя

В самом деле, если речь идет о декартовых координатах, то уравнение линии напряженности строится из следующих соображений

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Аналогично поступаем и в полярных координатах

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Используя формулу (8.14), получаем

Уравнение силовой линии магнитного диполя.

После чего переменные легко разделяются

Уравнение силовой линии магнитного диполя.

Данное дифференциальное уравнение интегрируется достаточно просто

Из него и следует формула (8.26).

Вид поля диполя в дальней зоне представлен на рис.8.10.

Видео:Индукция магнитного поля | Физика 9 класс #37 | ИнфоурокСкачать

Индукция магнитного поля | Физика 9 класс #37 | Инфоурок

8. Потенциал поля диполя.

Поступим аналогично пункту 2.

Уравнение силовой линии магнитного диполя Уравнение силовой линии магнитного диполя

после разложения знаменателей в ряд и приведения подобных слагаемых получаем

Уравнение силовой линии магнитного диполя(8.34)

Очевидно, уравнение эквипотенциальной поверхности в полярных координатах имеет вид

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Картина эквипотенциальных линий приведена на рис.8.11. Полезно сравнить с силовыми линиями диполя (рис.8.10). Легко написать

Уравнение силовой линии магнитного диполя Уравнение силовой линии магнитного диполя

откуда вновь можно получить (8.26).

Видео:Физика - Магнитное полеСкачать

Физика - Магнитное поле

9. Дипольный момент системы точечных зарядов.

Квазинейтральная система точечных зарядов занимающая небольшой объем ведет себя как точечный диполь. Действительно, можно разделить все заряды системы попарно, т.е. получить систему диполей, а затем все дипольные моменты перенести в одну точку и сложить. Необходимо только, чтобы размеры системы были достаточно малы. Без аккуратного доказательства примем, что дипольный момент системы зарядов

Уравнение силовой линии магнитного диполя

Очевидно, что дипольный момент заряженного тела вычисляется по формуле

Уравнение силовой линии магнитного диполя Уравнение силовой линии магнитного диполя

Простой пример: два заряда (рис.8.12)

Уравнение силовой линии магнитного диполя,

то есть получили результат, известный ранее (8.1).

Система состоящая из двух зарядов — диполь — мультиполь первого порядка, из четырех — квадруполь — мультиполь второго порядка, из восьми — октуполь — третьего порядка и т.д. Тогда поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить в виде разложения по мультиполям.

Видео:Силовые линии и эквипотенциальные поверхностиСкачать

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

10. Почему так подробно о диполе.

Столь большое внимание, которое было уделено понятию и свойствам электрического диполя, связано с тем, диполь является простейшей моделью полярных молекул, которые мы будем рассматривать при изучении поля в веществе. Необходимо отметить, что дипольный электрический момент является основной характеристикой электрически нейтральных систем зарядов, и поэтому играет большую роль в различных вопросах теории молекул. Если же в системе столь симметричное расположение зарядов, что и дипольный момент равен нулю, то в дело вступает квадрупольный момент и так далее.

Кроме того, электрический диполь – это одно из важных понятий в теории излучения электромагнитных волн. Переменный во времени электрический диполь является наиболее простой (и исторически первой) моделью излучающей системы, с которой подробнее познакомимся в лекции №35.

🎬 Видео

Лекция 3-1 Электрический дипольСкачать

Лекция 3-1 Электрический диполь

Лекция 14 Постоянное магнитное полеСкачать

Лекция 14 Постоянное магнитное поле

4. Диполь во внешнем поле Электростатика и магнитостатикаСкачать

4. Диполь во внешнем поле Электростатика и магнитостатика

Урок 270. Магнитное поле и его характеристикиСкачать

Урок 270. Магнитное поле и его характеристики

ЧК_МИФ 3_2_3_3_(ЭД) МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯСкачать

ЧК_МИФ 3_2_3_3_(ЭД) МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯ

1.2 Материальные уравнения, векторы поляризованности и намагниченности средСкачать

1.2 Материальные уравнения, векторы поляризованности и намагниченности сред
Поделиться или сохранить к себе: