Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке (8 видео)

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Содержание

Пример:
Решение задач:
ТЕПЛОМАССООБМЕН
Контрольные вопросы
Помощь в выполнении контрольных работ
📸 Видео

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

ТЕПЛОМАССООБМЕН

Видео:Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Контрольные вопросы

18. Напишите дифференциальное уравнение теплопроводн ости для одномерного нестационарного температурного по ля. Поясните, как можно разделить переменные при реше нии этого уравнения.

Уравнение теплопроводности на отрезке

постановка задачи. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке:

1. Находим вспомогательные решения уравнения (1) в виде

причем v (0, t ) = v ( l , t ) = 0, т.е. Х(0) = X ( l ) = 0. Для этого под ставляем функцию v ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) в уравнение (1) и разделяем переменные. Получаем

Поэтому функции Х(х) и T ( t ) являются решениями связанных задач:

3. Решаем задачу (а).

Уравнение X » — λ X = 0 имеет общее решение

Из граничных условий Х(0) = Х(1) = 0 следует, что

4. Решаем задачу (б). При имеем

Общее решение этого уравнения есть

5. Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид

где — постоянные, которые предстоит найти.

6. Решение задачи (1)-(3) ищем в виде

(4)

Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет гра ничным условиям (3) при любых А_п, при которых ряд (4) сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно.

7. Находим коэффициенты А_птакие, что и(х, t ) удовлетворяет начальному условию (2).

Полагая в (4) t = 0, получаем

Подставляя эти коэффициенты в формулу (4), получаем искомое решение и(х, t ) и записываем ответ.

Замечание. При каждом фиксированном t ряд (4) является разло жением u ( x , t ) по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (0, l ):

Задача (а) состоит в отыскании этих собственных функций и соот ветствующих им собственных значений λ. Коэффициенты при t в (4) являются собственными значениями λ

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Помощь в выполнении контрольных работ

Пример №5. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке , удовлетворяющее начальному условию , если

Решение. Применяя для решения уравнения метод разделения переменных и удовлетворяя краевым условиям, в общем случае получим

где — коэффициенты, подлежащие определению из начального условия. Удовлетворяя ему, имеем

откуда видно, что являются коэффициентами Фурье при разложении функции в ряд по синусам на интервале , т.е.

Окончательное решение поставленной задачи может быть записано в виде

В нашем случае , и поэтому

Пример №6. Найти решение уравнения теплопроводности для неограниченного стержня , удовлетворяющее начальному условию, если

Решение. В общем случае решение поставленной задачи Коши может быть найдено в виде интеграла Пуассона

Поскольку в нашем случае на отрезке функция равна постоянной , а вне его температура равна 0, то решение примет вид

Данный результат, для упрощения вычислений, можно преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)

Для этой функции имеются специальные таблицы, приведенные в Приложении 3. Тогда

Эта формула дает значение температуры в любой точке стержня x в любой момент времени , если в начальный момент времени на участке был произведен мгновенный нагрев стержня до значения 4. Например, , , то

Отметим, что рассмотренный подход к решению задачи теплопроводности целесообразен тогда, когда стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на его концах.

ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕ

К ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики

Уравнение, связывающее неизвестную функцию , независимые переменные и частные производные от функции называется дифференциальным уравнением с частными производными

где — заданная функция своих аргументов.

Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения с частными производными.

Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции. Например, уравнение

является квазилинейным уравнением второго порядка, — заданные функции.

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно и относительно неизвестной функции, и относительно ее частных производных. Примером линейного уравнения второго порядка является уравнение

где — заданные функции, — неизвестная функция.

Решением уравнения с частными производными (6.1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

имеет решение , где — любая дифференцируемая функция.

Упражнение. Проверьте последнее утверждение. Покажите также, что любая дифференцируемая функция является решением уравнения

Многие задачи математики, физики, различных областей техники приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Удивительно то, что весьма многие задачи из разных отраслей знания приводят к одним и тем же уравнениям.

Из всех известных уравнений с частными производными, наиболее часто встречающимися при описании различных физических явлений и наиболее хорошо изученными математиками, являются уравнения, названные основными уравнениями математической физики.

Математическая физика – это область феноменологической физики, работающей с идеей непрерывных сред, в противоположность атомистической физики, выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.

Перечислим основные уравнения математической физики.

Обозначим через — пространственные декартовы координаты точки, через — время, — заданную функцию, — заданную постоянную (имеющую в каждом уравнении свой физический смысл), — неизвестную функцию, — оператор Лапласа

Тогда основные уравнения математической физики записываются в следующем виде:

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля (в котором отсутствуют массы и электрические заряды)

удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного тока и другие явления;

описывает установившееся тепловое состояние однородного и изотропного твердого тела при наличии источников тепла, потенциал электрического поля при наличии зарядов и др.;

описывает процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явление диффузии газов;

описывает распространение упругих, звуковых и электромагнитных волн, а также другие колебательные явления.

Кроме этих классических уравнений известны и другие замечательные уравнения, которые изучались уже в 20-ом столетии и которые имеют первостепенное значение и для науки, и для технических приложений. К таковым относятся:

1. Уравнение Шредингера

описывает движение субатомных частиц в поле потенциала , где — комплексная функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в точке

2. Уравнение Синус — Гордона

описывает квантовые поля, самоиндуцированную прозрачность идеального диэлектрика при взаимодействии его с электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные поверхности с постоянной отрицательной кривизной, описывает также солитоны – уединенные волны, ведущие себя подобно обычным частицам и т.д.;

3. Уравнение Кортевега — де Фриза

описывает уединенные волны на поверхности жидкости, плазменные волны, слабонелинейные магнитогидродинамические волны и другие процессы.

4. Уравнение Бюргерса

описывает турбулентное течение, звуковые волны в вязкой среде, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью и другие явления.