Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a .

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2 c , а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 a . По определению 2 a > 2 c , то есть a > c .

Выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси 0 x , а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы имют координаты: F 1 (– c ;0) и F 2 ( c ;0) . Пусть M ( x ; y ) – произвольная точка эллипса (текущая точка). Тогда по определению эллипса можно записать

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

По сути, мы получили уравнение эллипса. Упростим его с помощью ряда несложных математических преобразований:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Это уравнение равносильно первоначальному. Оно называется каноническим уравнением эллипса – кривой второго порядка .

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (2.17) содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка ( x ; y ) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (– x ; y ), ( x ;– y ), (– x ;– y ) . Отсюда: эллипс симметричен относительно осей 0 x и 0 y , а также относительно точки O (0;0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, найдем точки A 1 ( a ; 0) и A 2 (– a ; 0), в которых ось 0 x пересекает эллипс. Положив в уравнении (2.17) x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью 0 y : B 1 (0; b ) и B 2 (0;– b ). Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2, В1В2, а также их длины 2 a и 2 b – соответственно большая и малая оси эллипса (рис. 2.4).

3. Из уравнения (2.17) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е.:

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = ± a и y = ± b .

4. В уравнении (2.17) левая часть – сумма неотрицательных слагаемых, т.е. при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, если | x | возрастает, | y | уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму овальной замкнутой кривой. Форма эллипса зависит от отношения Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . При a = b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (2.17) принимает вид : x 2 + y 2 = a 2 . Отношение Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса – эксцентриситет эллипса Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Причем 0 ε 1, так как 0 c a .

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем будет менее эллипс сплющенным; при ε = 0 эллипс превращается в окружность.

Прямые Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямдиректрисы эллипса.

Если r – расстояние от произвольной точки до какого–нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы (рис. 2.5), то отношение Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям .

Из равенства a 2 c 2 = b 2 следует, что a > b . Если же наоборот, то уравнение (2.17) определяет эллипс, большая ось которого 2 b лежит на оси 0 y , а малая ось 2 a – на оси 0 x . Фокусы такого эллипса находятся в точках F 1 (0; c ) и F 2 (0;– c ) , где Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Данный эллипс будет растянут вдоль оси 0 y .

Пример 2.5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний от нее до точки A (3;0) и до прямой x = 12, равно числу ε =0,5 . Полученное уравнение привести к простейшему виду .

Решение . Пусть M ( x ; y ) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр MB на прямую . Тогда точка B( 12;y) . По условию задачи Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям .

По формуле расстояния Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям между двумя точками получаем:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Эксцентриситет эллипса Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Примечание. Если эллипс (окружность) вращать вокруг одной из его осей, то описываемая им поверхность будет эллипсоидом вращения (сферой) Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Пример 2.6. В геодезии используется система географических координат, основанная на понятии геоида. Геоид – поверхность Земли, ограниченная уровенной поверхностью, продолженной под континенты. Поверхность геоида отличается от физической поверхности Земли, на которой резко выражены горы и океанические впадины.

Тело, поверхность которого более всего соответствует поверхности геоида, имеет определенные размеры и ориентирована соответственно в теле Земли, называется референц–эллипсоидом. В нашей стране с 1946 года для всех геодезических работ принят референц–эллипсоид Красовского с параметрами a = 6 378 245 м, b = 6 356 863 м, α = 1: 298,3.

Линия, проходящая вертикально через центр эллипсоида является полярной осью. Линия, проходящая через центр эллипсоида, перпендикулярно к полярной оси, – экваториальной осью. При пересечении поверхности эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, перпендикулярно к полярной оси, образуется окружность, называемая экватором. Окружность, полученная от пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости экватора, называется параллелью. Линия пересечения поверхности эллипсоида с плоскостью, проходящей через заданную точку и полярную ось, называется меридианом данной точки. Положение точки на земной поверхности определяется пересечением параллели и меридиана, проходящих через нее. Угол φ между плоскостью экватора и отвесной линией называется географической широтой. Для определения долгот точек один из меридианов (Гринвичский) принимают за начальный или нулевой. Угол λ, составленный плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального меридиана, называется географической долготой Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Гипербола – геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости – фокусов, есть величина постоянная, равная 2 a .

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2 c , а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2 a . По определению 2 a 2 c , то есть a c .

Выберем систему координат x 0 y так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси 0 x , а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы будут иметь координаты F 1( c ;0 ) и F 2 (– c ;0 ). На этой основе выведем уравнение гиперболы. Пусть M ( x ; y ) – ее произвольная точка . Тогда по определению | MF 1 MF 2 |= 2 a , то есть Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Проведя преобразования, аналогичные упрощениям уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

где b 2 = a 2 – c 2 . Гипербола линия 2–го порядка.

Установим форму гиперболы, исходя из ее канонического уравнения.

1. Уравнение (2.18) содержит x и y только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей координат 0 x и 0 y , и относительно точки O (0;0) – центра гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (2.18) y =0 , находим две точки пересечения гиперболы с осью 0 x : A 1 ( a ; 0) и A 2 (– a ; 0).

Положив в (2.18) x = 0, получаем y 2 = – b 2 , чего быть не может. Т.е. гипербола ось 0 y не пересекает.

3. Из уравнения (2.18) следует, что уменьшаемое Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x = a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x =– a (левая ветвь) (рис. 2.6).

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

4. Из уравнения (2.18) гиперболы видно, что когда | x | возрастает, то | y | также возрастает . Это следует из того, что разность Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям – сохраняет значение, равно e единице. Следовательно, гипербола имеет форму, состоящую из двух неограниченных ветвей.

Прямая L называется асимптотой некоторой неограниченной кривой , если расстояние d от точки M этой кривой до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении т очки M вдоль кривой от начала координат.

Покажем, что гипербола Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям имеет две асимптоты: Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Так как данные прямые и гипербола (2.18) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только точки, расположенные в первой четверти.

Возьмем на прямой Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям точку N , имеющую ту же абсциссу, что и точка M ( x ; y ) на гиперболе Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Найдем разность | MN | :

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Очевидно: так как числитель есть величина постоянная, а знаменатель дроби увеличивается с возравстанием переменной х, то длина отрезка | MN | стремится к нулю. Так как | MN | больше расстояния d от точки M до прямой L, то d стремится к нулю тем более ( и подавно) . Следовательно, прямые Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям – есть асимптоты гиперболы (рис. 2.7).

Построение гиперболы начинают с нанесения ее основного прямоугольника на координатную плоскость. Далее проводят диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы, затем отмечают ее вершины, фокусы и строят ветви гиперболы .

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Эксцентриситет гиперболы отношение расстояния между фокусами к величине её действительной оси, обозначается ε : Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Так как у гиперболы c > a , то эксцентриситет ее больше единицы. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Так как Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Действительно, Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям . Фокальные радиусы , для точек правой ветви гиперболы имеют вид: r 1 = εx + a , r 2 = εx – a ; для точек левой ветви: r 1 =–( εx + a ), r 2 =–( εx – a ) .

Прямые Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям называются директрисами гиперболы. Тот факт, что для гиперболы ε > 1, то Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямозначает : правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной. Директрисы гиперболы имеют тоже свойство Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям , что и директрисы эллипса.

Уравнение Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям определяет гиперболу с действительной осью 2 b , расположенной на оси 0 y , и мнимой осью 2 a, расположенной на оси абсцисс (подобная гипербола изображена на рисунке 2.7 пунктиром).

Значит , гиперболы Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Примечание. Если у кривой 2–го порядка смещен центр в некоторую точку O ( x 0 ; y 0 ) , то она называется нецентральной кривой. Уравнение такой кривой имеет вид:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Примечание. При вращении гиперболы вокруг ее действительной оси образуется двуполостный гиперболоид, вокруг ее мнимой оси – однополостный гиперболоид

Подробно данные уравнения рассмотрены в теме: «Исследование общего уравнения 2–ой степени» (смотри схему 10), частными случаями которого являются данные формулы.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосями Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Точки Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосями Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям, обозначенные зелёным на большей оси, где

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям,

называются фокусами.

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Получаем фокусы эллипса:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Видео:Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и cСкачать

Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и c

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям— расстояния до этой точки от фокусов Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям, то формулы для расстояний — следующие:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям,

где Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосями Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям— расстояния этой точки до директрис Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосями Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Пример 7. Дан эллипс Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям, а директрисами являются прямые Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Уравнение эллипса готово:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Пример 9. Проверить, находится ли точка Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямна эллипсе Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям,

так как из исходного уравнения эллипса Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

166. Найти каноническое уравнение эллипса.

Математический портал

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса
  • Вы здесь:
  • HomeЗаписать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям
  • Аналитическая геометрияЗаписать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям
  • Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямЗаписать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямЗаписать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямЗаписать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосямЗаписать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $frac+frac=1, ageq b>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $frac+frac=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt=sqrt=4Rightarrow F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0).$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0);$ в) $e=frac;$ г) $D_1: x=-frac$ и $D_2: x=frac.$

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=sqrt 5.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac=-frac $ и $D_2: x=frac=frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=sqrt 5;$ $ e=frac.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $frac+frac=1:$

Таким образом, уравнение эллипса $frac+frac=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=sqrt=sqrt=2sqrt 3Rightarrow F_1(-2sqrt 3, 0),,,, F_2(2sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $overline =(2+2sqrt 3, sqrt 3),$ $overline=(2-2sqrt 3, sqrt 3).$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_1: sqrt 3 x+8=0$

расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_2: sqrt 3 x-8=0$

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt=sqrt=5Rightarrow F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0).$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=pmfracx:$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0);$ в) $e=frac;$ г) $y=pmfracx;$ д ) $D_1: x=-frac$ и $D_2: x=frac.$

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=pmfracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=pmfrac(x-x_0),$

$$y+3=frac(x-2)Rightarrow 3y+9=4x-8Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

$$y+3=-frac(x-2)Rightarrow 3y+9=-4x+8Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac=-frac $ и $D_2: x=frac=frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=frac,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac-frac=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac-frac=1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

$c=sqrtRightarrow c=sqrt=sqrt =5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline|.$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-fracRightarrow x=-fracRightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=fracRightarrow x=fracRightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: sqrt 5x+16=0$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: sqrt 5x-16=0$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=frac;$ $d_1=frac;$ $d_2=frac.$

2.273. Найти точки гиперболы $frac-frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, , b=4.$ Следовательно, $c=sqrtRightarrow c=sqrt=sqrt =5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

Чтобы н айти точки гиперболы $frac-frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=pmsqrt=sqrt$ — нет корней .

Ответ: $(-6, pm4sqrt 3).$

Парабола.

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.

Точка $Fleft(frac

, 0right)$ называется фокусом параболы, вектор $overline -$ фокальным радиус-векторам, а число $r=|overline| -$ фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе.

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6xRightarrow y^2=2cdot 3xRightarrow p=2.$$

Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Ответ: $p=3.$

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

Ответ: $y^2=-x.$

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$

Приведем заданное уравнние к такому виду:

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12xRightarrow 36=12xRightarrow x=3.$$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2cdot 6xRightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

Ответ: $6.$

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tgalpha=frac.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2cdot 6xRightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $alpha: tgalpha=frac$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tgalpha=frac.$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=fraccdot 3+bRightarrow b=-frac.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=fracx-frac.$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=frac=frac=27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=frac(x-27)Rightarrow 3y-54=x-27Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $beta$ между лучем $y=fracx-frac$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=frac$

$$L_2: x-3y+27=0Rightarrow y=fracx+9Rightarrow k_2=frac.$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $pi-2beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $pi-(pi-2beta)-alpha=2beta-alpha.$ Записать канонические уравнения эллипса и гипербол по данным полуосям

Зная $tgbeta=frac$ и $tgalpha=k_1=frac$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2beta-alpha):$

$$tg(2beta-alpha)=frac=frac<frac-frac><1+fracfrac>=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

📽️ Видео

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

ЭллипсСкачать

Эллипс

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

§21 Каноническое уравнение гиперболы
Поделиться или сохранить к себе: