Нестандартные методы решения уравнений и неравенств проект

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем. (часть 1).Скачать

Курсовая работа: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

ВВЕДЕНИЕ

1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ

2.1 Использование монотонности функции

2.2 Использование ограниченности функции

2.3 Использование периодичности функции

2.4 Использование четности функции

2.5 Использование ОДЗ функции

3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

3.1 Умножение уравнения на функцию

3.2 Угадывание корня уравнения

3.3 Использование симметричности уравнения

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяет актуальность курсовой работы. Объект исследования – уравнения и неравенства, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели в данной работе решались следующие задачи:

1.Собрать сведения из истории математики о решении уравнений.

2.Рассмотреть и применить на практике методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

3.Рассмотреть и применить на практике дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений или неравенств следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований. Курсовая работа состоит из введения, трех глав и списка использованных источников. В первой главе приведены некоторые сведения из истории математики о решении уравнений. Во второй главе рассмотрены методы решения, основанные на использовании свойств функции. Третья глава посвящена рассмотрению дополнительных (искусственных) методов решения.

1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача:

«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96». [16]

Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100-х 2 = 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.

Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 — ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений.

В работах европейских математиков XIII — XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487 — 1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.

В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них:

«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им «в затылок»?

В древневавилонских текстах (3000 — 2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:

«Площади двух своих квадратов я сложил: 25 . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5».

Соответствующая система в современной записи имеет вид:

Эту задачу вавилонский автор решает правильно методом, который мы теперь называем методом подстановки, но он еще не пользовался алгебраической символикой.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е. коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у и z. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни.

Лишь в ХVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида

где р и q – числа положительные.

Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.

После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья (1499—1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.

Другой итальянский математик Джерол. но (1501 — 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1).

После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.

Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения (1).

В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522 — 1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802 —1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811 —1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не решаются.

Математик и философ Рене Декарт (1596 —1650) впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебры о числе корней уравнения n-й степени. При этом Декарт допускал существование не только истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е. меньших нуля — отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых (у Декарта — imaginaires), т. е. комплексных корней.

Еще в древности математики в процессе решения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах, получает простое объяснение при помощи выражений a + bi, где i 2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, но уже комплексными. Первое обоснование простейших действий над комплексными числами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530 —1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному.

Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707 —1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание как предмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855).

В настоящее время комплексные числа широко употребляются во многих вопросах физики и техники.

Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях f(x) = O, где f(x) — многочлен относительно х.

Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.

Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неизвестных больше одной.

Наиболее известными из них являются линейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача:

«100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по шеффеля. Сколько было мужчин, женщин и детей?»

Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за у, мы придем к уравнению

Зх + 2y+ (100-х-y)= 100

Общего решения линейных диофантовых уравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решениями, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных числах.

Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180 — 1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х 2 + у 2 = z 2 решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у; z):

x = (m 2 -n 2 )l, y = 2mnl, z = (m 2 + n 2 )l,

где т, п, l — любые натуральные числа (т> п). Эти формулы помогают находить прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами.

В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601 — 1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение х п + у п = z n для натурального п ≥ 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «. невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четную степень в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для п= 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л.Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752 1833) и Петер Дирихле (1805 — 1859) — для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1995 г. Эндрю Вайлс доказал эту теорему.

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ f (x₂ ).

На показанном на рисунке 1 графике

Функция y = f (x), , возрастает на каждом из промежутков [a; x₁ ) и (x₂ ; b] и убывает на промежутке (x₁ ; x₂ ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x₁ ) и (x₂ ; b], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x₁ 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c n где nN, также возрастает.

· Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f также возрастает.

· Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) , то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) , то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции на множестве D может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) — непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т , тогда уравнение f(x) = С, где С — данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.

2. Пусть f(x) и g(х) — непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 2.1.1 Решите уравнение

. [28] (1)

Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда . Для х > 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и . Значит, в области х > 0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.

Пример 2.1.2Решите неравенство

. (2)

Решение. Каждая из функций у = 2 x , у = 3 x , у = 4 х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х = 0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем , при х 2 . Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.

Пример 2.2.1 Решите уравнение

sin(x 3 + 2х 2 + 1) = х 2 + 2х + 2. (4)

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x 3 + 2х 2 + 1) ≤ 1, х 2 + 2х + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При , , т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет .

Пример 2.2.2 Решите уравнение

. (5)

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x 3 — x — sinπx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x₀ > 0 является его решением, то и (-x₀ ) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞)

Перепишем начальное уравнение в виде x 3 — x = sinπx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x 3 — x принимает только отрицательные значения, поскольку х 3 3 — х принимает положительные значения, функция h(x) = sinπxпринимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sinπx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sinπx| ≤ 1, x 3 — x = x(x 2 — 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Пример 2.2.3 Решите неравенство

. (6)

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.

Пусть -1 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Пусть 0 0 и T₂ > 0. Тогда если то функция периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T₁ и T_2.

Пример 2.4.1 Функция периодическая с периодом T = 5. Известно, что . Найдите

Решение. Преобразуем отдельно каждое слагаемое:

Тогда

Пример 2.4.2 [24] Найдите период функции

Решение. Преобразуем данное выражение:

имеет период ;

имеет период .

Тогда функция имеет период

Пример 2.4.3 Пусть — периодическая функция с периодом 3 такая, что

; .

(7)

График функции на множестве [0;3) изображен на рисунке 3:

Т.к. 3 — период функции , то , тогда уравнение (7) примет вид , рассмотрим два случая.

1) пусть , т.е. , тогда уравнение примет вид:

, значит и значит,

2) пусть то , тогда уравнение примет вид:

; итак ,

т.е. , .

Ответ: .

Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства:

1) ,

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x 2 + |x|

График четной функции

Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:

1) ,

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x 3 .

График нечетной функции

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x 3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1). А это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. является функцией общего вида (ФОВ).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция

Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображена на рисунке 6

Рисунок 6 http://mathematics.ru/courses/function/design/images/buttonModel_h.gif

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

· Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

· Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

· Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

· Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Пример 2.4.1 Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x 8 – 3аx 6 + 4x 4 – аx 2 = 5

Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если x₀ – корень данного уравнения, то -x₀ – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 2.5.1 Решите уравнение

. (8)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям и , т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.

Пример 2.5.2 Решите уравнение

. (9)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям , , , т. е. ОДЗ есть . Подставляя эти значения х в уравнение (9), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.

Ответ:

Пример 2.5.3 Решите неравенство

. (10)

Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все х, удовлетворяющие условию . Ясно, что х = 1 не является решением неравенства (10). Для х из промежутка имеем , а . Следовательно, все х из промежутка являются решениями неравенства (10).

Ответ: .

Пример 2.5.4 [26] Решите неравенство

. (11)

Решение. ОДЗ неравенства (11) есть все х из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для х из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому неравенство (11) не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (11) также не имеет решений.

Итак, неравенство (11) решений не имеет.

Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методам решения.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример 3.1.1 Решите уравнение

. (1)

Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен , не имеющий корней, получим уравнение

, (2)

равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде

. (3)

Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их не имеет.

Пример 3.1.2 [19]Решите уравнение

. (4)

Решение. Умножив обе части этого уравнения на многочлен , получим уравнение

, (5)

являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень , не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку не является корнем уравнения (5), то, разделив обе его части на и перегруппировав его члены, получим уравнение

(6)

равносильное уравнению (5). Обозначив , перепишем равнение (6) в виде

. (7)

Уравнение (7) имеет два корня: и . Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений

и .

Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5):

, , ,

Так как корень является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: x₁ , x₂ , x₃ .

Ответ:

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример 3.2.1 Решите уравнение

. (8)

Решение. Перепишем уравнение (8) в виде:

. (9)

Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что х = 12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Так как многочлен не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень х = 12.

Пример 3.2.2. Решите уравнение

(10)

Решение. Легко заметить, что и являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно и решено.

Ответ:

Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.

Пример 3.3.1Решите уравнение

. (11)

Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (11) есть . Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение (11) в несколько ином виде.

Поскольку справедливы тождественные равенства

,

то уравнение (11) можно переписать так:

. (12)

Теперь очевидно, что если ― корень уравнения (12), то также корень уравнения (12), поскольку

. (13)

Покажем, что если , есть корень уравнения (11), то также есть корень этого уравнения.

Действительно, так как

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если , ― корень уравнения (11), то оно имеет еще корни

, , , ,

т. е. уравнение (11) имеет корни

, , , , , .

Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).

Ответ:

Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Пример 3.4.1 Решите уравнение

. (14)

Решение. Перепишем уравнение в виде или, используя формулу разности

, (15)

. (16)

Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть . Докажем, что уравнение

(17)

решений не имеет.

Разобьем числовую ось на промежутки

Для любого x из промежутка имеем, что левая часть уравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.

,

то для любого х из промежутка этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке уравнение (17) также не имеет решений.

,

то для любого x из промежутка этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке уравнение (17) не имеет решений.

Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение .

В процессе исследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

1.Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.

2.Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

3.Рассмотрены и опробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Продолжение исследования может заключаться в изученииприменения свойств синуса и косинуса, применении производной, использовании числовых неравенств, использовании графиков и других нестандартных способов решения уравнений и неравенств.

1. Абылкасымова А. Е. «Алгебра 10 класс», Мектеп, 2006 г.

2. Алилов М. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа». Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение», 2002 г.

3. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. «Лекции и задачи по элементарной математике», М.: Изд. «Наука», 1974 г.

4. Газета «Математика» №20, 2008 г.

5. Голубев В. И. «Решение сложных и нестандартных задач по математике», 1995 г.

6. Горштейн П. И. «Задачи с параметрами», М. «Илекса», 1999 г.

7. Гусев В. А., Мордович А. Г. «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение», 1990 г.

8. Далингер В. А. «Нестандартные уравнения и методы их решения», Омск, 1995 г.

9. Жафяров А. Ж. «Профильное обучение старшеклассников», 2001 г.

10. Журнал «Математика в школе», 1999-2007 г.

11. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Швардцбурд С. И. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа», М: «Просвещение», 1990 г.

12. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2008 г.

13. Кравцев С. В. «Методы решения задач по алгебре», М. «Оникс», 2001г.

14. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2003 г.

15. Кушнир А. И. «Математическая энциклопедия», Киев «Астарта», 1995 г.

16. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия», 1991 г.

17. Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа», М.: Высшая школа, 1995 г.

18. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Нестандартные методы решения», 1992 г.

19. Письменский Д. Т. «Математика для старшеклассников». Издательство, «Айрис». М., 1996 г.

20. Постникова, С. Я. «Уравнения с параметрами на факультативных занятиях», 2002 г.

21. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2002 г.

22. С. А. Барвенов «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.

23. Сканави М. И. «Сборник задач для поступающих в ВУЗы», М. «Высшая школа», 1988г.

24. Супрун В. П. «Нестандартные методы решения задач по математике» Минск «Полымя», 2000 г.

25. Теляковский С. Л. «Алгебра». Учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение», 1995 г.

26. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987 г.

27. Шабунин. М. И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.

28. Шыныбеков А. Н. «Алгебра 10 класс», Атамура, 2006 г.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Докажите, что следующее уравнение не имеет решений:

a. .

b. .

c. .

d. .

e.

2. Решите уравнение:

a.

b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

g.

Ответ:.

h. .

Ответ:

3. Решите неравенство:

a. .

Ответ:.

b. .

Ответ:.

c. .

Ответ:.

d. .

Ответ:.

e. .

Ответ:

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Оглавление

Введение
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение
Список литературы

Введение

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

1. Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
2. Провести опрос
3. Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
4. Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
5. Создать тренажёр
6. Апробировать продукт
7. Провести опрос об эффективности продукта
8. Собрать статистику
9. Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Видео:Нестандартные способы решения уравнений, неравенств, систем в 10-11 классахСкачать

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: , ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

• Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 3).Скачать

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно. Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

• Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
• Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
• Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
• Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

• Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
• Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 6).Скачать

Метод мажорант (оценки)

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

• Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
• Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
• Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Видео:решение УРАВНЕНИЙ решение НЕРАВЕНСТВ 10 11 классСкачать

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

• Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
• Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
• По графику определить решение уравнения/неравенства.
• Доказать справедливость ответа.

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем. (часть 7).Скачать

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

• Методом подбора определить корень уравнения.
• Найти ОДЗ уравнения.
• Привести многочлен к стандартному виду.
• Определить остальные корни уравнения.

Видео:Вебинар по математике Нестандартные методы решения уравнений и неравенствСкачать

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

Платформы были проанализированы по критериям:

• Понятный и удобный интерфейс сайта
• Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
• Наличие мобильной версии
• Возможность использования русского языка
• Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
• Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
• В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 2).Скачать

Презентация по алгебре на тему «Некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств» (9-11 класс))

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств
Работа ученицы 10Т класса школы №186 Твороговой Алины

Введение
Данная презентация является продуктом индивидуального проекта «Некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств». С её помощью ученики, студенты, учителя, или просто интересующиеся смогут узнать новые способы решения уравнений и неравенств, изучить алгоритмы выполнения заданий данного типа, а также практиковаться в изученной теме.

Метод рационализации
Что это?
Метод рационализации — это способ решения уравнений и неравенств, позволяющий в определённых случаях упростить выражение и свести его к рациональному с помощью основных формул рационализации.

Данный метод в последнее время становится всё более популярным, поскольку помогает существенно упростить решение неравенств, которые встречаются во второй части профильного ЕГЭ по математике.

Основные формулы метода рационализации

Метод рационализации
Алгоритм решения:
Найти ОДЗ уравнения/неравенства
Привести данное уравнение/неравенство к стандартному виду
Упростить уравнение/неравенство, используя основные формулы метода рационализации
Решить полученное неравенство/уравнение
Записать ответ

Пример 1
Решите неравенство 𝒍𝒐𝒈 𝒙 𝟐−𝒙 𝟒 0, 𝑥≠1, 𝑥≠2
2. Приведем логарифмы к одному основанию
log 𝑥 2−𝑥 4 0 (т.к. 𝑥 ) и 2−𝑥 −𝑥=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)

4. Продолжаем упрощение с помощью формул рационализации
Формула: 𝑛 𝑓 − 𝑛 𝑔 =𝑓−𝑔
(𝑥−1)(2−𝑥−𝑥)(2−𝑥+𝑥) 1

7. Используем метод интервалов с учетом ОДЗ
Отсюда x∈(0;1)∪(1;2) ∪ (2; +∞)
Ответ: 𝑥∈(0;1)∪(1;2) ∪ (2; +∞).

Пример 2
Решите неравенство 𝒍𝒐𝒈 𝒙−𝟐 ( 𝒙 𝟐 −𝟏)≤𝟐
1. Определим ОДЗ неравенства
2. Приведем логарифмы к одному основанию
ОДЗ: 𝑥 >1, 𝑥≠2, 𝑥≠3
log 𝑥−2 𝑥 2 −1 − log 𝑥−2 𝑥−2 2 ≤0
3. Упростим выражение с помощью основных формул метода рационализации
Формула: log 𝑛 𝑓 − log 𝑛 𝑔 =(𝑛−1)(𝑓−𝑔)
𝑥−2 −1 𝑥 2 −1− 𝑥 2 +4𝑥−4 ≤0
Формула: 𝑝(𝑥) − 𝑓 𝑥 =(𝑝 𝑥 −𝑞(𝑥))(𝑝 𝑥 +𝑞(𝑥))
(𝑥−2−1)(𝑥−2+1)(4𝑥−5)≤0,
(𝑥−3)(𝑥−1)(4𝑥−5)≤0

4. Решим полученные неравенства
𝑥−3≤0 𝑥−1≤0 4𝑥−5≤0
𝑥≤3 𝑥≤1 𝑥≤ 5 4

Какой первый шаг?

Пример 2
Решите неравенство 𝒍𝒐𝒈 𝒙−𝟐 ( 𝒙 𝟐 −𝟏)≤𝟐
5. Используем метод интервалов с учетом ОДЗ
Отсюда получаем подходящие промежутки:
𝑥∈ −∞;1 ∪ 1,25;2 ∪ 2;3
Ответ: 𝑥∈ −∞;1 ∪ 1,25;2 ∪ 2;3

1. Найдем ОДЗ неравенства
2. Приведем неравенство к стандартному виду
Попробуй самостоятельно записать ОДЗ в тетради!
𝑙𝑜𝑔 𝑥 2 3−𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥+2 3−𝑥 ≤0
3. Воспользуемся формулой рационализации
Какую формулу лучше использовать?
𝑥 2 −1 𝑥+2−1 3−𝑥−1 (𝑥+2− 𝑥 2 )≤0
𝑥 2 −1 𝑥+1 2−𝑥 (𝑥+2− 𝑥 2 )≤0

Проверь себя: ОДЗ 𝑥≠±1, 𝑥≠0, −2 0, 𝑥−3>0
𝑥 3
𝑥∈∅
Получается, что 𝑥 принадлежит пустому
множеству, а значит уравнение не имеет
решений

Ответ: нет решений.

Пример 2
Решите неравенство 𝟒 𝟏− 𝒙 𝟐 + 𝟔 𝒙 𝟒 −𝟏 0, 𝑥+3>0, 𝑥+3≠1, (𝑥−3) 2 ≠0

2. Решим систему неравенств
Воспользуйся методом интервалов!
𝑥>−3, 𝑥 −3, 𝑥≠−2, 𝑥≠3

Получаем, что левая часть неравенства имеет смысл при x=-3 и x=-2.

2. Решим систему неравенств
Значит 𝑥−3 =3−𝑥 при всех допустимых значениях 𝑥.
Поэтому
log 𝑥+3 3−𝑥 + log 𝑥+3 (3+𝑥)− 1 4 log 2 𝑥+3 (3−𝑥)≥2
log 𝑥+3 3−𝑥 +1− 1 4 log 2 𝑥+3 (3−𝑥)≥2
3. Воспользуемся методом замены и решим неравенство
𝑥=−1

Использование монотонности функции
Что это?
Использование монотонности функции – это способ решения уравнений и неравенств, позволяющий определить количество корней исходя из характера монотонности функции.

Использование монотонности функции
Алгоритм решения:
Определить монотонность и область определения функции (ООФ)
Методом подбора найти корень уравнения/неравенства
Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней
Записать ответ

Использование монотонности функции
Основные утверждения
Если функция 𝑦=𝑓(𝑥) монотонна, то уравнение 𝑓 𝑥 =𝐴 (где А – любое действительное число) имеет не более одного корня.
Если функция 𝑦=𝑓(𝑥) монотонно возрастает, а функция 𝑦=𝑔(𝑥) монотонно убывает, то уравнение 𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥) имеет не более одного корня.

С помощью утверждений 1 и 2 можно обосновать единственность решения уравнения в тех случаях, когда решить его стандартными способами не представляется возможным, но при этом удается подобрать корень уравнения, который, как правило, является целым числом.

Пример 1
Решите неравенство 𝟐 𝒙 ≥𝟔−𝒙

1. Представим левую и правую части неравенства в виде функций и определим их ООФ и монотонность
ООФ: 𝑥∈𝑅.
Функции: 𝑦= 2 𝑥 −возрастает, а 𝑦=6−𝑥−убывает

2. Методом подбора определим корень x, при котором обе части неравенства равны
При 𝑥=2:
2 2 ≥6−2
4=4
Значит, неравенство 2 𝑥 ≥6−𝑥
имеет решение при 𝑥>2
Ответ: 𝑥>2

1. Для удобного решения воспользуемся методом замены
Пусть log 4 𝑥 =𝑡. Тогда 𝑥= 4 𝑡 и 𝑥 = 2 𝑡 .
Получаем:
log 3 5+ 2 𝑡 =𝑡 ,
3 𝑡 =5+ 2 𝑡 .

2. Представим левую и правую части уравнения в виде функций и определим их монотонность и ООФ
𝑦= 3 𝑡 и 𝑦=5+ 2 𝑡 −
возрастающие функции
ООФ: 𝑥∈𝑅
3. Методом подбора найдём корень уравнения
При 𝑡=2:
3 2 =5+ 2 2
9=9

4. Разделим обе части уравнения на 2 𝑡 и снова определим монотонность полученных функций и ООФ
3 2 𝑡 =1+5∗ 1 2 𝑡
Подсказка:
𝑦= 3 2 𝑡 −возрастает основание 3 2 >1 , а
𝑦=1+5∗ 1 2 𝑡 −убывает основание 1 2 0 , 5−𝑥>0 → −1 1→ ƒ(х)≤1 0

Попробуй самостоятельно решить систему неравенств и определить ОДЗ уравнения!
Подсказка: ОДЗ = 𝑥>1

3. Найдём остальные корни уравнения
Так как функции 𝑦= 8 𝑥−1 и 𝑦= 4 𝑥 3 +8 – возрастающие,
то функция 𝑦= 8 𝑥−1 + 4 𝑥 3 +8 тоже монотонно возрастает.
Правая часть уравнения – константа, значит уравнение имеет
единственный корень – 𝑥=2.

Краткое описание документа:

Данная презентация является продуктом исследовательского проекта «Некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств». С её помощью ученики старших классов, а также студенты и учителя, смогут изучить новые методы решения заданий данного типа.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 248 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 09.05.2021
• 101
• 5

• 09.05.2021
• 680
• 175

• 09.05.2021
• 130
• 2

• 09.05.2021
• 149
• 2

• 09.05.2021
• 87
• 2

• 08.05.2021
• 106
• 2

• 08.05.2021
• 115
• 6

• 08.05.2021
• 86
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.05.2021 200
• PPTX 1.4 мбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Творогова Алина Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 515
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🔥 Видео

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 4).Скачать

Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 5).Скачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать