Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1·e -3x ·cos(2x)+C’2·e -3x ·sin(2x)=0
C’1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -4·e 2x ·sin(2x)
C’2 = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1
C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1
Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям
Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям
Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c2-2·c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3·c2-2·c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /13;B = 15 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4
Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i, r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e 0 x cos(x) = cos(x)
y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /2;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Видео:Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Другие полезные разделы:

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Видео:Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать

Частное решение ДУ, с помощью ряда

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, подставляя y’ в уравнение, получим Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям– решение этого уравнения.

Действительно, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям– тождество.

А это и значит, что функция Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям– есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решением этого уравнения является всякая функция вида Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, получим: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямопределяет различные решения уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямявляются решениями уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x0) = y0, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x0) = y0,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M0(x0,y0).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Решением этого уравнения является функция Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Действительно, заменив в данном уравнении, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямего значением, получим

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямто есть 3x=3x

Следовательно, функция Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямявляется общим решением уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямпри любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, получим Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямоткуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямподставив в это уравнение, полученное значение C = 0 Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям– частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямв котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямназывается уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямпо x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиями f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

  1. Производную функции переписать через её дифференциалы Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
  4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

разделим переменные Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

проинтегрируем обе части равенства:

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Ответ: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямОтсюда Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Подставив начальные значения x0 = 1, y0 = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямили Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Согласно условию Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Проинтегрировав обе части уравнения, получим: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямто уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямгде С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямданного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямy’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямчастным решением будет являться постоянная функция Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям. Поэтому общее решение имеет вид Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Следовательно, Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямгде С – произвольная постоянная.

Ответ: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Это уравнение с разделяющимися переменными: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Разделим переменные и получим: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Откуда Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям. Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

6. Подставить полученное значение v в уравнение Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям(из п.4):

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

и найти функцию Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямЭто уравнение с разделяющимися переменными: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

7. Записать общее решение в виде: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, т.е. Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобкиКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямНайдем функцию v: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Подставим полученное значение v в уравнение Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямПолучим: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямНайдем функцию u = u(x,c) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямНайдем общее решение: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямНайдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Ответ: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, в которую входят две произвольные постоянные C1 и C2.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямпри некоторых значениях произвольных постоянных C1 и C2.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив через r 2 , y’ через r, yчерез 1: Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямr 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям, где C1 и C2 — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Общее решение Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Дифференцируя общее решение, получим Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Составим систему из двух уравнений Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Подставим вместо Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям,Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиями Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямзаданные начальные условия:

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиямКак найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Таким образом, искомым частным решением является функция

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

2. Найти частное решение уравнения

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

1. Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

1. Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

2. а) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

2. а) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

б) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

б) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

в) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

в) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

г) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

г) Как найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

📽️ Видео

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)

Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

Общее и частное решение дифференциального уравнения

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать

Задача Коши для дифференциальных уравнений

Задача Коши, примеры, решение дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши, примеры, решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: