1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Гармонические колебания

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Колебательные движения. Формулы

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Функция x = f ( t ) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2 . 1 . 1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Рисунок 2 . 1 . 1 . Механические колебательные системы.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x = x m cos ( ω t + φ 0 ) , где x – смещение тела от положения равновесия, x m – амплитуда колебаний, ω – циклическая или круговая частота, t – время.

Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ = ω t + φ 0 . Если t = 0 , φ = φ 0 , тогда φ 0 рассматривается в качестве начальной фазы.

Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f = 1 T .

Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах ( Г ) . Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

ω = 2 π f = 2 π T .

Рисунок 2 . 1 . 2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Рисунок 2 . 1 . 2 . Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ 0 = 0 . Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T 12 .

На графике 2 . 1 . 3 . показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний x m , или периода Т (частоты f ), или начальной фазы φ 0 .

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Рисунок 2 . 1 . 3 . Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0 : a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой ( x ‘ m > x m ) ; b – красная кривая отличается от синей только значением периода ( T ‘ = T 2 ) ; с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы φ 0 ‘ = — π 2 р а д .

Видео:Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)

Гармонический закон

Если колебания совершаются вдоль прямой О х , тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ = υ x определяют из выражения υ = ∆ x ∆ t ; ∆ t → 0 .

Отношение ∆ x ∆ t при ∆ t → 0 математика трактует как вычисление производной функции x ( t ) за определенное время t . Обозначение принимает вид d x ( t ) d t , x ‘ ( t ) или x ˙ .

Гармонический закон движения записывается в качестве x = x m cos ( ω t + φ 0 ) . После вычисления производной формула приобретает вид:

υ = x ˙ ( t ) = — ω x m sin ( ω t + φ 0 ) = ω x m cos ω t + φ 0 + π 2 .

Слагаемое + π 2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ = ω x m производится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x = 0 . Аналогично определяют ускорение a = a x . Тогда a = ∆ υ ∆ t , ∆ t → 0 . Отсюда следует, что a равняется производной функции υ ( t ) за время t или второй производной функции x ( t ) . Подставив выражения, получим

a = υ ˙ ( t ) = x ¨ ( t ) = — ω 2 x m cos ( ω t + φ 0 ) = — ω 2 x ( t ) .

Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a ( t ) имеет противоположный смещению x ( t ) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x = 0 .

На рисунке 2 . 1 . 4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Рисунок 2 . 1 . 4 . Графики координаты x ( t ) , скорости υ ( t ) и ускорения a ( t ) тела, совершающего гармонические колебания.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Рисунок 2 . 1 . 5 . Модель гармонических колебаний.

Видео:Колебательное движение. 1 часть. 9 класс.Скачать

Колебательное движение. 1 часть. 9 класс.

Гармонические колебания

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Выполнялка 53.Гармонические колебания.

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Видео:Физика 9 класс. §25 Гармонические колебанияСкачать

Физика 9 класс. §25 Гармонические колебания

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Видео:Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | ИнфоурокСкачать

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | Инфоурок

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Видео:10 класс, 19 урок, График гармонического колебанияСкачать

10 класс, 19 урок, График гармонического колебания

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

  • сама колебательная система
  • источник энергии
  • устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Видео:Тема 1. Колебательное движение. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебанийСкачать

Тема 1. Колебательное движение. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Видео:Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1Скачать

Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Видео:5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

5.4 Уравнение гармонических колебаний

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

  • Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
  • Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Видео:Физика 10 класс. Гармонические колебания. Решение задачСкачать

Физика 10 класс. Гармонические колебания. Решение задач

Гармонические колебания в физике — формулы и определение с примерами

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение, а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

С течением времени смещение груза уменьшается относительно 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение, но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение (1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение) равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде (1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение):

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

здесь: 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение– циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение– начальная фаза, (1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение) фаза колебания с течением времени 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение.
Из математики известно, что 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениепоэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение– время одного полного колебания:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение)

б) частота колебания 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение– количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Единица 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
c) циклическая частота 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение– количество колебаний за 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениесекунд:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются.
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Формула и решение:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Видео:Гармонические колебанияСкачать

Гармонические колебания

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениесила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— масса шарика, закрепленного на пружине, 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— проекция ускорения шарика вдоль оси 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— жесткость пружины, 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение-удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениесоответствует квадрату циклической частоты 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеявляются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениефаза колебания, 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеЗначение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеВ этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеили 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Видео:График гармонического колебания | Алгебра 10 класс #23 | ИнфоурокСкачать

График гармонического колебания | Алгебра 10 класс #23 | Инфоурок

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Сила тяжести 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениедействующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеОднако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи перпендикулярная нити 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеСила натяжения 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи составляющая силы тяжести 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеуравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение«пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев проекциях на ось ОХ:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Приняв во внимание, что:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Для уравнения движения математического маятника получим:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Где 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— длина математического маятника (нити), 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— ускорение свободного падения, 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениетакже соответствует квадрату циклической частоты 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение(а).

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеа колебания смещения на

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение(см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Превращения энергии при гармонических колебаниях

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеимеет максимальное значение:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеа в точке равновесия максимальна:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеостается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

b) для математического маятника:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают: 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение(2)

Высоту 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеможно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Если колебания малые, то 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеИз треугольника KCD на рисунке 8 находим

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Подставив выражение для 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев формулу I (2), получим

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Подставляя выражения для 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев соотношение (1), находим

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение, модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

где 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениегруза в точке с

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Так как 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение(рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнението из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениет. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Высоту 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеможно выразить через длину 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениемаятника и амплитуду 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеколебаний. Если колебания малые, то 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеИз 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение(см. рис. 10) находим:
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

или 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Подставив выражение (3) для 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев формулу (2), получим:
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Подставляя выражения (3) для 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи (4) для 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев соотношение (1), находим:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

В крайних положениях, когда 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениемодуль скорости маятника 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениевся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

где 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

С учетом выражений для координаты 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи проекции скорости груза 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеа также для 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениенаходим его потенциальную энергию 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи кинетическую энергию 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениев произвольный момент времени

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Таким образом, начальное смещение 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеопределяет начальную потенциальную, а начальная скорость 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеопределяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениесм и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеОпределите период 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеколебании маятника.
Дано:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Решение

По закону сохранения механической энергии

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Ответ: 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Пример №2

Груз массой 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениег находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеЕго смешают на расстояние 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениесм от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеОпределите потенциальную 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеи кинетическую 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеэнергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Решение Потенциальная энергия груза:
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Кинетическая энергия груза:
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Отсюда
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Циклическая частота:
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
В начальный момент времени 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениекоордината груза 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнениеОтсюда начальная фаза:
1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение
Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Ответ: 1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

1 какие колебания являются гармоническими поясните смысл каждой величины входящей в уравнение

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Вынужденные колебания в физике
  • Электромагнитные колебания
  • Свободные и вынужденные колебания в физике
  • Вынужденные электромагнитные колебания
  • Закон Архимеда
  • Движение жидкостей
  • Уравнение Бернулли
  • Механические колебания и волны в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💡 Видео

Гармонические колебания | Физика 11 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Гармонические колебания | Физика 11 класс #8 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: