- Контрольная работа «Решение дифференциальных уравнений» материал для подготовки к егэ (гиа) на тему
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»
- Дифференциальные уравнения (варианты)
- Вариант 2
- Вариант 5
- 📸 Видео
Видео:Контрольная по диффурам за 20 минут!Скачать
Контрольная работа «Решение дифференциальных уравнений»
материал для подготовки к егэ (гиа) на тему
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Контрольная работа «Решение дифференциальных уравнений» | 49 КБ |
Видео:Контрольная работа Дифференциальные уравнения Задача1Скачать
Предварительный просмотр:
Контрольная работа №1 «Решение дифференциальных уравнений»
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.
Интегрируем обе части последнего равенства
В результате получим
Таким образом, получаем общий интеграл
Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие
Отсюда получаем частный интеграл
1. Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений.
1 . 
2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием при
1.Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений
2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием при
Контрольная работа №1 «Решение дифференциальных уравнений»
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.
Интегрируем обе части последнего равенства
В результате получим
Таким образом, получаем общий интеграл
Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие
Отсюда получаем частный интеграл
1. Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений.
1 .
2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием при
1.Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений
2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием при
Видео:Математика это не ИсламСкачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка занятия по предмету Элементы высшей математики по теме: «Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными».
Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными.Тип занятия: комбинированный, с элементами игры.Формы занятия: индивидуальная, группо.
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Методическая разработка.
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Методическая разработка.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Презентация к занятию по дисциплине ЕН.02 Математика по теме «Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка».
Контрольная работа Решение показательных и логарифмических уравнений
Контроль умений учащихся решать уравнения и неравенства.
Контрольная работа по теме: «Уравнения и неравенства с двумя переменными» 9 класс
Контрольная работа по теме: «Уравнения и неравенства с двумя переменными»1. Решить систему уравнений способом сложения.2. Решить систему уравнений способом подстановки.3. Найти периме.
Контрольная работа по теме: «Уравнения и неравенства с двумя переменными» 9 класс
Контрольная работа №4 по теме: «Уравнения и неравенства с двумя переменными»Вариант 1Контрольная работа №4 по теме: «Уравнения и неравенства с двумя переменными» .
Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»
1. Найти частные решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:
а) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, 
.
2. Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:
а) 
, 
, 
; б) 
, 
, ;
в) 
, 
, 
.
3. Найти частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
, 
, ; б) 
, , 
.
1. Найти частные решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:
а) 
, ; б) 
, , в) 
, 
.
2. Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:
а) 
, 
, 
; б) 
, 
, 
;
в) 
, 
, 
.
3. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка:
а) 
, , 
; б) 
, 
, .
Видео:1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать
Дифференциальные уравнения (варианты)
Это уравнение вида 
— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим 
Используем условие 
. Тогда 
, Окончательно 
Ответ:
Решим соответствующее однородное уравнение 
Составим характеристическое уравнение 
Его корни 
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
. 
Подставим в исходное 
, 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Продифференцируем по х второе уравнение
Исключая с помощью первого уравнения 
и с помощью второго уравнения системы, получим
, 
, 
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
и 
. Следовательно, общее решение для х будет 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
.
Подставим в исходное 
, 
, 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Из второго уравнения
Ответ: 
Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Вариант 2
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: 
или 
Ответ:
Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем условие 
. Тогда 
, Окончательно 
Ответ: 
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки 
, тогда 
.
Отсюда 
— линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: 
,
Замена 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим 
Ответ: 
Решим соответствующее однородное уравнение 
Составим характеристическое уравнение 
Его корни 
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
. 
Подставим в исходное 
, 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0
Корни характеристического уравнения:
R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x
Уравнение имеет частное решение вида: 
Y’ = 
Y» = 
Y»’ = 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
-3
+4
=
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид: 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3 — 16r = 0
Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx
Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx
Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = -1/24;
Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x
Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)
Поиск частного решения.
Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)
или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;
Частное решение имеет вид:
Поиск частного решения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)
или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;
Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)
Окончательно, общее решение данного уравнения 
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -6 r + 8 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно 
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -4 r + 4 = 0
Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.
Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)
или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;
Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Используем начальные условия 
Тогда окончательно, 
Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения 
имеет мнимые корни 
. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения 
. Тогда 
. Подставляем в первое граничное условие
. Тогда 
.
Подставляем во второе граничное условие 
При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0
Поэтому 
и 
— собственные значения
— собственные векторы
Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по х первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения 
, получим 
, 
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
и 
. Следовательно, общее решение для х будет 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
. Подставим в исходное 
,
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Из первого уравнения 
Ответ: 
Продифференцируем по х второе уравнение
Исключая с помощью первого уравнения , получим
, 
,
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение имеет корни 
и 
. Следовательно, общее решение для х будет 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
. Подставим в исходное 
, 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Из второго уравнения 
Ответ: 
Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать
Вариант 5
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: 
или 
Ответ:
Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим 
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем условие 
. Тогда 
, Окончательно 
Ответ:
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда 
— линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: 
,
Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим 
Ответ: 
Решим соответствующее однородное уравнение 
Составим характеристическое уравнение 
Его корни 
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
. 
, 
, 
.
Подставим в исходное 
, 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 — r= 0
Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0
Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Рассмотрим правую часть: f(x) = 
Уравнение имеет частное решение вида: 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид: 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, 
r2 = -4i
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x
Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем
Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 0;B = 2;
Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)
Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 1/2;
Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно 
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.
Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)
или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;
Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Используем начальные условия 
Тогда окончательно, 
Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Подставляем в первое граничное условие
. Тогда 
.
Подставляем во второе граничное условие 
При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0
Поэтому 
и 
— собственные значения
— собственные векторы
Продифференцируем по х второе уравнение 
Исключая с помощью первого уравнения 
и с помощью второго уравнения системы, получим
,
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Следовательно, общее решение для 
будет 
.
Из второго уравнения 
Ответ: 
Найдём сначала общее решение соответствующей однородной системы 
Продифференцируем по х второе уравнение 
Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим
,
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Следовательно, общее решение для будет 
.
Из второго уравнения 
Общее решение однородной системы:
Принимаем частное решение первоначальной системы в виде:
Решаем данную систему по формулам Крамера, получим два дифференциальных уравнения первого порядка:
Окончательно,
Или
Ответ:
📸 Видео
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать
Математика Высшая Решение задач Контрольных работ Помощь на экзаменах онлайн ЕГЭ ГИА РепетиторСкачать
1. Дифференциальные уравнения высших порядков. Демонстрационный вариант контроля по модулюСкачать
Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать
11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать
Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать
