Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Содержание
  1. Онлайн калькулятор. Точка пересечения прямых
  2. Найти точку пересечения прямых
  3. Ввод данных в калькулятор для вычисления координат точки пересечения прямых
  4. Дополнительные возможности калькулятора вычисления координат точки пересечения прямых
  5. Теория. Координаты точки пересечения двух прямых
  6. Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
  7. Предупреждение
  8. Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
  9. 1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
  10. 2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
  11. 3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
  12. 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
  13. Взаимное расположение прямых в пространстве
  14. Расстояние между параллельными прямыми
  15. Расстояние между скрещивающимися прямыми
  16. Угол между прямыми
  17. Взаимное расположение прямой и плоскости
  18. Угол между прямой и плоскостью
  19. 🔍 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Онлайн калькулятор. Точка пересечения прямых

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления координат точки пересечения прямых.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление координат точки пересечения двух прямых и закрепить пройденный материал.

Видео:Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

Найти точку пересечения прямых

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Уравнение 1-ой прямой:

Уравнение 2-ой прямой:

Ввод данных в калькулятор для вычисления координат точки пересечения прямых

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления координат точки пересечения прямых

  • Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Координаты точки пересечения двух прямых

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

  • Содержание
  • 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
  • 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
  • 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
  • 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн,(1)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн,(2)

Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн,(3)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн,(7)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(8)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(11)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(12)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(13)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(14)

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(15)

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(16)

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(17)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(18)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(19)

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(20)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(21)

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(22)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(23)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(26)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(27)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(30)

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(31)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(32)

Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(33)

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(34)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(35)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(36)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн.(37)

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(38)
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(39)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн
Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(42)

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

Установить взаимное расположение прямых заданных уравнениями онлайн(43)

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 класс

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Видео:Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.Скачать

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

Видео:7 класс, 10 урок, Взаимное расположение графиков линейных функцийСкачать

7 класс, 10 урок, Взаимное расположение графиков линейных функций

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

🔍 Видео

Стереометрия 10 класс. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 2 | Математика | TutorOnline

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

Определить взаимное положение прямых. Видимость точек на скрещивающихся прямых.Скачать

Определить взаимное положение прямых. Видимость точек на скрещивающихся прямых.

Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостейСкачать

Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей
Поделиться или сохранить к себе: