Как решать задачи на движение навстречу друг другу через уравнение

Видео:Задачи на движение навстречу друг другуСкачать

Задачи на встречное движение

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о встречном движении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся навстречу друг другу. Задачи на встречное движение можно решать двумя способами.

Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из двух населённых пунктов и встретились через 4 часа. Первый автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, а второй — со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся населённые пункты?

Решение: Из условия задачи известны скорость каждого автомобиля и время, которое автомобили были в пути. Значит, можно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль до встречи. Для этого нужно скорость умножить на время:

1) 100 · 4 = 400 (км) — проехал первый автомобиль,

2) 70 · 4 = 280 (км) — проехал второй автомобиль.

Найдя сумму полученных результатов, узнаем расстояние между населёнными пунктами:

400 + 280 = 680 (км).

Данную задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между автомобилями сокращалось на 170 километров (100 + 70), 170 км/ч — это скорость сближения автомобилей. За 4 часа они проехали расстояние:

Таким образом, задачу на встречное движение можно решить двумя способами:

Ответ: Населённые пункты находятся на расстоянии 680 км.

Задача 2. Из двух посёлков навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов после выхода, если расстояние между посёлками 70 км?

Решение: Сначала можно определить сколько километров прошёл каждый из пешеходов за 5 часов, для этого скорость пешеходов умножим на 5:

1) 4 · 5 = 20 (км) — прошёл первый пешеход,

2) 5 · 5 = 25 (км) — прошёл второй пешеход.

Затем можно найти общий путь, пройденный двумя пешеходами за 5 часов:

Теперь можно найти расстояние между пешеходами, отняв от общего расстояния между посёлками 45 уже пройденных километров:

У данной задачи есть и второй вариант решения. Можно сначала найти скорость сближения пешеходов:

Затем найти пройденное расстояние, умножив скорость сближения (9 км/ч) на время движения пешеходов (5 ч):

А теперь, для нахождения расстояния между пешеходами, вычесть пройденное расстояние (45 км) из общего:

Таким образом, данная задача имеет два варианта решения:

Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 25 км.

Видео:Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Как решать задачи на движение на ЕГЭ по математике 2019

Классическим примером текстовой задачи, которая может встретиться вам на ЕГЭ, является задача на движение. Эти задачи довольно разнообразны и включают в себя: задачи на движение навстречу, задачи на движение вдогонку, задачи на движение по реке. И поэтому вопрос, как же решать задачи на движение, иногда ставят учеников в тупик.

Научиться решать такие задачи довольно легко, для этого нужно знать алгоритм, состоящий всего из 3 шагов.

Видео:5 класс Задача на движение навстречу друг другу Решение уравненийСкачать

Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить

Для решения любой задачи на движение вам обязательно нужно знать всего одну формулу, которая вам уже давно известна:И уметь правильно выражать из этой формулы скорость и время:Многие ученики путаются при записи этих формул, допуская ошибки. Чтобы раз и навсегда запомнить формулы нахождения расстояния, скорости и времени, просто нарисуй треугольник. В верхнем углу треугольника напиши S, а внизу — V и t. Проведи горизонтальную черту между ними. Теперь мы можем закрыть рукой ту величину, которую нам нужно найти, и увидим формулу нахождения этой величины. Например, нам нужно найти расстояние. Закрываем рукой S, и на нашем рисунке останется V t – это и есть формула нахождения расстояния. Или нам нужно найти время. Закрываем рукой t, и на нашем рисунке остается – формула нахождения времени. Нужно найти скорость? Закрываем рукой V, получаем – формулу нахождения скорости. Главное запомнить, что S должна быть в верхнем углу. Это можно сделать, например, с помощью ассоциации, что S похожа на змею, а змея – хозяйка горы, поэтому она на вершине. Вот как выглядит такой магический треугольник:

Видео:Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.Скачать

3 простых шага решения задачи на движение

Чтобы правильно решить задачу на движение нужно:

1. Определить неизвестное и составить таблицу на основании условия задачи.
2. Составить уравнение на основании таблицы.
3. Вернуться к условиям задачи и записать правильный ответ.

Давайте подробнее разберем каждый шаг:

1. Вначале нам нужно внимательно прочитать условие задачи и определить, что же взять за переменную Х. Чаще всего в задачах на движение удобнее всего за переменную Х обозначить скорость. Если же скорость нам прямо дана в условиях задачи, то за переменную Х обозначаем время. Если в условиях задачи прямо указаны значения и скорости, и времени, тогда за переменную Х берем расстояние. Затем из условий задачи определить все, что нам известно и занести в таблицу.
2. На основании полученной таблицы составляем уравнение и решаем его. После решения уравнения не торопимся записывать ответ. Ведь нахождение Х – это не всегда ответ к исходной задаче. Такую ошибку совершают многие ученики: фактически правильно решив задачу, они записывают неправильный ответ.
3. После решения уравнения возвращаемся к условиям задачи и смотрим, что же требовалось найти. Находим неизвестное и записываем ответ.

Задачи на движение бывают разными. В таких задачах участники движения могут двигаться навстречу друг другу, вдогонку, они могут двигаться по реке (против течения или по течению). Каждая из этих задач имеет особенности решения, о которых мы поговорим ниже и разберем на примерах.

Видео:Задачи на движение по земле навстречу друг другу. Как найти путь Как решать задачи в 5-7. Часть 14Скачать

Задачи на движение вдогонку: примеры с решением

Видео:Математика. Типы задач на движение. Задачи на сближение. Скорость сближенияСкачать

При решении задачи, по условия которой оба участника движения двигаются в одном направлении, как правило, сравнивается время их движения. Необходимо запомнить правила:

1. Если время движения сравнивается (то есть присутствуют слова больше/меньше), то мы приравниваем время и прибавляем слагаемое. То есть чтобы получить большее время, мы прибавляем к меньшему времени что-то еще (из условий задачи).
2. Если условия задачи содержат общее время, то дроби, выражающее время, складываются.

Давайте разберем, как работают эти правила при решении задач.

Задача 1

Велосипедист и автомобилист одновременно выехали из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 50 км. Известно, что скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста, в результате чего автомобилист приехал в пункт Б на 4 часа раньше. Найдите скорость велосипедиста.

1. Необходимо определить, что взять за переменную Х и составить таблицу. Вспоминаем, что удобнее всего за Х обозначить скорость в том случае, если она прямо не указано в условиях задачи.

В нашем случае скорость в условиях задачи не указана, поэтому скорость велосипедиста обозначаем за Х.

Составляем таблицу, данные для которой берем из условий задачи.

Итак, расстояние (S) нам известно – 50 км, скорость велосипедиста – х, скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, значит она равна х + 40. Чтобы определить время вспоминаем формулу t = S / V и подставляем в нее наши значения. Время, затраченное велосипедистом, получится 50 / х, а время, затраченное автомобилистом — 50 / (х + 40).2. На основании таблицы и условий задачи необходимо составить уравнение.

Из условий задачи нам известно, что автомобилист приехал раньше велосипедиста на 4 часа (смотрим наше первое правило). Это значит, что велосипедист затратил на 4 часа больше времени, чем автомобилист. Следовательно,

50 / (х + 40) + 4 = 50 / х

Решаем полученное уравнение, для этого приводим наши дроби к одному знаменателю:

50х + 4х (х + 40) – 50 (х+40) / х (х + 40) = 0

(50х + 4х 2 + 160х – 50х – 2000) / х (х+40) = 0

(4х 2 + 160х – 2000) / (х 2 + 40х) = 0

Умножим обе части уравнение на х 2 + 40х:

4х 2 + 160х – 2000 = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

х 2 + 40х – 500 = 0

D = 40 2 – 4 * 1 * (-500) = 3600

Далее находим корни уравнения:

х₂ = — 50

3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что же требовалось найти.

Нам нужно было определить скорость велосипедиста, которую мы обозначили за Х.

Скорость велосипедиста должна быть положительна, поэтому х₂ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, нас интересует только х₁ и скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Задача 2

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он поехал обратно, при этом его скорость была на 2 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа. В итоге на возвращение из города Б в город А у него ушло времени столько же, сколько на путь из города А в город Б. Найдите скорость велосипедиста на пути из города А в город Б.

1. Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город Б как переменную Х.

Из условий задачи: расстояние — 80 км, скорость велосипедиста во второй день – х. Его скорость во второй день была на 2 км/ч больше, чем в первый день, т.е. в первый день она была ниже, следовательно, скорость велосипедиста в первый день равна х – 2. Определим затраченное велосипедистом время на путь по формуле t = S / V. Тогда время, затраченное в первый день на путь равно 80 / х, во второй день — 80 / (х + 2).2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.

Из условий задачи нам известно, что во второй день велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа, следовательно, в пути он провел на 2 часа меньше (смотрим наше первое правило). Также нам известно, что общее затраченное велосипедистом время в первый и во второй дни равно. Следовательно:

80 / (х + 2) + 2 = (80 / х)

Решаем полученное уравнение, для чего приводим дроби к общему знаменателю:

(80х + 160 – 80х – 2х (х+2)) / х (х + 2) = 0

Умножаем обе части уравнения на х (х + 2):

160 – 2х 2 + 4х = 0

— 2х 2 — 4х + 160 = 0

Делим обе части уравнения на -2:

D = 2 2 – 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324

Тогда корни уравнения равны:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость велосипедиста на пути из города А в город Б, которую мы обозначали за Х.

Скорость должна быть положительна, поэтому х₂ = — 10 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 8.

Видео:Как решать задачу B14: движение навстречуСкачать

Задачи на движение навстречу: примеры с решением

Главное, что нужно помнить о движении навстречу: скорости участников движения складываются.

В тех случаях, когда нам неизвестно общее расстояние, то есть мы не можем его определить из условий задачи и из составленных уравнений, данное расстояние следует принимать за единицу.

Примеры решения задач на движение навстречу:

Задача 1

Из города А в город Б выехал автомобилист, через 3 часа навстречу ему выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Расстояние между городами А и Б равно 470 км. Найдите скорость автомобилиста.

1. Обозначим скорость автомобилиста как Х.

Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Следовательно, автомобилист проехал 350 км, а мотоциклист 470 – 350 = 120 км.

Составим таблицу:2. Составим уравнении на основании таблицы и условий задачи.

Из условий задачи известно, что автомобилист ехал на 3 часа дольше, чем мотоциклист (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Следовательно:

Решаем полученное уравнение:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость автомобилиста, которую мы обозначали за Х. Следовательно, скорость автомобилиста равна 70 км/ч.

Задача 2

Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и велосипедист. Автомобилист приехал в город А на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в город Б. Встретились они через 4 часа после начала движения. Сколько времени затратил автомобилист на путь из города Б в город А?

1. Время автомобилиста обозначим как Х.

Примем расстояние между городами А и Б за единицу. Остальные данные берем из условий задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение на основании таблицы и условий задачи.

Известно, что велосипедист и автомобилист встретились через 4 часа после начала движения и в сумме преодолели все расстояние от города А до города Б. То есть все расстояние от города А до города Б было преодолено за 4 часа.

Вспоминаем, что при движении навстречу скорости движения участников складываются. Подставим в формулу пути известные нам данные:

((1 / х) + (1 / (х — 6))) * 4 = 1

Решаем полученное уравнение:

(4 / х) + (4 / (х — 6)) = 1

Приводим дроби к одному знаменателю:

(4х — 24 + 4х — х 2 + 6х) / (х (х — 6)) = 0

Делим обе части уравнения на х (х — 6), при условии, что х > 6:

-х 2 + 14х — 24 = 0

Умножим обе части уравнение на -1:

х 2 — 14х + 24 = 0

Находим дискриминант нашего квадратного уравнения:

D = 14 2 – 4 * 1 * 24 = 100

Находим корни уравнения:

х₂ 2 + 40х – 40х – 200 = 0

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти собственную скорость катера, которую мы обозначили за Х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -15 противоречит условию задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Задача 2

Моторная лодка вышла в 9:00 из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 30 км. Пробыв в пункте Б 3 часа, моторная лодка повернула назад и вернулась в пункт А в 20:00. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость моторной лодки 8 км/ч.

1. Обозначим скорость течения реки за х. Остальные данные берем из условия задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение.

Нам известно, что моторная лодка начала свое движение в 9:00, а закончила в 20:00, а также в течение этого времени пробыла без движения во время стоянки – 3 часа. Таким образом, общее время движения будет 20 – 9 – 3 = 8 часов. Когда речь идет об общем времени движения, то нам нужно сложить время движения по течению и время движения против течения (пользуемся вторым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Получаем:

30 / (8+х) + 30 / (8-х) = 8

Решаем полученное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(30 (8+х) + 30 (8-х) – 8 (8-х) (8+х)) / (8-х) (8+х) = 0

Умножаем обе части уравнения на (8-х) (8+х):

240 + 30х + 240 – 30х – (64 – 8х) (8+х) = 0

480 – 512 – 64х + 64х – 8х 2 = 0

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти скорость течения, которую мы обозначили за х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -2 противоречит условию задачи. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.

Итак, мы разобрались, как решать задачи на движения. В ЕГЭ 2019 помимо задач на движение могут содержаться и другие текстовые задачи: на смеси и сплавы, на работу, на проценты. О том, как их решать, вы можете узнать на нашем сайте.

Видео:Задачи на движение по земле навстречу друг другу. Как найти скорость и время. Как решать задачи (15)Скачать

Задачи на движение

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Видео:Задачи по математике на Движение. Как объяснить ребенку задачи на движение?Скачать

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Видео:Задачи на движение двух объектовСкачать

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Видео:Задача на встречное движение. Как решить задачу на движение?Скачать

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7.

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Видео:Задачи на совместную работу и движение навстречу друг другуСкачать

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8.

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Видео:Математика 5 класс (Урок№70 - Задачи на совместную работу и движение навстречу друг другу.)Скачать

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Видео:Задачи на встречное и противоположное движение. Решение задач на движение.Скачать

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Видео:Задачи на движение по воде | Математика | TutorOnlineСкачать

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов. Получить карточки с задачами разных видов можно по ссылке.

Видео:Как научиться решать задачи с помощью уравнений. Часть 1, движение на встречу друг другуСкачать

Задачи на движение

Задачи на движение начинают проходить в 5 классе и решают все оставшиеся учебные годы вплоть до 11 класса. В ЕГЭ по математике вы найдете задачи на движение в задании 11, в котором собраны все текстовые задачи. Рассмотрим как надо решать задачи на движение из ЕГЭ. Но сначала немного теории.

Видео:ЗАДАЧА НА ДВИЖЕНИЕ / Они едут навстречу друг другу? / ЕГЭ #88588 профильСкачать

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

1. Анализ данных.
2. Составление таблицы.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Видео:Математика 5 класс (Урок№35 - Задачи на движение.)Скачать

Примеры решения

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10		60
Второй велосипедист	x		60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Видео:ОГЭ Задание 22 Движение навстречу друг другуСкачать

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При движении в противоположном направлении объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

Движение друг за другом (вдогонку)

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

Задачи на движение по кругу

При движении по кругу объекты могут:

• сближаться, если скорость догоняющего больше скорости догоняемого. Скорость сближения будет равна ;
• отдаляться, если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого. Скорость удаления будет равна .

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

• Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
• Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
• Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S: S₁ – S₂ = m · S.

Задачи на движение мимо объекта

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:
S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

Задачи на движение по течению и против течения

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Видео:УЧИМСЯ ЛЕГКО РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ / ПОДСКАЗКА ВСЕГДА ПОД РУКОЙ СКОРОСТЬ ВРЕМЯ РАССТОЯНИЕСкачать

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

112 ∙ = v ∙ = v ∙ + 44 ⇔ 4 ∙ v = 112 ∙ 4 – 44 ∙ 5 ⇔ v = 57.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.

Ответ: 57 км/ч.

Задача 2.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна

Тогда если скорость велосипедиста – это 1 единица отношения, то скорость мотоциклиста – это 6 единиц отношения.

Так как они едут в одном направлении, их общая скорость 5 единиц отношения.

∙5 ед.отн. = 5

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 3

Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение: Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой ― 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

, отсюда , отсюда и .

Ответ: через 9 минут.

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данную задачу можно интерпретировать (представить её, как задачу на линейное движение): Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 80 км/ч. Через 40 минут он опережает второго на 14 км (т. к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в заданиях на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение так же производим по расстоянию.

За x принимаем искомую величину ― скорость второго. Время движения 40 минут (2/3 часа) для обоих. Заполним графу «расстояние»:

v	t	S
1	80	2/3
2	x	2/3

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 14 км.

80 ∙ больше, чем x ∙ больше, чем x ∙ на 14.

80 ∙ = x ∙ = x ∙ + 14;

– – = x ∙ ;

Скорость второго автомобиля 59 (км/ч).

Ответ: 59 км/ч.

Задача 5

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна v + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Прямолинейное движение: равномерное и равноускоренное

Задачи ЕГЭ по кодированию генетического кода

Как решать текстовые задачи по математике ЕГЭ

Как решать задачи на вероятность

Как решать экономические задачи егэ по математике профильный уровень

Сочинение на тему: Автор и его герой в поэме «Василий Теркин». Движение сюжета поэмы