Как преобразовывать уравнения в алгебре (3 видео)

Равносильные уравнения

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 — это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Содержание

Преобразование уравнений
Общие методы преобразования уравнений
Равносильные уравнения, преобразование уравнений
Понятие равносильных уравнений
Понятие уравнений-следствий
📺 Видео

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

можно преобразовать в такое:

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

заменив его равносильным уравнением

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение x — 5 = 7. Прибавив к обеим частям уравнения число 5

получим уравнение x = 12. Если в уравнение x — 5 = 7 вместо x подставить число 12, то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число 5, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести три следствия:

Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Рассмотрим уравнение 5x — 4 = 12 + x. Прибавим к обеим частям уравнения по 4:

5x — 4 + 4 = 12 + x + 4.

то есть член 4 перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения 5x — 4 = 12 + x по x:

то есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.

Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.

Перенесём все члены левой части уравнения 5x — 4 = 12 + x в правую, а все члены правой в левую:

И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:

то есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.

Данное преобразование можно также рассматривать как умножение обеих частей уравнения на -1.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3:

получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести два следствия:

Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:

Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.

x +	12 — x	=	26 — x	.
	4		2

После приведения всех членов к общему знаменателю получим:

4x	+	12 — x	=	2(26 — x)	.
4		4		4

Теперь, умножив все члены уравнения на 4, или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Общие методы преобразования уравнений

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

обобщить и углубить знания по теме;
сформировать представление о методах и способах решения алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;
формирование навыков умственного труда;
развивать качества мышления: гибкость, рациональность, критичность;
развитие внимания, логического мышления, аргументированной математической речи, самостоятельности, познавательной активности;
воспитание ответственности, воли, упорства в достижении поставленной цели, умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Оборудование: кодоскоп, слайды, доклады-сообщения учащихся.

Тип урока: урок формирования знаний, умений и навыков.

Формы обучения: общеклассная, групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практические задания, самостоятельная деятельность, проблемно-поисковый.

I. Организационный момент

Мотивационная беседа с учащимися пропедевтической направленности через осознание ими практической значимости изучаемых и применяемых знаний, умений и навыков.

Эпиграф урока: «Час, затраченный на понимание, экономит год жизни». (В. Босс)

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Работа по основным определениям, понятиям, относящимся к уравнениям (вопросы, составленные на основе курса лекций 1-4 «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автора П.В. Чулкова, М. Шабунин «Уравнения» – библиотека приложения к газете 1 сентября, дополнительные главы по курсу математики 10 под редакцией З.А. Скопеца);

2. Ответить на вопросы:

– Верно ли, что 5х = 10 х 2 = 8 на множестве действительных чисел, на множестве рациональных чисел?
– Верно ли, что 2х = 10 5х = х 2 ?

3. Алгоритм решения уравнения или как мы решаем уравнения?

III. Решение уравнений

Рассмотрим наиболее часто встречаемые преобразования уравнений.

а) разложение на множители (или расщепление уравнений):

1. х 3 – 4х 2 – 16х + 64 = 0
(х 3 – 4х 2 ) – (16х – 64) = 0
х 2 (х – 4) – 16(х – 4) = 0
(х – 4)(х 2 – 16) = 0
(х – 4) 2 (х + 4) = 0
х₁ = 4 или х₂ = – 4

2. х 3 + х – 10 = 0 (заслушать предлагаемые учащимися способы)
х 3 + х – 8 – 2 = 0
(х 3 – 8) + (х – 2) = 0
(х – 2)(х 2 + 2х + 4) + (х – 2) = 0
(х – 2)( х 2 + 2х + 5) = 0
(х – 2) = 0 или х 2 + 2х + 5= 0
х₁ = 2 т.к. D = –16 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12 (Заслушать предлагаемые учащимися способы. Очевидно, что ученики предложат выполнить умножение многочлена на многочлен)

– А какова степень уравнения? А нет ли более рационального способа решения? Посмотрите, как «звучит» способ в заголовке? Что вы заметили?

Возможны варианты: x 2 + x = t или x 2 + x + 1 = t

Пусть x 2 + x + 1 = t
Тогда t (t + 1) = 12
t 2 + t – 12 = 0, получаем t₁ = – 4; t₂ = 3.
Отсюда: х 2 + х + 1 = – 4 или х 2 + х + 1 = 3
х 2 + х + 5 = 0 х 2 + х – 2 = 0
т.к. D = –19 0 корней нет.
Т.к. сумма коэффициентов a + b + c = 0, то х₁ = 1; х₂ = c/a х₂ = – 2

2. Используйте этот приём для решения следующего уравнения:

; ОДЗ: х =/= 0, х =/= – 4, х =/= – 2.
Запишем уравнение иначе:
Пусть x 2 + 4x = t, тогда
Получим: 1 . 5(t + 4) – 1 . t . 5 = 4 . t . (t + 4)
5t + 20 – 5t = 4t 2 + 16t
4t 2 + 16t – 20 = 0
t 2 + 4t – 5 = 0 D = 36 > 0 2 корня. По сумме коэффициентов: 1 + 4 – 5 = 0 имеем: t₁ = 1; t₂ = c/a t₂ = – 5. Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения с переменной t.
Отсюда: x 2 + 4x = 1 или x 2 + 4x = – 5
x 2 + 4x – 1 = 0 x 2 + 4x + 5 = 0
D = 20 > 0 2 корня т.к. D = – 4 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2

(Посмотреть на реакцию учащихся)
Для введения новой переменной «мешает» х 2 в правой части, нет никакого смысла применять замену х 2 = t. Как же преобразовать уравнение? Причём так преобразовать, чтобы правая часть не содержала х 2 . (как в уравнении 1) этого метода) Выслушать мнение учащихся. Достаточно разделить почленно уравнение на х 2 , т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения!

(х 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2 х 2 =/= 0

Вот теперь пусть , тогда (t + 3)(t – 2) = 24
t 2 + t – 30 = 0, получаем: t₁ = – 6; t₂ = 5.
Отсюда: = – 6 или = 5
х 2 + 6х + 3 = 0 или х 2 – 5х + 3 = 0
D = 24 > 0 2 корня D = 13 > 0 2 корня

Ответ: ; .

4. А вот ещё одно очень интересное уравнение:

–1 и + 3 можно представить в виде сумм, одно из слагаемых которых будет 1 : – 1 = – 2 + 1 и 3 = 2 + 1.
Тогда х – 1 = х – 2 + 1 = (х + 1) – 2
х + 3 = х + 2 + 1 = (х + 1) + 2, получим уравнение:
((х +1) – 2) 4 + ((х +1) + 2) 4 = 82, пусть х + 1 = t,
Тогда (t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 82.

На первый взгляд, новое уравнение не отличается принципиально от данного: мы получили четвёртую степень двучлена, но вторые слагаемые двучлена отличаются только знаками, что намного упрощает конечный вид и преобразования полученного уравнения.

В результате преобразований получается биквадратное уравнение относительно переменной t: t 4 + 24 t 2 – 25 = 0; пусть t 2 = y, тогда y 2 + 24y – 25 = 0

Корни этого уравнения 1 и – 25.
Отсюда: t 2 = 1 или t 2 = – 25
t_1,2 = ± ( n + a₁x n – 1 + a₂x n – 2 + …+ a₂x 2 + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Свойства симметрических уравнений:

а) если дано уравнение нечётной степени, то х = – 1 – корень уравнения;
б) уравнение чётной степени 2n с помощью подстановки v = x + 1/x сводится к уравнению степени n.

Рассмотрим решение на конкретном уравнении:

2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0 да, по определению это симметрическое уравнение нечётной степени. Значит х = – 1 – корень исходного уравнения; разложим его на множители:
(х + 1)(2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2) = 0;
работаем со вторым множителем:
2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0 ¦: х₂ =/= 0 2х 2 + 3х – 16 + 3 . 1/х + 2 . 1/х 2 = 0.
Группируем: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3(х + 1/х) – 16 = 0. Пусть х + 1/х =, тогда х 2 + 1/х 2 = t 2 – 2,
отсюда: 2(t 2 – 2) + 3t – 16 = 0 и далее 2t 2 + 3t – 20 = 0,
решая это уравнение, получим: t₁= – 4 и t₂ = – 5/2; откуда х + 1/х = – 4 или х + 1/х = – 5/2.
Решая эти уравнения, получим: х_1,2 = – 2 ± , х₃ = 2, х₄ = 1/2.

Ответ: – 1, – 2 ± , 2, 1/2.

2. Определение. Уравнение вида a₀(u(x)) n + a₁(u(x)) n – 1 v(x) + a₂(u(x)) n – 2 (v(x)) 2 +…+ a_k(u(x)) n – k (v(x)) k +…+ a₀(v(x)) n = 0 называют однородным уравнением степени n относительно u(x) иv(x).

Решите уравнение: (х – 2) 2 (х + 1) 2 – (х – 2)(х 2 – 1) – (х – 1) 2 = 0
Пусть u = (х – 2)(х + 1) и v = х – 1, получаем: u 2 – uv – 2v 2 = 0.
Рассмотрим все возможные случаи:

а) v = 0, тогда х = 1, но 1 не является корнем исходного уравнения (была проверка!);
б) v =/= 0, тогда заменой p = u/v получаем уравнение: p 2 – p – 2 = 0, откуда p₁ = –1, p₂ = 2. т.е.
Решаем эти уравнения, получаем: х₁ = 0; х₂ = 3; х_3,4 = + .

Ответ: 0; 3; + .

VI. Итог урока

Рефлексия: беседа с учащимися о занятии, что необходимо школьнику, чтобы заметить тот или иной приём, рациональный в данном конкретном случае, что было трудно, какой приём требуется ещё повторить?

VII. Домашнее задание:

Решите уравнения:

х 4 + (1 – х) 4 = 1/8;
(х + 2)(х – 3)(х – 1)(х + 6) = 40х 2
х 2 (х – 1) 2 + х(х 2 – 1) = 2(х + 1) 2 .

Проверочная работа.

1) Равносильны ли уравнения

2) Какое из двух уравнений является следствием другого: х 2 = 9 или х = 3?

3) Решите уравнения:

х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0;
х 6 – 9х 3 + 8 = 0;
(х 2 – 6х) 2 – 2(х – 3) 2 = 81;
х(х + 3)(х + 5)(х + 8) = 10;
х 4 – 4х 3 + 5х 2 – 4х + 1 = 0;
;
(х 2 + х + 4) 2 + 8х(х 2 + х + 4) + 15х 2 = 0;
.

1) нет,
2) первое,
3)

1; 2; 3,
1; 2,
3; 3 + 2,
– 4 +,
,
0,
– 2; – 3 +,
7 +.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Видео:Урок 5 ТОЖДЕСТВА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.