Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Видео:Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.

Линейные уравнения с дробями

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Раскрываем скобки и упрощаем

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Решение уравнений с дробями

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ, СВОДЯЩЕЕСЯ К ЛИНЕЙНОМУ? Примеры | АЛГЕБРА 7 классСкачать

КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ, СВОДЯЩЕЕСЯ К ЛИНЕЙНОМУ? Примеры | АЛГЕБРА 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнение

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать

Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Сложное уравнение с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Сложное уравнение с дробями. Алгебра 7 класс.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияУравнения с дробными коэффициентами 7 класс

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Переведем новый множитель в числитель..

Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Алгебра. 7 класс.Скачать

    Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Алгебра. 7 класс.

    Решение уравнений с дробными коэффициентами_7 класс

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Решение уравнений с дробными коэффициентами. Метод — умножаем обе части уравнения на одно и то же число, а именно на общий знаменатель (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

    Просмотр содержимого документа
    «Решение уравнений с дробными коэффициентами_7 класс»

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Уравнение – это равенство, содержащее

    переменную, значение которой надо найти.

    Какое равенство называют уравнением?

    Значение переменной, при котором из

    уравнения получается верное числовое

    равенство, называют корнем уравнения .

    Какое число называют корнем уравнения?

    Решить уравнение – значит найти все его корни, или убедиться, что уравнение не имеет корней.

    Что значит решить уравнение?

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    На одной чаше весов лежит 5 банок шоколадной пасты и гиря весом в 1 кг, на другой – 4 такие же банки и двухкилограммовая гиря. Весы находятся в равновесии. Какова масса одной банки шоколадной пасты?

    Составьте уравнение, если масса одной банки х кг.

    Какое наибольшее количество банок шоколадной пасты можно убрать с каждой чаши, не нарушая равновесия?

    Ответ: масса одной банки 1 кг.

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Тот же корень уравнения можно получить если перенести слагаемые и 1 из одной части уравнения в другую, при этом изменив их знак.

    Корни уравнения не изменяются , если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю .

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число можно освободиться от дробных чисел.

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Чтобы решить уравнение, содержащее

    подобные слагаемые, нужно:

    1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа – в его правую часть, при этом меняя знаки;

    2) привести подобные слагаемые в

    левой и правой частях уравнения;

    3) разделить число в правой части на

    коэффициент при переменной; или

    разделить или умножить обе части

    уравнения на одно и то же число,

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Уравнение, которое можно привести к такому

    виду с помощью переноса слагаемых и

    приведения подобных слагаемых, называют

    линейным уравнением с одним неизвестным.

    Уравнения с дробными коэффициентами 7 класс

    Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить

    или разделить на одно и то же число.

    Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое пере –

    нести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

    Чтобы решить уравнение, содержащее подобные слагаемые, нужно:

    1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть

    уравнения, а числа – в его правую часть, не забывая при переносе

    менять знаки на противоположные;

    2) привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения;

    3) разделить число в правой части на коэффициент при переменной,

    разделить или умножить обе части уравнения на одно и то же число,

    Уравнение вида , где называют линейным уравнением.

    📹 Видео

    Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

    Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

    6 класс. 7 класс. Дробные выражения. Решение уравнений. Преобразование уравнений.Скачать

    6 класс. 7 класс. Дробные выражения. Решение уравнений. Преобразование уравнений.

    Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

    Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

    №7 Линейное уравнение (5х+4)/2+3=9x/5 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭСкачать

    №7 Линейное уравнение (5х+4)/2+3=9x/5 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью  ОГЭ ЕГЭ

    Как решать дробные уравнения.(Линейные уравнения с дробными коэффициентами.)Скачать

    Как решать дробные уравнения.(Линейные уравнения с дробными коэффициентами.)

    Как решают уравнения в России и СШАСкачать

    Как решают уравнения в России и США

    Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать

    Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравнения

    Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

    Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

    Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

    Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

    Решение дробного уравнения математика 7 классСкачать

    Решение дробного уравнения математика 7 класс

    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ
    Поделиться или сохранить к себе: