Стороны треугольника заданы уравнениями:
Найти координаты вершин треугольника.
Координаты вершины A найдем, решая систему, составленную из уравнений сторон AB и AC:
Систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными решаем способами, известными из элементарной алгебры, и получаем
Вершина A имеет координаты
Координаты вершины B найдем, решая систему из уравнений сторон AB и BC:
получаем .
Координаты вершины C получим, решая систему из уравнений сторон BC и AC:
Вершина C имеет координаты .
- Как найти вершину параболы: три формулы
- Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
- Первый способ
- Второй способ
- Третий способ
- Построение параболы
- Советы
- Видео
- Формула нахождения вершины параболы
- Что значит вершина параболы
- Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией
- Вершина кубической параболы
- Видео
Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
Как найти вершину параболы: три формулы
Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.
Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.
У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.
Первый способ
Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.
Например, y =x 2 –8 x +15;
находим первый, второй коэффициенты и свободный член;
подставляем значения a и b в формулу;
вычисляем значения y;
Значит, вершина находится в точке (4;-1).
Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.
Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5
1) Приравниваем к нулю:
2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:
3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:
- 1 — первый корень;
- 5 — второй корень.
Второй способ
Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.
1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.
2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.
У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:
3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.
4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).
Третий способ
Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:
1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.
Рассмотрим этот способ подробнее.
Дана функция y = 4x²+16x-17;
- Записываем производную и приравниваем к нулю.
f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Построение параболы
Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.
Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).
1) Строим таблицу
X | 5,5 |
Y |
2) Заполняем таблицу
Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.
X | 4 | 5 | 5,5 | 6 | 7 |
Y | -4 | -6 | -6,25 | -6 | -4 |
Видео:Как найти вершину параболы?Скачать
Советы
Правильно находите коэффициенты.
Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.
Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.
Обратите ваше внимание на то, что:
- Нужно проверять правильно ли ваше решение.
- Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.
Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать
Видео
Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы
Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать
Формула нахождения вершины параболы
Вы будете перенаправлены на Автор24
Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.
Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать
Что значит вершина параболы
Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$.
Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.
Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.
Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$.
Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.
Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией
Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы
Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина такой параболы находится в произвольной точке.
Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.
Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:
- Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
- Найдите абсциссу вершины параболы ($x$ вершины) по формуле $x = — frac$, для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
- Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$.
- Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$.
Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$
- Коэффициенты этой параболы $a = 1$, $b = -5$, $c = 7$.
- Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = — frac= frac=2.5$
- Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
- $y = 2,5^2 – 5 cdot 2.5 + 7$
- $y = 0,75$
- Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.
Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать
Вершина кубической параболы
Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.
Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 12 2021
📺 Видео
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать
Нахождение длины отрезка по координатамСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Квадратичная функция. Вершина параболы и нули функции. 8 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Даны координаты вершин треугольника АВС.Скачать
Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать