Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей. Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей
Характеристическое уравнение:
Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей.
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей.
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей, где Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей– длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей.
x 2=(1,1); Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей.
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осейили

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Дано уравнение кривой второго порядка используя теорию квадратичных форм

Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей

  • Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей
  • Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей
  • Реферат.Справочник
  • Решенные задачи по высшей математике
  • Дано уравнение кривой второго порядка используя теорию квадратичных форм

Условие

Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.

Решение

A=4663
Составим характеристическое уравнение
4-λ663-λ=0 λ²-7λ+6=0
D=25 λ1=6 λ2=1
Найдем базис
λ=1 3662=0 3x+6y=06x+2y=0 3x=-6y y=-36x=-32x
ux;-32x y=1 u1=1;-32 u1=32+1=52
e1=25;-35 e1=1
λ=6 -266-3=0
-2x+6y=06x-3y=0 -2x=-6y x=62y=32y
u62y;y y=1 u2=32;1 u2=32+1=52
e2=35;25 e2=1
e1∙e2=0- базис ортогональный .
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
матрица перехода S=2535-3525
SST=2535-35252535-3525T=151523-322-332=1522+332(-3)+232(-3)+2322+-3(-3)=155005=1001
Матрица квадратичной формы в новом базисе.
B=STA S=25-35352546632535-3525=254-356256-353354+256356+253∙
∙2535-3525=
=254-35625+256-33535-254-35635+256-3525354+25625-356+25335354+25635+356+25325=1006.
Эллипс

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

.
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
матрица перехода S=2535-3525
SST=2535-35252535-3525T=151523-322-332=1522+332(-3)+232(-3)+2322+-3(-3)=155005=1001
Матрица квадратичной формы в новом базисе.
B=STA S=25-35352546632535-3525=254-356256-353354+256356+253∙
∙2535-3525=
=254-35625+256-33535-254-35635+256-3525354+25625-356+25335354+25635+356+25325=1006.
Эллипс

Дано уравнение кривой второго порядка найти новый базис и направление осей

Оплатите решение задач или закажите уникальную работу на похожую тему

🌟 Видео

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей.  Эллипс

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности второго порядка

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Пример определения кривой второго порядкаСкачать

Пример определения кривой второго порядка
Поделиться или сохранить к себе: