Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Решение №2145 На рисунке изображён графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

На рисунке изображён графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

На рисунке изображены прямые, линейных функции имеют вид:

Найдём k и b функции:

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

k тангенс угла ( β ) наклона прямой, по отношению к оси х. Тангенс – это отношение противолежащего катета, к прилежащему катету. Тангенсы смежных углов равны по модулю, но противоположны по знаку.
Найдём тангенс угла α , смежного к искомому углу:

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

b сдвиг прямой по оси у, по графику видим, прямая сдвинута от 0 на 1 .

b = 1

Функции имеет вид:

Найдём k и b функции:

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Подставим координаты точки (–1;–1), принадлежащие прямой и k = –5, найдём b :

–1 = –5·(–1) + b
–1 – 5 = b
b = –6

Функция имеет вид:

y = –5x – 6

В точке пересечения прямых значения функций (y) равны, найдём абсциссу (х) точки пересечения:

–1·x + 1 = –5x – 6
x + 5x = –6 – 1
4x = –7
Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Подставим значение х = –1,75, в любое уравнение и найдём ординату (y) точки пересечения прямых:

y = –1·(–1,75) + 1 = 2,75

Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

Взаимное расположение графиков квадратных трёхчленов

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат

В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:

  • ось симметрии $x = -frac$
  • вершину параболы на оси симметрии $(–frac; -frac)$
  • точку пересечения (0;c) с осью OY

Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c) .

Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.

Если $D gt 0$ , парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = frac<-b pm sqrt>$ на оси OX.

Если D = 0 , парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -frac$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.

Если $D lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.

Точки пересечения параболы с осью OX

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функцийЗапиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функцийЗапиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функцийЗапиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функцийЗапиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функцийЗапиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

Две параболы совпадают

Бесконечное множество общих точек, $x in Bbb R$

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A = B = 0, C neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

Параболы имеют вид

У них общая ось симметрии

$ x = -frac$, одна парабола находится над другой.

Ветки сходятся только на бесконечности.

Точек пересечения нет

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A = 0, B neq 0, C = 0$

$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $

Параболы имеют вид

Обе проходят через точку (0;c).

Это – единственная точка пересечения.

Одна точка пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A = 0, B neq 0, C neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $

Параболы имеют вид

Абсцисса точки пересечения

Одна точка пересечения (касание)

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A neq 0, B = 0, C = 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $

Параболы имеют вид

Пересекаются при x=0 (точка касания)

Одна точка пересечения (касание) (0;c)

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A neq 0, B = 0, C neq 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $

Параболы имеют вид

Не пересекаются, если

Две точки пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Пересекаются в двух точках

Две точки пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A neq 0, B neq 0, C = 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $

Параболы имеют вид

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$

$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения,

одна из которых (0;c)

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

$A neq 0, B neq 0, C neq 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $

Все параметры парабол разные

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Одна точка пересечения (касание)

Одна точка пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.

Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Пересечение с осью OY: $<left< begin x = 0 \ y = -1end right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ 3x^2+2x-1 = 0 Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 Rightarrow $$

$ Rightarrow left[ begin <left< begin x = frac \ y = 0 end right.> \ <left< begin x = -1 \ y = 0 end right.> end right.$ — две точки пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Пересечение с осью OY: $<left< begin x = 0 \ y = 1end right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ -4x^2-3x+1 = 0 Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$

$$ (4x-1)(x+1) = 0 Rightarrow$$

$ Rightarrow left[ begin <left< begin x = frac \ y = 0 end right.> \ <left< begin x = -1 \ y = 0 end right.> end right.$ — две точки пересечения

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Пересечение с осью OY: $<left< begin x = 0 \ y = 1end right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ D = 2^2-4 cdot 5 cdot 1 = 4-20 = -16 lt 0 $$

Парабола не пересекает ось OX

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Пересечение с осью OY: $<left< begin x = 0 \ y = -4end right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ -x^2+4x-4 = 0 Rightarrow x^2-4x+4 = 0 Rightarrow $$

$$ Rightarrow (x-2)^2 = 0 Rightarrow <left< begin x = 2 \ y = 0 end right.>$$ — одна точка пересечения

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 cdot 1 cdot (1-k) = 4k gt 0 Rightarrow k gt 0 $$

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Оба случая можем объединить требованием $k gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 Rightarrow k = 0 $$

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k lt 0 Rightarrow k lt 0 $$

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Ответ: 1) $k gt 0$; 2) k = 0; 3) $k lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = frac-3x+1$.

$$ x_0 = — frac = — frac<2 cdot frac> = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 cdot frac cdot 1 = 7 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ <left< begin a = 1 \ b = -6a = -6 \ D = 14a = 14 end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -6 \ b^2-4ac = 14 end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -6 \ 36-4c = 14 end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -6 \ c = frac = 5,5 end right.>$$

$$ <left< begin a = -0,2 \ b = -6a = 1,2 \ D = 14a = -2,8 end right.> Rightarrow <left< begin a = -0,2 \ b = 1,2 \ 1,2^2-4 cdot (-0,2)c = -2,8 end right.> Rightarrow <left< begin a = -0,2 \ b = 1,2 \ c = — frac = -5,3 end right.> $$

$$ y = frac-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Запиши квадратное уравнение для нахождения точек пересечения двух графиков функций

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = frac-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -frac = -frac<2 cdot frac> = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 cdot frac cdot 5 = — frac $$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

📺 Видео

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Построить график  ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координат

Как построить график функции без таблицыСкачать

Как построить график функции без таблицы

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.

Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Точка пересечения графиков линейной и квадратичной функций (продолжение). 23 задание ОГЭСкачать

Точка пересечения графиков линейной и квадратичной функций (продолжение).  23 задание ОГЭ

98 Алгебра 9 класс Найдите координаты точек пересечения графиков функцииСкачать

98 Алгебра 9 класс Найдите координаты точек пересечения графиков функции

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать

Занятие 1. График линейной функции y=kx+b

Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | Математика

Квадратичная функция за 5 минутСкачать

Квадратичная функция за 5 минут

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: