Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:
где и неизвестные параметры которые требуется определить.
Для определения неизвестных параметров и , преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:
и далее, раскроем скобки:
Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра , поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:
Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра :
Подставляем полученные значения и в самое первое уравнение и получаем формулу для выделения полного квадрата из квадратного многочлена:
Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для решения квадратных уравнений.
Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Метод выделения полного квадрата
Этот онлайн-калькулятор преобразует многочлен методом выделения полного квадрата (методом дополнения до полного квадрата)
Этот онлайн-калькулятор применяет метод выделения полного квадрата (или метод дополнения до полного квадрата) к квадратному многочлену (полиному), представленному его коэффициентами a, b и c. Он конвертирует квадратный многочлен из вида в вид .
Теорию и формулы вы найдете ниже под калькулятором.
Метод выделения полного квадрата
Метод выделения полного квадрата
Как говорилось выше, метод выделения полного квадрата (метод дополнения до полного квадрата) — это метод конвертирования квадратного полинома из представления вида в представление вида .
Метод выделения полного квадрата используется для
- решения квадратных уравнений,
- изображения квадратичной функции,
- вычисления интегралов в матанализе, таких как гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени
- нахождения преобразований Лапласа.
В математике выделение полного квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратные полиномы. Также этот метод можно использовать для выведения формулы корней квадратного уравнения.
Формула для h и k
Давайте выведем формулы для коэффициентов h и k . Начнем с квадратного полинома
Запишем коэффициент a в знаменатель, чтобы получить монический квадратный полином
Мы знаем, что формула квадрата двучлена записывается так
Используя эту формулы, мы можем записать двучлен, первые два коэффициента квадрата которого будут совпадать с первыми двумя коэффициентами монического квадратного полинома выше:
Эта запись отличается от монического квадратного полинома выше только значением константы. Следовательно, добавив и вычтя соответствующие константы, мы сможем записать равенство:
Добавляя константу, мы выделяем квадрат или дополняем квадрат, отсюда и идет название метода.
Теперь мы можем восстановить коэффициент a, умножив обе части равенства на a и окончательно записать равенство так