Задачи на составление уравнений и методы их решения крамор в с (6 видео)

Задачи на составление уравнений и методы их решения. Крамор В.С., 2009

Название: Задачи на составление уравнений и методы их решения.

Автор. Крамор В.С.
2009

Цель книги — научить выпускников средней школы самостоятельно решать задачи на составление уравнений и помочь усвоить методы их решения.
Пособие содержит свыше 300 задач с подробными решениями и более 100 задач для самостоятельного решения.
Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗ.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. 3
Глава 1. Задачи на проценты. 5
1. Вычисление процентов данного числа. Сложные проценты. 5
2. Нахождение неизвестного числа по его заданным процентам. 16
3. Процентное отношение двух чисел. 19
4. Задачи на проценты, пропорции, пропорциональное деление. 22
5. Разные задачи. 25
Задачи для самостоятельного решения. 34
Глава 2. Задачи на растворы, смеси, сплавы. 37
1. Задачи на смешивание. 38
2. Задачи на разбавление и насыщение. 47
3. Разные задачи. 54
Задачи для самостоятельного решения. 61
Глава 3. Задачи на движение. 64
1. Простейшие задачи на вычисление компонентов движения. 64
2. Задачи на совместное движение двух и более тел. 74
3. Движение по водному пути. 100
4. Движение вдоль окружности. 108
5. Разные задачи. 115
Задачи для самостоятельного решения. 127
Глава 4. Задачи на работу. 131
1. Простейшие задачи на вычисление компонентов работы. 131
2. Задачи на совместную работу. 137
3. Задачи на «бассейны и трубы». 148
4. Разные задачи. 157
Задачи для самостоятельного решения. 172
Глава 5. Другие типы задач. 175
1. Задачи на числовые зависимости. 175
2. Задачи, приводящие к неравенствам. 182
3. Задачи с целочисленными неизвестными. 193
4. Задачи, содержащие параметры. 200
5. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений. 207
6. Задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы. 215
7. Разные задачи. 220
Задачи для самостоятельного решения. 247
Использованная литература. 250

ПРЕДИСЛОВИЕ.
В течение многих лет задачи на составление уравнений включаются в экзаменационные билеты по математике для абитуриентов высших учебных заведений, а в последние годы такие задачи предлагаются и при сдаче ЕГЭ. Умение решать эти задачи позволяет проверить у будущих студентов наличие логического мышления, сообразительности и наблюдательности, а также способности к анализу полученных результатов.

Вместе с тем в общеобразовательной школе задачам на составление уравнений уделяется недостаточно внимания. Цель данной книги состоит в том, чтобы научить выпускников средней школы решать подобного рода задачи и прочно усвоить различные методы, применяемые в процессе их решения.

Весь изложенный в книге материал разбит на 5 глав, состоящих из нескольких параграфов. Каждый параграф содержит небольшой справочный материал (основные формулы, утверждения, допущения, используемые при решении задач рассматриваемого типа) и набор задач, сопровождающихся подробными решениями. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

В общей сложности книга содержит свыше 300 задач с решениями, а также 100 задач для самостоятельного решения.
Наряду с традиционными типами задач (задачи на проценты; задачи на растворы, смеси, сплавы; задачи на движение; задачи на работу) в книге рассматриваются и другие типы задач (задачи на числовые зависимости; задачи, приводящие к неравенствам; задачи с целочисленными неизвестными и т.п.).

Приведенные в книге решения задач сопровождаются подробными пояснениями, каждое действие в процесс решения нумеруется, поскольку оно несет определенную смысловую нагрузку. Все этапы решения включают необходимую информацию о правомерности того или иного шага.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи на составление уравнений и методы их решения. Крамор В.С., 2009 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Видео:Математика 6 класс. Решение задач на составление уравненийСкачать

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

1 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ В. С. Крамор ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫ ОНИКС Москва Мир и Образование

2 УДК 512(075.3) ББК 22.14я75 К78 К78 Крамор В. С. Задачи на составление уравнений и методы их решения / В. С. Крамор. М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», с.: ил. (Школьный курс математики). ISBN (ООО «Издательство Оникс») ISBN (ООО «Издательство «Мир и Образование») Цель книги научить выпускников средней школы самостоятельно решать задачи на составление уравнений и помочь усвоить методы их решения. Пособие содержит свыше 300 задач с подробными решениями и более 100 задач для самостоятельного решения. Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. УДК 512(075.3) ББК 22.14я75 ISBN (ООО «Издательство Оникс») ISBN (ООО «Издательство «Мир и Образование») Крамор В. С., 2009 Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2009

3 ПРЕДИСЛОВИЕ В течение многих лет задачи на составление уравнений включаются в экзаменационные билеты по математике для абитуриентов высших учебных заведений, а в последние годы такие задачи предлагаются и при сдаче ЕГЭ. Умение решать эти задачи позволяет проверить у будущих студентов наличие логического мышления, сообразительности и наблюдательности, а также способности к анализу полученных результатов. Вместе с тем в общеобразовательной школе задачам на составление уравнений уделяется недостаточно внимания. Цель данной книги состоит в том, чтобы научить выпускников средней школы решать подобного рода задачи и прочно усвоить различные методы, применяемые в процессе их решения. Весь изложенный в книге материал разбит на 5 глав, состоящих из нескольких параграфов. Каждый параграф содержит небольшой справочный материал (основные формулы, утверждения, допущения, используемые при решении задач рассматриваемого типа) и набор задач, сопровождающихся подробными решениями. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним. В общей сложности книга содержит свыше 300 задач с решениями, а также 100 задач для самостоятельного решения. Наряду с традиционными типами задач (задачи на проценты; задачи на растворы, смеси, сплавы; задачи на движение; задачи на работу) в книге рассматриваются и другие типы задач (задачи на числовые зависимости; задачи, приводящие к неравенствам; задачи с целочисленными неизвестными и т.п.). Приведенные в книге решения задач сопровождаются подробными пояснениями, каждое действие в процесс решения нумеруется, поскольку оно несет определенную смысловую нагрузку. Все этапы решения включают необходимую информацию о правомерности того или иного шага. 3

4 Каждая глава завершается параграфом «Разные задачи», в котором содержится большое количество задач, относящихся к данной главе (а в ряде случаев и к другим, уже рассмотренным ранее главам), но не классифицированных по своему типу. Это позволяет обеспечить контроль за умением учащегося решать «вперемешку» задачи из данной главы. В конце книги приводится список литературы, которой пользовался автор при подготовке настоящего издания. Многие задачи, взятые из указанных пособий, входили в экзаменационные билеты для поступающих в различные вузы страны. Автор надеется, что данная книга окажется добрым помощником всем, кто будет пользоваться ею в процессе учебы и при подготовке к экзаменам. Успехов вам, школьники и абитуриенты! Автор

5 Глава 1 ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ДАННОГО ЧИСЛА. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 1 ffi. Процентом называют сотую часть какого-либо числа. Обозначение: 1% =0,01. 2 ffi. Процент данного числа a есть число 0,01a. Обозначение: 1%(a) =0,01a. 3 ffi. Определить p% от данного числа a означает найти число 0,01pa. Обозначение: p%(a) =0,01pa. Например, чтобы найти 17% от 650, надо дробь 0,17 умножить на 650, т.е. 0, = 11,05. 4 ffi. Часто возникают ситуации, когда требуется найти проценты от процентов. а) Пусть некоторая величина A 0 изменяется на p%; тогдаееновое значение A 1 будет равно p A 1 = A 0 + A = A p. 100 б) Пусть теперь величина A 1 изменяется снова на p%; тогдаееновое значение A 2 будет равно A 2 = A p = A p в) Если это действие выполняется k раз, то окончательное значение рассматриваемой величины A k есть A k = A p k. (1) 100 5

6 г) Если величина A 0 изменяется первый раз на p 1 %, второй на p 2 %. последний раз на p k %, то окончательное значение этой величины вычисляют по формуле A k = A p p p k. (2) ffi. Формулы (1) и (2) называют формулами сложных процентов. Задачи с решениями 1. По плану фабрика должна изготовить 3000 изделий. Сколько изделий составляют: 1% от плана; 13% от плана? 1. 1% от плана составляют 1%(3000) = 0, = 30 изделий % от плана составляют 13%(3000) = 0, = 390 изделий. 3. Ответ: 30 изделий; 390 изделий. 2. Цена первого товара поднялась на 40%, а затем еще на 25%. Цена второго товара поднялась на 30%, после чего оказалось, что цена первого товара на 40% больше, чем второго. На сколько процентов первоначальная цена первого товара больше первоначальной цены второго товара? 1. Пусть a и b первоначальные цены первого и второго товаров соответственно. 2. Тогда условие задачи приводит к уравнению 1,25(1,4a) =1,4(1,3b) =) a b = 1,3 1,25 = 1, Следовательно, первоначальная цена первого товара на 4% больше первоначальной цены второго товара. 4. Ответ: на 4%. 3. Скорость велосипедиста равна 30 км/ч. Скорость грузовой машины на 80% больше скорости велосипедиста, а скорость легковой машины на 60% больше скорости грузовой. Определить скорости грузовой илегковоймашин. 6

7 1. Скорость грузовой машины составляет 180% от скорости велосипедиста (за 100% принимаем скорость велосипедиста). Значит, скорость грузовой машины равна 180%(30 км/ч) = 1,8 30 км/ч = 54 км/ч. 2. Скорость легковой машины составляет 160% от скорости грузовой (за 100% принимаем скорость грузовой машины. Поэтому скорость легковой машины равна 160%(54 км/ч)=1,6 54 км/ч=86,4 км/ч. 3. Ответ: 54 км/ч; 86,4 км/ч. 4. Предприятие выпускало каждый месяц по 8000 изделий. Было решено увеличивать число изделий ежемесячно на 5%. Сколько изделий должно выпустить предприятие через: месяц; два месяца; три месяца? 1. Предприятие выпускало ежемесячно 8000 изделий. Это составляло 100% от плана. 2. При увеличении плана на 5% он будет составлять 105%. 3. Поэтому нужно найти 105% от Имеем 105%(8000) = 1, = 8400 (изделий). Таким образом, через месяц предприятие должно выпустить 8400 изделий. 4. За второй месяц предприятие должно увеличить величину 8400 изделий, принимаемую за 100%, еще на 5%. Значит, за второй месяц оно должно выпустить 105% от 8400 изделий. Это составляет 105%(8400) = 1, = 8820 (изделий). 5. Аналогично находим, что за следующий (третий) месяц предприятие должно выпустить 105%(8820) = 1, = 9261 (изделие). 6. Ответ: 8400 изделий; 8820 изделий; 9261 изделие. З а м е ч а н и е. Анализируя решение задачи, заключаем, что мы определяли на самом деле следующие величины: ; 1, ; 1, В общем виде имеем: а) p% от числа a составляют 0,01pa; б) p% от полученного результата составляют (0,01p) 2 a; в) p% от нового результата составляют (0,01p) 3 a ит.д. В результате получили так называемые сложные проценты. 7

8 Формулу N =(0,01p) n a называют формулой сложных процентов. Ееможнозаписать следующим образом: N = q n a, где q = 0,01p, причем q > 1, поскольку p > 100 (как в рассмотренной выше задаче) и q 9 или x 1 x = Находим корни уравнения: x 1 = 10 и x 2 = Поскольку проценты не могут быть отрицательными, условию задачи удовлетворяет только x = Ответ: Впервыйраз на 10%, а во второй на 20%. 7. Вкладчику на его сбережения банк через год начислил 6000 р. процентных денег. Добавив р., вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь были начислены проценты, и тогда вклад вместе с процентами составил р. Какая сумма была первоначально положена в банк? 1. Пусть в банк было положено x (р.), а p% годовые проценты, которые дает банк. 2. Учитывая, что через год с первоначальной суммы банк начислил 6000 р. процентных денег, получаем уравнение xp 100 = К концу первого года вклад составил x (р.). 4. Так как вкладчик добавил р., то к началу второго года вклад составил x (р.). Используя условие, запишем еще одно уравнение: (x ) +(x ) p = Имеем систему уравнений 8 10 2. Если в первый раз зарплата повысилась на p%, то во второй раз она повысилась на 2p%. 3. Применив формулу сложных процентов (см. формулу (2) на с. 6), имеем 15S 8 = S 1 + p 1 + 2p Очевидно, что S 6= 0. Сократив на S и полагая y = p 100, получим уравнение (1 + y)(1 + 2y) = 15 8, или 16y2 + 24y 7 = 0, откуда y 1 = 1 4, y 2 = 7 4 задачи). 5. Ответ: на 25%. (последнее значение не подходит по смыслу 9. Автомобиль двигался по магистрали с определенной скоростью. Выехав на проселочную дорогу, он снизил скорость на 20%, а затем на участке крутого подъема уменьшил скорость еще на 30%. На сколько процентов эта новая скорость меньше первоначальной? З а м е ч а н и е. Некоторые учащиеся на поставленный вопрос отвечают сразу: на 50%. Проверим, так ли это. 1. Пусть скорость автомобиля на магистрали составляла v км/ч. Тогда: а) на проселочной дороге она равна 80%(v) =0,8v; б) на подъеме она равна 70%(0,8v) =0,56v = 56%(v). 2. Значит, окончательная скорость меньше первоначальной на 44%. 3. Ответ: на 44%. 10. При нагревании вода испаряется. Предположим, что за день испаряется 2% воды. Сколько литров воды останется от 100 л через три дня? 1. Так как за один день испаряется 2% воды, то в конце первого дня останется 98%(100 л) =98 л воды. 2. В конце второго дня останется 98%(98 л) = 96,04 л воды, а в конце третьего дня 98%(96,04 л) =94,1192 л воды. З а м е ч а н и е. Этот результат получается сразу с помощью формулы сложных процентов: (0,98) Ответ: 94,1192 л. 10

11 11. Цена некоторого товара снижается ежегодно на 10%. На сколько процентов по сравнению с первоначальной снизится стоимость товара через четыре года? 1. Снижение цены за первый год на 10% означает, что она составит 90% =0,9 начальной стоимости. 2. Воспользуемся формулой сложных процентов. 3. Через четыре года стоимость товара будет равна 0,9 4 =0,6561 = = 65,61% первоначальной стоимости, а это на 34,39% ниже. 4. Ответ: на 34,39%. 12. Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара? 1. Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнения. 2. Пусть первоначальная цена товара составляла x (р.), что соответствует 100%. 3. Тогда после первого снижения цена товара составит x 0,2x = 0,8x (р.). 4. После второго снижения она составит 0,8x 0,15 0,8x = 0,68x (р.). 5. После третьего снижения она составит 0,68x 0,1 0,68x = 0,612x (р.). 6. Всего цена товара снизилась на x 0,612x = 0,388x (р.). 7. Так как x соответствует 100%, то 0,388x = 38,8%. 8. Ответ: на 38,8%. 13. За первую поездку автомобиль израсходовал 20% бензина, имевшегося в баке, а за вторую 25% оставшегося в баке бензина. После этого в баке осталось на 11 л больше, чем было израсходовано за обе поездки. Сколько литров бензина находилось первоначально в баке? 11

12 1. Пусть первоначально в баке было x лбензина. 2. За первую поездку автомобиль израсходовал 0,2x лбензина. 3. За вторую поездку он израсходовал 0,25(0,8x) =0,2x лбензина. 4. Значит, после двух поездок было израсходовано 0,4x лбензина, а в баке осталось 0,6x л бензина. Учитывая условие, составим уравнение 0,6x 0,4x = 11, откуда x = 55 (л). 5. Ответ: 55 л. 14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 3 p 5 м. Определить катеты, если известно, что после того как один из них увеличить на %,адругой на 16 2 %, сумма их длин составит 14 м Обозначим длины катетов p (в метрах) через x и y. 2. По условию x 2 + y 2 =(3 5) После увеличения на %,т.е.на = 1 1 своей длины, 3 первый катет станет равным x. 4. Второй катет после увеличения на % будет равен y. 5. Получим систему уравнений ( x y = 14, x 2 + y 2 =(3 p 5) 2, откуда находим x = 3, y = Ответ: 3м;6м. 15. Цена 60 экземпляровпервого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 4050 р. Однако при 15%-й скидке на первый том и 10%-й скидке на второй том пришлось заплатить всего 3555 р. Определить цену одного экземпляра первого и второго томов. 1. Пусть цена экземпляра первого тома составляет x р., а экземпляра второго тома y р. 2. Первое условие дает уравнение 60x + 75y = (1) 3. При скидке в 15% цена экземпляра первого тома составит 0,85x р.; при скидке в 10% цена экземпляра второго тома составит 0,9y. 12

13 4. Из второго условия следует уравнение 60 0,85x ,9y = (2) 5. Решив систему уравнений (1), (2), находим x = 30, y = Ответ: 30 р.; 30 р. 16. Цену некоторого товара сначала снизили на 15%, а затем еще на 25%. Через некоторое время цену этого товара повысили на 20%. Как и на сколько процентов изменилась в итоге цена данного товара? 1. Пусть A первоначальная цена товара; тогда после снижения на 15% она станет равной 0,85A. 2. После дальнейшего снижения на 25% новая цена окажется равной 0,75 0,85A = 0,6375A. 3. Наконец, после повышения цены на 20% получаем 1,2 0,6375A = 0,765A = 76,5%(A). 4. Итак, товар стал дешевле на 23,5%. Можно сказать, что цена изменилась на 23,5%. 5. Ответ: 23,5%. 17. Магазин должен реализовать в течение месяца товар на 23 млн р. За первую неделю магазин реализовал 23% всего товара; за вторую 75% от количества товара, реализованного на первой неделе; за третью 60% от количества товара, реализованного за первые две недели. Сколько выручил магазин за последнюю неделю? 1. Выручка магазина составляет: а) за первую неделю: 23%(23 млн р.) =5,29 млн р.; б) за вторую неделю: 75%(5,29 млн р.) =3,9675 млн р.; в) за две недели: 5,29 + 3,9675 = 9,2575 млн р.; г) за третью неделю: 60%(9,2575 млн р.) =5,5545 млн р.; д) за первые три недели: 9, ,5545 = 14,812 млн р.; е) зачетвертуюнеделю: 23 14,812 = 8,188 млн р. 2. Ответ: 8,188 млн р. 18. За первый день в бассейн было налито 680 м 3 воды, за второй на 15% меньше, а за третий на 15% больше, чем за второй. Сколько кубометров воды было налито в бассейн за три дня? 1. За второй день было налито 85% от 680 м 3,т.е.0, = = 578 (м 3 ). 13

14 2. За третий день было налито 1,15% от 578 м 3 воды, т.е. 1, = = 664,7 (м 3 ). 3. За три дня в бассейн было налито ,7=1922,7 (м 3 ). 4. Ответ: 1922,7 м Фермер получил кредит в банке под определенные проценты годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3 4 всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каковы годовые проценты по кредиту в данном банке? 1. Пусть x (где x десятичная дробь) годовые проценты по кредиту в данном банке. 2. Величину кредита примем за единицу. 3. Долг фермера банку к началу второго года составит 1 (1 + x), а 4 к концу второго года он составит 1 4 (1 + x) +1 4 (1 + x)x = 1 4 (1 + x)2. 4. Учитывая условие задачи, получим уравнение 1 4 (1 + x)2 = 1,21 (x > 0), откуда x = 1,2, или x = 120%. 5. Ответ: 120%. 20. Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C? 1. Пусть S сумма, выделенная банком на кредиты организациям A, B и C; ff проценты (в долях), под которые был выдан кредит организации C. 2. Организации A былвыделенкредитвразмере0,4s, которыйчерез год принес банку прибыль, равную 0,4S 0,3 = 0,12S. 3. Организации B был выделен кредит в размере (S 0,4S) 0,4 = =0,24S, который через год принес банку прибыль, равную 0,24S 0,15 = =0,036S. 14

15 4. Организации C былвыделенкредитвразмереs 0,4S 0,24S = = 0,36S, который через год принес банку прибыль, равную 0,36Sff. 5. Суммарная прибыль банка от этих трех кредитов составит 0,12S + 0,036S + 0,36Sff = 0,156S + 0,36Sff. 6. С другой стороны, эта прибыль равна 0,21S. Следовательно, 0,156S + 0,36Sff = 0,21S,откудаff = 0,15, или ff = 15%. 7. Ответ: 15%. 21. Из учащихся, выполнявших контрольную работу, 30% получили оценку «5», 40% оценку «4», 8 учащихся оценку «3», аостальные оценку «2». Средний балл составил 3,9. Сколько учащихся выполняли работу? 1. Пусть работу выполняли x (учащихся). Тогда: а) оценку «5» получили0,3x (учащихся); б) оценку «4» получили 0,4x (учащихся); в) оценку «3» получили 8 (учащихся); г) оценку «2» получили x (0,3x + 0,4x) 8 = 0,3x 8 (учащихся). 2. Составим средний балл и приравняем его к 3,9: 5 0,3x + 0,4x (0,3x 8) x = 3,9, откуда x = Ответ: 40 учащихся. 22. Антикварный магазин купил два предмета за р, а затем продал их, получив 40% прибыли. Сколько заплатил магазин за каждый предмет, если от продажи первого было получено 25% прибыли, а от продажи второго 50%? 1. Пусть первый предмет был куплен за x р. Тогда второй был куплен за ( x) р. 2. При продаже первого предмета получено 25% прибыли. Значит, он был продан за 1,25x р. 3. Второй предмет, при продаже которого получено 50% прибыли, был продан за 1,5( x) р. 4. По условию общий процент прибыли (по отношению к покупной цене р.) составил 40%. 5. Значит, общая сумма выручки составила 1, = р. 15

16 6. Получим уравнение 1,25x + 1,5( x) = , откуда x = Ответ: первый предмет был куплен за 9000 р., а второй за р. 23. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 200 р. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 182 р. Сколько стоит килограмм каждого продукта? 1. Пусть x р. стоимость 1 кг первого продукта, а y р. стоимость 1 кг второго продукта. 2. Стоимость 1 кг первого продукта после подорожания составит x + 0,15x = 1,15x. 3. Стоимость 1 кг второго продукта после удешевления составит y 0,25y = 0,75y. 4. Из условия следует, что ( x + 10y = 200, 1,15x + 0,75 10y = Решив эту систему уравнений, получим x = 80, y = Ответ: 80 р.; 12 р. 2. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ЧИСЛА ПО ЕГО ЗАДАННЫМ ПРОЦЕНТАМ 1 ffi. Пусть p% неизвестного числа x равны b. Тогда это неизвестное число находится делением b на 0,01p. 2 ffi. Таким образом, если p%(x) =b,то x = b 100b, или x = 0,01p p. 3 ffi. Например, чтобы найти число, 15% которого равны 18, надо разделить на 0,15, т.е. = 120. Значит, число, 15% которого равны 0,15 18, есть

17 Задачи с решениями 1. Найти размер вклада, 12% которого составляют 2700 р. 1. Обозначим размер вклада через x; тогда 12% составляют 2700 р., т.е. 12%(x) = 2700, или 0,12x = Отсюда x = 2700 = (р.). 0,12 3. Ответ: р. 2. Масса изюма, получаемого при сушке винограда, составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма? 1. По условию 2 кг составляют 32% от всей массы винограда. 2. Масса винограда равна = 6,25 (кг). 32 Ответ: 6,25 кг. 3. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 2%? 1. В 40 кг морской воды содержится 40 0,05 = 2 кг соли. 2. Чтобы 2 кг составили 2% общей массы, последняя должна быть равна 2 : 0,02 = 100 (кг). 3. Значит, нужно добавить = 60 кг пресной воды. 4. Ответ: 60 кг. 4. Свежие фрукты содержат 80% воды, а сухие 15%. Сколько килограммов сухофруктов получится из 300 кг свежих фруктов? 1. В 300 кг свежих фруктов содержится 80% воды и 20% сухой массы. 2. Сухая масса составляет 20%(300) =0,2 300 = 60 кг. Она сохраняется и в сухих фруктах. 3. Пусть получили x кг сухофруктов; тогда в них содержится 85% сухоймассы,т.е.0,85x кг, и это количество равно 60 кг. 4. Из равенства 0,85x = 60 находим x = 60 ß 70,6 (кг). 0,85 5. Ответ: ß 70,6 кг. 5. Фирма, продав продукцию на 3348 р., понесла 4% убытка. Какова себестоимость этой продукции? 17

18 1. Убыток исчисляется в процентах по отношению к себестоимости (принимаемой за 100%). 2. Значит, 3348 р. составляют 100% 4% =96% себестоимости. 3. Следовательно, продукция обошлась фирме в Ответ: 3487,5 р. = 3487,5 (р.). 6. Из какого количества молока жирностью 3,5% можно получить 189 кг сметаны жирностью 20%? 1. В 189 кг сметаны содержится 20%(189) = 0,2 189 = 37,8 кг жира. 2. Пусть на переработку было взято x кг молока; тогда в нем имеется3,5%(x) = 0,035x кг жира, а значит, 0,035x = 37,8. 3. Решив это уравнение, находим x = Ответ: 1080 кг. 7. Свежиегрибысодержат90% воды,асухие 12%. Сколько килограммов сухих грибов получится из 22 кг свежих? 1. Пусть x кг масса сухих грибов. 2. Масса воды в свежих грибах: 22 0,9 = 19,8 (кг). 3. Масса воды в сухих грибах: x 0,12 (кг). 4. Масса грибов без воды: 22 19,8 = 2,2 (кг). 5. Используя условие, составим уравнение 2,2+x 0,12 = x,откуда x = 2,5. 6. Ответ: 2,5 кг. 8. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания? 1. Влажность собранных 140 кг грибов равна 98%. 2. Значит, в них содержится 98% воды и 2% сухого вещества, что составляет 140 0,02 = 2,8 кг. 3. В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы составляют 100% 93% =7%. 4. Поэтому масса подсушенных грибов равна 2,8 100 = 40 (кг) Ответ: 40 кг. 18

19 3. ПРОЦЕНТНОЕ ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ 1 ffi. Процентным отношением чисел A и B (или B и A) называется отношение A B (или B A ), выраженное в процентах, т.е. A 100% (или B B 100%). Оно показывает, сколько процентов составляет число A по A отношению к B (или число B по отношению к A). Пусть, например, A = 4, B = 5. Тогда: а) A B 100% =4 100% =80%,т.е.4= 80%(5); 5 а) B A 100% =5 100% =125%,т.е.5= 125%(4). 4 2 ffi. С помощью процентного отношения можно определить, на сколько процентов одно число больше или меньше другого. 3 ffi. В рассмотренных примерах число 4 составляет 80% от числа 5, поэтому оно на 20% меньше, чем число 5. С другой стороны, число 5 составляет 125% от числа 4, т.е. 5 на 25% больше числа 4. З а м е ч а н и е. Отметим, что если первое число больше (меньше) второго на некоторое количество процентов, то второе меньше (больше) первого надругоеколичество процентов. Задачи с решениями 1. Скорость велосипедиста по ровному месту равна 16 км/ч, а под гору 25 км/ч. а) На сколько процентов скорость по ровному месту меньше, чем скорость под гору? б) На сколько процентов скорость велосипедиста под гору больше его скорости по ровному месту? 1. Сравним скорость по ровному месту (A = 16) со скоростью под гору (B = 25): A 100% =16 100% =64% =100% 36%, B 25 т.е. скорость по ровному месту на 36% меньше, чем скорость под гору. 2. Сравним теперь скорость под гору (A = 25) со скоростью по ровному месту (B = 16): A % = 100% =156,25% =100% +56,25%, B 16 19

20 т.е. скорость велосипедиста под гору больше скорости по ровному месту на 56,25%. 3. Ответ: а) на 36%; б) на 56,25%. 2. Пачка сигарет стоила до снижения цен 29 р., а после снижения 26 р. На сколько процентов снижена цена? 1. Цена снижена на 29 р. 26 р. = 3р. 2. Эта величина составляет 3 100% от старой цены Число 3 100% = заменяем приближенно десятичной дробью. 4. Ответ: ß на 10,34%. 3. Оптовая база оплачивает фермеру 90% предлагаемой им цены, а продает полученный от фермера товар по этой цене. Сколько процентов составляет наценка оптовой базы? 1. Пусть x (р.) цена товара, предлагаемая фермером. 2. Тогда база должна заплатить фермеру 0,9x (р.). 3. Так как база продает товар по цене x (р.), то наценка базы составляет x 0,9x 0,9x 4. Ответ: ß 11,11%. 100% = % ß 11,11%. 4. Бригада строителей за первую неделю перевыполнила план на 6%, а за вторую еще на 4%. На сколько процентов бригада перевыполнила двухнедельный план? 1. Обозначим еженедельный план бригады через A (A объем работы). 2. За первую неделю бригада выполнила работу в объеме 1,06A. 3. За вторую неделю бригада выполнила работу в объеме 1,04 1,06A = 1,1024A. 4. Двухнедельный объем работы бригады должен быть равен 2A. 5. Фактически за две недели бригада выполнила работу в объеме 1,06A + 1,1024A = 2,1624A. 6. Находим 2,1624A = 1,0812 = 108,12%. 2A 7. Ответ: на 8,12%. 20

21 5. Длина прямоугольника в 4 раза больше его ширины. Как и на сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если его длину уменьшить на 25%, а ширину увеличить на 40%? 1. Обозначим длину прямоугольника через a, а ширину через b. Тогда по условию a = 4b. 2. Площадь прямоугольника со сторонами a и b составляет S = = ab. 3. Так как a = 4b, то площадь данного прямоугольника равна S 1 = 4b Длина нового прямоугольника равна 0,75a, ширина равна 1,4b, а его площадь (с учетом того, что a = 4b)есть S 2 = 0,75a 1,4b = 0,75 4b 1,4b = 4,2b Остается найти процентное отношение S 2 и S 1 : S 2 = 4,2b2 S 1 4b 2 = 1,05 = 105%. Таким образом, площадь нового прямоугольника на 5% больше площади первоначального, что и запишем в виде +5%. 6. Ответ: +5%. 6. На заводе производительность труда в текущем году повысилась на 20% по сравнению с прошедшим годом. На сколько процентов меньше была производительность труда в прошедшем году, чем в текущем? 1. Пусть A и B производительность труда на заводе соответственно в прошедшем и текущем году. Согласно условию, B A 100% =20%. (1) A 2. Нам требуется найти величину x = B A 100%. (2) B 3. Из уравнения (1) следует, что B = 1,2A. 4. Подставив это выражение в равенство (2), получим x = 1,2A A 100% ß 16,6%. 1,2A 5. Ответ: ß на 16,6%. 21

22 4. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ, ПРОПОРЦИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ Задачи с решениями 1. Два фермера продали товар на р., причем в то время как первый продавал 2 ед. товара, второй продавал 3 ед. товара. На какую сумму продал товар каждый фермер? 1. Заметим сначала, что стоимость товара пропорциональна количеству проданных единиц. 2. Предположим, что первый фермер продал товар на x р., а второй на y р. 3. Тогда, согласно условию, x y = 2 3,откудаy = 3 2 x. 4. Вместе фермеры продали товар на р., значит, x + y = = Составим систему ( y = 3 2 x, x + y = , откуда находим x = ; y = Ответ: р.; р. 2. Числители дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое дробей равно 200. Найти эти дроби Пусть x,2x,5x числители дробей, а y,3y,7y соответствующие знаменатели. 2. Тогда искомые дроби имеют вид x y, 2x 3y, 5x 7y. 3. Согласно условию, имеем откуда x y = xy + 2x + 5x 3 3y 7y = , или 50x = y 147, 22

23 4. Итак, y x = 4 2x первая дробь, 7 3y = 8 5x вторая дробь, 21 7y = = 20 третья дробь Ответ: 4 7 ; 8 21 ; За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом. 1. Пусть x, y, u, v количество машин, выпущенных соответственно за первый, второй, третий и четвертый квартал. 2. Найдем связь между этими величинами, приняв за A годовой план выпуска машин. Используя условия задачи, имеем x = 0,25A, y : u : v = 15 : 16 : 18, y = 1,08x = 0,27A. 3. Составим пропорции: а) y u = ; u = y = 16 0,27A = 0,288A; 15 б) y v = ; v = y = 6 5 y = 6 0,27A = 0,324A Найдем количество машин, выпущенных за четыре квартала: x + y + u + v = 0,25A + 0,27A + 0,288A + 0,324A = 1,132A. Это значит, что годовой план перевыполнен на 13,2%. 5. Ответ: 13,2%. 4. Однотипные детали обрабатывают на двух станках. Производительность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей обработано за смену каждым станком, если первый работал 6 ч, а второй 8 ч, причем оба станка вместе обработали 1640 деталей? 1. Пусть x число деталей, обрабатываемых вторым станком в течение часа. 2. Из условий задачи следует: а) первый станок обрабатывает за час 1,4x деталей; б) второй станок обрабатывает за смену 8x деталей; в) первый станок обрабатывает за смену 6 1,4x = 8,4x деталей; 23

24 г) вместе за смену станки обрабатывают 8x + 8,4x = 16,4x деталей; д) полученная величина равна 1640; значит, 16,4x = 1640, откуда x = Итак, второй станок обрабатывает за смену 8x = 800 деталей, а первый станок 8,4 100 = 840 деталей. 4. Ответ: 840 деталей; 800 деталей. 5. Вкладчик взял из банка 1 4 своего вклада, затем 4 остатка и еще р. После этого у него осталось 15% вклада. Какова была первоначальная величина вклада? 1. Обозначим величину вклада через x (р.). 2. После того как вкладчик взял 1 4 своего вклада, т.е. 1 x, в банке 4 осталось 3 4 x (р.). 3. После того как он взял еще 4 9 оставшихся денег, т.е x = = 1 3 x (р.), у него осталось 3 4 x 1 3 x = 5 12 x (р.). 4. Наконец, после того как он взял еще 6400 р. остаток вклада составил 5 x 6400, и эта величина по условию равна 0,15x Получаем уравнение 5 x 6400 = 0,15x, 12 откуда находим x = Ответ: x = р. 6. Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а отношение первого к третьему равно 14. Найти эти числа, если разность между третьим и вторым на 40 меньше числа, составляющего 12,5% суммы 11 первого и второго чисел. 1. Обозначим второе число через x. 2. Тогда первое число равно 1,4x, а третье число равно ,4x = = 1,1x. 3. Из условия задачи следует уравнение 1,1x x = 0,125(1,4x + x) Решив это уравнение, получим x = 200; тогда 1,4x = 280, 1,1x = = Ответ: 280; 200;

25 7. Зарплаты рабочего за октябрь и ноябрь относятся как 1,5 : 4 3,аза ноябрь и декабрь как 2 : 8. За декабрь он получил на 1500 р. больше, 3 чем за октябрь, и за три месяца рабочему начислили премию в размере 20% от трехмесячного заработка. Найти размер премии. 1. Обозначим зарплаты рабочего за октябрь, ноябрь и декабрь соответственно через x, y и z. 2. Согласно условию задачи, имеем: x y = 1,5 ; (1) 4 3 y z = 2 ; (2) 8 3 z = x (3) 3. Из пропорции (1) следует, что y = 8 x, а из пропорции (2) что 9 z = 4 3 y = 32 x. Тогда равенство (3) дает уравнение x = x , откуда x = 8100 (р.). 4. Далее последовательно находим y = 7200 (р.), z = 9600 (р.). 5. Значит, трехмесячный заработок составит x+y+z = (р.), апремия20%(24 900) =4980 (р.). 6. Ответ: 4980 р. 5. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ Задачи с решениями 1. На предприятии 35% рабочих женщины, остальные мужчины, которых на 252 больше, чем женщин. Найти общее количество рабочих на предприятии. 1. Пусть x количество рабочих на предприятии. 2. Количество женщин равно 35%(x) =0,35x. 3. Остальные рабочие, а это x 0,35x = 0,65x, мужчины. 4. Это число на 252 больше, чем предыдущее, т.е. 0,65x = 0,35x Из полученного уравнения находим x = Ответ: 840 рабочих. 25

26 2. Вклад, помещенный в банк на два года, достиг р. Каков был первоначальный вклад при 2% годовых? 1. Пустьx(р.) величина первоначального вклада. 2. Тогда в конце первого года вклад станет равным 102%(x)=1,02x. 3. В конце второго года вклад составит 102%(1,02x) =1,02 2 x. 4. Так как последняя величина равна , то 1,02 2 x = , откуда x = Ответ: р. 3. Сплав из меди и цинка массой в 24 кг при погружении в воду потерял 2 8 кг своей массы. Определить количество меди и цинка в этом 9 сплаве, если известно, что медь теряет в воде 11 1 % своей массы, 9 ацинк 14 2 % своей массы Пусть x (кг) масса меди в сплаве; тогда 24 x (кг) масса цинка. 2. Потеря массы составляет 1 9 x (для меди) и 1 (24 x) для цинка Получаем уравнение 1 9 x + 1 (24 26 x) = 7 9, откуда x = Ответ: 17 кг меди; 7 кг цинка. 4. От рельса отрезали часть, составляющую 72% его длины. Масса оставшегося куска равна 45,2 кг. Найти массу отрезанной части. 1. Масса отрезанной части составляет 72% массы всего рельса. 2. Значит, масса оставшегося куска, равная 45,2 кг, составляет 100% 72% =28% массы всего рельса. 3. Поэтому 1% массы всего рельса составляет 45,2 кг, а 72% составляют 45, = 116 ß 116,23 кг Ответ: ß 116,2 кг. З а м е ч а н и е. Вместо того, чтобы определять 1% массы всего рельса, можно составить пропорцию x : 45,2 = 72 : Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно 26

27 содержит около 70% воды, а полученный из него мед только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 3 кг меда? 1. Пусть x кг количество нектара, которое перерабатывают пчелы. Тогда в x кг нектара содержится 70%(x) =0,7x кг воды и 30%(x) = = 0,3x кг сахарозы (чистого вещества). 2. В 3 кг меда имеется 17% воды и 83% сахарозы, т.е. 83%(3) = = 0,83 3 кг сахарозы. 3. Следовательно, 0,3x = 0,83 3, откуда x = 8,3. 4. Ответ: 8,3 кг. 6. Определить, какая доля воды содержится в сухих лекарственных травах, если известно, что из 160 кг свежих трав получается 22 кг сухих, а свежие травы содержат 88% воды. 1. В 160 кг свежих трав содержится 88% воды и 12%(160 кг) = = 19,2 кг сухой массы. 2. В сухих травах содержится та же сухая масса. Остальная часть 22 кг 19,2 кг = 2,8 кг приходится на воду; она составляет долю, равную 2,8 22 ß 0, Ответ: ß 0, Двое рабочих вместе за одну смену изготовили 144 детали. После того как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй на 25%, вместе за смену они стали изготавливать 172 детали. Сколько деталей изготавливали рабочие за смену до и после повышения производительности? 1. Пусть x первоначальное количество деталей, изготовленных за смену первым рабочим; тогда второй рабочий изготавливал за смену 144 x деталей. 2. После повышения производительности первый рабочий изготовил 1,15x деталей, а второй 1,25(144 x) деталей. 3. Согласно условию, составим уравнение 1,15x + 1,25(144 x) =172, откуда x = 80, 144 x = 64. Следовательно, до повышения производительности труда первый рабочий изготавливал 80 деталей, а второй 64 детали. 27

28 4. После повышения производительности первый рабочий стал изготавливать 115%(80) = 92 детали, а второй 125%(64) = 80 деталей. 5. Ответ: 80 и 64 детали; 92 и 80 деталей. 8. В двух бидонах содержится 90 л молока. Если из первого бидона перелить 10% количества молока во второй, то в них получится одинаковое количество молока. Сколько литров молока было в каждом бидоне? 1. Предположим, что в первом бидоне было x л молока. Тогда во втором бидоне было (90 x) л. 2. Из первого бидона отлили 10% количества молока, что составляет 10%(x) =0,1x (л); поэтому в первом бидоне останется x 0,1x = = 0,9x (л), а во втором станет (90 x) +0,1x = 90 0,9x (л). 3. Так как после этого в обоих бидонах содержится равное количество молока, то приходим к уравнению т.е. x = 50, а 90 x = Ответ: 50 л; 40 л. 0,9x = 90 0,9x, 9. В магазин привезли сахар и сахарный песок в 126 мешках, всего 9,6 т. При этом мешков с сахарным песком было на 25% больше, чем с сахаром. Масса каждого мешка с сахаром составляет 75% массы мешка с сахарным песком. Сколько привезли сахара и сколько сахарного песка? 1. Пусть x количество мешков с сахаром. Тогда количество мешков с сахарным песком равно 1,25x. Так как общее количество мешков равно 126, то x + 1,25x = 126, откуда x = Значит, в магазин привезли 56 мешков с сахаром и 1,25 56 = 70 мешков с сахарным песком. 3. Пусть y кг масса мешка с сахарным песком. Тогда масса мешка с сахаром равна 0,75y кг. 4. В 70 мешках содержится 70y кг сахарного песка, а в 56 мешках содержится56 0,75y кг = 42y кг сахара. 5. Во всех мешках было 9,6 т = 9600 кг, и следовательно, приходим к уравнению относительно y: 70y + 42y =

29 Отсюда y = кг, т.е. масса мешка с сахарным песком равна 7 7 кг, а масса мешка с сахаром равна 0, = кг. 6. Масса 70 мешков с сахарным песком составляет = 7 = 6000 кг, а масса 56 мешков с сахаром = 3600 кг Ответ: 3,6 т; 6 т. 10. Бригада должна изготовить некоторое количество деталей. За первый день бригада выполнила 25% всей работы, за второй 4 9 оставшейся части работы, а за третий день она изготовила 64 детали. После этого бригаде осталось выполнить еще 3 работы. Сколько деталей 20 должна была изготовить бригада? 1. Обозначим искомое число деталей через x. 2. За первый день изготовлено 25%(x) = 1 x деталей, а значит, 4 осталось выпустить 3 4 x деталей. 3. За второй день изготовлено x = 1 3 x деталей. 4. За первые три дня изготовлено 1 4 x + 1 x + 64 деталей Если к числу выпущенных деталей прибавить 3 20 x,топланбудет выполнен полностью, т.е. 1 4 x x x = x. Отсюда находим x = Ответ: 240 деталей. 11. Баржа с грузом в 600 т была разгружена в три дня, причем в первыйитретийднибыловыгружено 2 всего груза. Во второй день было 3 выгружено меньше, чем в первый, а в третий меньше, чем во второй; при этом разность между числом процентов уменьшения выгрузки в третий день по отношению к выгрузке второго дня и числом процентов уменьшения выгрузки во второй день по отношению к выгрузке первого дня была равна 5. Определить, сколько было выгружено в каждый день и число процентов уменьшения выгрузки во второй и третий дни. 1. В первый и третий дни было выгружено = 400 т Во второй день выгружено 600 т 400 т = 200 т. 29

30 3. Пусть в первый день было выгружено x т; тогда в третий день было выгружено (400 x) т. 4. Уменьшение выгрузки во второй день по сравнению с первым (x 200) днем равно (x 200) т, что составляет x 100% от выгрузки первого дня. 5. Уменьшение выгрузки в третий день по сравнению со вторым (x 200) днем равно 200 (400 x) =(x 200) т, что составляет 100% 200 или x 200 % от выгрузки второго дня По условию x (x 200) 100 x = 5. Это уравнение имеет два корня: x 1 = 250; x 2 = 160. Второй корень не годится, так как по условию выгрузка с каждым днем уменьшалась, в то время как при x = 160 выгрузка составляла бы: в первый день 160 т; во второй 200 т; в третий 240 т. 7. Ответ: в первый 250 т, во второй 200 т, в третий 150 т; во второй день по сравнению с первым было выгружено меньше на 20%, в третий по сравнению со вторым на 25%. 12. Предприятие запланировало за два года увеличить объем продукции в 2,89 раза. Каким (в процентах) должен быть годовой прирост продукции, если он одинаков для каждого года? 1. Пусть прирост продукции за год равен x%, а первоначальный годовой объем производства равен A. 2. Тогда через год объем производства должен составить а через два года (100% +x%)(a) =(1 + 0,01x)A, (100% +x%)(1 + 0,01x)A =(1 + 0,01x) 2 A. 3. Этот объем равен 2,89A, а потому (1 + 0,01x) 2 = 2,89. Отсюда 1 + 0,01x = 1,7. 4. Ответ: 70%. 13. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число? 30

31 1. Пусть данное число увеличивали, а затем уменьшали на x%.тогда, используя формулу сложных процентов, имеем 51,2 1 + x 3 1 x 3 = 21,6, или x 2 3 = Извлекая кубический корень из обеих частей равенства, получим 8 1 x 2 = 6; 100 Значит, x = Ответ: на 50%. x 2 = ; x 100 = Три бригады рабочих получили вместе р. Заработки, полученные первой и второй бригадами, относятся как : ; заработок, полученный третьей бригадой, составляет 43 1 % того, что получила 3 первая. Сколько получила каждая бригада? 1. Заработок первой бригады примем за 100%. 2. Тогда заработок второй бригады составит : = 7 30 заработка первой, или % = %. 3. Общий заработок трех бригад, равный р., составляет 100% % %=166 2 % заработка первой Так как 1% заработка первой бригады составляет р., то первая бригада получила = р Вторая бригада получила % этой суммы, т.е = = 5712 р Третья бригада получила = р Ответ: р.; 5712 р.; р. 15. Вкладчик на свои сбережения через год получил 150 р. процентных денег. Добавив 850 р., он оставил деньги еще на один год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 4200 р. Какая сумма была положена первоначально и какие годовые проценты дает банк? 31

32 1. Пусть банк дает x% годовых. 2. Тогда первоначально было положено x р. 3. В начале второго года на счете вкладчика было +850, т.е x р. 4. По истечении второго года вклад составил x x x р Получаем уравнение x x = Решив его, находим x = 5, откуда 7. Ответ: 3000 р.; 5% x = В трех сосудах налита вода. Если 1 воды из первого сосуда перелить во второй, затем 1 воды, оказавшейся во втором, перелить в тре- 3 4 тий и, наконец, 1 воды, оказавшейся в третьем, перелить в первый, то 10 в каждом сосуде окажется по 9 л. Сколько воды было в каждом сосуде? 1. Пусть x, y и z первоначальное количество воды (в литрах) соответственно в I, II и III сосуде. 2. В следующей схеме указаны количества воды в трех сосудах в результате последовательных переливаний: I x; II y; III z; 1 4 h 2 3 x; x + y 1 3 x + y; x + y + z; 9 10 h 1 4 i + z x; 1 3 x + y ; i 1 3 x + y + z. 3. Каждое из выражений последнего столбца по условию равно Решив эту систему уравнений, получим ответ. 5. Ответ: 12 л; 8 л; 7 л. 17. В начале года вкладчик положил 5 своих денег в один банк, а 6 остальные в другой. К концу года сумма на этих вкладах выросла до 1340 р., а к концу следующего года до 1498 р. Было подсчита- денег вкладчик положил во второй но, что если бы с самого начала

33 банк, а остальные в первый, то по итогам первого года сумма на этих вкладах составила бы 1420 р. Определить величину вклада по истечении двух лет, предполагая, что вкладчик положил все деньги в первый банк. 1. Обозначим через x (р.) первоначальную сумму денег вкладчика, а через p и q доли (p 100% и q 100% проценты по вкладам) повышения вклада за год в первом и втором банках. 2. Это означает, что если вкладчик положил в первый банк A р.,то в конце года он получит (1+p)A р., т.е. (1+p) 100%(A) =A+p%A (р.). Аналогично, если вкладчик положил во второй банк B р., то в конце года он получит B + q%b (р.). 3. Первое условие задачи выражается уравнением (1 + p) 5 x +(1 1 + q) 6 6 x = Второе условие задачи запишется так: (1 + p) x +(1 + q)2 1 6 x = Третье условие задачи примет вид (1 + p) 1 6 x +(1 + q) 5 6 x = Требуется найти (1 + p) 2 x. 6. Пусть 1 + p = a, 1+ q = b, x = 6y. Объединим полученные уравнения в систему 8 > : y(5a2 + b 2 )=1498, (2) 5ay + by = 1340, y(5a + b) =1340, (1) >: 5a2 y + b 2 y = 1498, или ay + 5by = 1420, y(a + 5b) =1420. (3) 7. Из равенств (1) и (3) следует пропорция 5a + b a + 5b = Отсюда получаем 11b = 12a, т.е.b = 12a. Подставив это выражение в равенство (1), находим ay = 220, а тогда by = Перепишем теперь уравнение (2) в виде 5a(ay)+b(by) =1498. (4) 33

34 Учитывая, что ay = 200, by = 240, перепишем уравнение (4) так: 5a b 240 = Замена b = 12a дает: a = 1,1; b = 1,2; y = Возвращаясь к старым неизвестными p, q, x, находим p=a 1= =0,1=10%; q =b 1=0,2 =20%; x = 6y = Таким образом, (1 + p) 2 x = a 2 x = 1, Ответ: 1452 р. Задачи для самостоятельного решения 1. Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-го раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-й раствор? 2. Сплав массой 2 кг состоит из серебра и меди, причем масса серебра составляет 14 2 % массы меди. Какое количество серебра в этом 7 сплаве? 3. Зарплата продавца составляет 3% выручки. Он реализовал товар стоимостью 6000 р. по цене на 5% выше его себестоимости. На сколько повысилась зарплата продавца? 4. Из ведра в бочку сначала перелили половину имевшейся в нем воды, затем еще 1 л и, наконец, 5% остатка. В результате количество воды в бочке увеличилось на 10%. Сколько воды было в ведре, если в бочке первоначально было 51,5 л воды? 5. Предприятие за I квартал выпустило 25% годовой продукции, за II квартал 33% оставшейся части годового задания, за III квартал 60% продукции, выпущенной за первые два квартала вместе. Каков годовой план, если для его выполнения предприятию за IV квартал необходимо выпустить 816 ед. продукции? 6. В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках муки будет поровну. Сколько килограммов муки в каждом мешке? 7. При продаже товара за 1386 р. фермер получил 10% прибыли. Какова себестоимость товара? 8. В результате двукратного повышения (на 10% каждый раз) цена товара стала равной 2662 р. Найти первоначальную цену товара. 9. В трех ящиках содержится 64,2 кг сахара. Во втором ящике находится 0,8 того, что есть в первом ящике, а в третьем 42,5% того, что есть во втором. Сколько килограммов сахара в каждом ящике? 34

35 10. Цена книги снижалась дважды на одно и то же число процентов. В результате окончательная цена составила 64% от первоначальной. На сколько процентов снижалась цена? 11. При выполнении контрольной работы 12% учеников класса вовсе не решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько учеников было в классе? 12. За 3 кг одного продукта и 5 кг другого заплатили 176 р. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 20%, а второй подешевеет также на 20%, то за такое же количество этих продуктов нужно будет заплатить 161 р. 20 к. Определить цену 1 кг каждого продукта. 13. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие 12%. Из какого количества свежих грибов можно получить 450 кг сухих? 14. Жирность молока составляет 5%, а сметаны 25%. Сколько килограммов сметаны можно получить из 800 кг молока? 15. Вкладчику на его сбережения банк начислил 1600 р. процентных денег. Добавив 400 р., вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года снова были начислены проценты, и тогда вклад вместе с процентами составил р. Какая сумма была положена в банк первоначально и сколько процентов начисляет банк? 16. Одна сторона прямоугольника в 2,5 раза меньше другой. Как и на сколько процентов изменятся его периметр и площадь, если б ольшую сторону уменьшить на 25%, а меньшую увеличить на 80%? 17. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках зарплата выросла на 5%? 18. В магазин завезли товар на р. После подорожания на 20% было продано 1 товара. На остальную часть цену повысили еще 4 на 20%. Найти выручку магазина после полной продажи всего товара. 19. Некоторый вклад находился в банке под 2% годовых (проценты простые, т.е. они начисляются ежегодно только на первоначальную сумму). Через некоторое время этот вклад был взят вместе с полученными на него процентными деньгами, что составило 8502 р. Если бы этот же вклад был положен под 3% годовых, но сроком на один год меньше, то процентные деньги с него составили бы 819 р. Каков был вклад, помещенный в банк, и какое время он там находился? 20. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенное число процентов (свое для каждого банка). В начале года 5 некоторого количества денег положили 6 35

36 в первый банк, а оставшуюся часть во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 ден. ед., а к концу следующего года 749 ден. ед. Было подсчитано, что если бы первоначально 5 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов в эти 6 банки составила бы 710 ден. ед. В предположении, что исходное количество денег первоначально целиком было положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет. Ответы г г. 3. На 9 р. 4. 8л ед кг; 60 кг р р кг; 24 кг; 10,2 кг. 10. На 20% учеников р; 25 р. 13. Из 3960 кг кг р.; 8% %; +35%. 17. На 20% р р.; 4,5 года ден. ед.

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать