Задачи на составление квадратных уравнений 8 класс алгебра с решением (2 видео)

Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.

Структура урока:

Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые– 3 мин.
Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
Актуализация изученного материала:
- Вопросы:
- - Какое уравнение называется квадратным?
  - Что показывает дискриминант?
  - Формулы корней квадратного уравнения?
- Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
- - Решить уравнения;
  - Найти натуральный корень уравнения.
Решение задач (работа в группах):

Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)

Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)

Задачи (в порядке разбора их у доски):

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х – 1) = 30
х 2 – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

Рассуждения, аналогичные задаче 1.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

3. Задача Диофанта (III в.)

Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:

х(20 – х) = 96,
20х – х 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х₁ = 12,
х₂ = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.

4. Решение Диофанта (показывает учитель):

Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:

(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.

Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.

6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х₁ = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.

P = 3b + 3a + (b – a) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b₁ = 9
b₂ = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.

Содержание

Решение задач с помощью квадратных уравнений
Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Примеры
Алгебра. 8 класс
НАШИ ПАРТНЁРЫ
💡 Видео

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = -16 \ x_2 = 11 end right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = 15 \ x_2 = 21 end right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -9 \ x_2 = 18 end right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin <left< begin x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end right.> \ <left< begin x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end right.> end right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 6 \ x_2 = 18 end right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Задача №1.
Иван Иванович приехал в магазин покупать изгородь для своего дачного участка, имеющего прямоугольную форму, но забыл его размеры. Какой длины изгородь надо купить Ивану Ивановичу, если единственное, что он помнит, это площадь участка – 750 м 2 , и то, что длина участка на 5 метров больше ширины?
Пусть ширина участка будет х. Чаще всего удобнее брать за х меньшую из неизвестных величин. Тогда длина участка составит х + 5.
Площадь прямоугольника S = х • (x + 5)
x • (x + 5) = 750,
x 2 + 5x — 750 = 0.
Найдем дискриминант этого уравнения и его корни.
a = 1, b = 5, c = -750
D = b 2 — 4ac
D = 5 2 — 4 • 1 • (-750) = 25 + 3000 = 3025 = 55 2
x_1,2 = (-5 ± √3025)/(2 • 1), x₁ = (-5 — 55)/2 или x₂ = (-5 + 55)/2.
x₁ = -30 или x₂ = 25
Первый из найденных корней является посторонним по смыслу задачи, значит, ширина участка будет равна 25 м. Следовательно, длина окажется равной 25 + 5 = 30 м.
Теперь Иван Иванович может рассчитать периметр своего участка.
P = 2 • (25 + 30) = 110 м
Необходимо купить 110 м изгороди.
Задача №2.
Известно, что в прямоугольном треугольнике один из катетов на 4 сантиметра меньше гипотенузы, а другой – на 2 сантиметра меньше гипотенузы. Найдем длину гипотенузы.

Пусть гипотенуза треугольника будет равна х см. Тогда бОльший катет будет равен х – 2 см, а меньший х – 4 см.
По теореме Пифагора
x 2 = (x — 2) 2 + (x — 4) 2
Упростим полученное уравнение, используя формулу квадрат разности.
x 2 = x 2 — 4x + 4 + x 2 — 8x + 16
x 2 = 2x 2 — 12x + 20
x 2 — 12x + 20 = 0
Решив полученное квадратное уравнение, найдем два корня.
x₁ = 2, x₂ = 10
2 является посторонним корнем по смыслу задачи, т. к. в этом случае один из катетов получится равным 0, а второй будет отрицательным. Значит, гипотенуза треугольника равна 10 см, а его катеты 8 см и 6 см.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать