Вывод уравнений лагранжа из уравнений ньютона (8 видео)

Уравнения Лагранжа

Рассмотрим систему материальных точек <с идеальными голономными нестационарными связями. Все возможные, в том числе и действительный закон движения точки, то есть ее радиус-вектор, являются функциями независимых обобщенных координат и времени

Вычислим скорость k-той точки:

Повторяющийся индекс говорит о суммирование по индексу: от 1 до n, от 1 до l.

Докажем первое тождество Лагранжа

Поскольку (*) — линейная функция i с коэффициентами , то тождество L1 верно.

Второе тождество Лагранжа

доказывается прямым вычислением правой и левой частей тождества.

Дифференцируя (**) по времени, получаем

Дифференцируя (*) по qj, получаем то же выражение

Тождество (L2) доказано.

Уравнение Лагранжа второго рода.

Видео:Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1Скачать

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы в виде

(повторяющийся индекс говорит о суммирование по индексу: от 1 до n, от 1 до l).

При нестационарных связях радиусы векторы точек системы являются функциями обобщенных координат и времени . Как было показано, скорость каждой точки складывается из переносной и относительной скоростей

Переносные и относительные скорости точек независимы, поэтому теорема об изменении кинетической энергии распадается на два соотношения

В (4) учтена идеальность связей

Покажем, что соотношение (4) приводит к уравнениям Лагранже. Как известно, мощность активных сил выражается через обобщенные силы и скорости

Найдем сумму

Здесь использованы тождества Лагранжа

Возможные обобщенные скорости только независимы, но и произвольны. Поэтому все скобки обязаны обратиться в ноль.

Уравнения Лагранжа позволяют получить дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, но оставляют вопрос о реакциях идеальных связей открытым. Обычно для того, чтобы найти реакции, прибегают к уравнениям Ньютона.

Можно показать, что соотношение (5) позволяет найти реакции идеальных связей.

Видео:Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-ЛагранжаСкачать

Уравнения Лагранжа являются алгоритмом для вывода дифференциальных уравнений движения системы.

Чтобы получить дифференциальные уравнения, нужно:

1.Записать функцию кинетической энергии Т через обобщенные координаты и скорости

2.Взять соответствующие производные от Т

3.Вычислить одним из способов обобщенные силы Qi

4.Подставив результат в уравнения Лагранжа, мы получим l штук обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат как функций времени

Уравнение Лагранжа является наиболее универсальным способом вывода дифференциальных уравнений движения голономной системы с идеальными связями, в том числе и не стационарными.

Видео:Вывод уравнения Лагранжа 2-го родаСкачать

Преимущества и недостатки метода Лагранжа по сравнению с методом Ньютона:

1) Формализм метода Лагранжа, состоящий в том, что задача сводится к дифференцированию функции Т, удобен, но не позволяет увидеть физические законы, как в методе Ньютона.

2) Метод Лагранжа позволяет изначально исключить из рассмотрения реакции идеальных связей, что позволяет быстро получить дифференциальные уравнения движения системы. Для определения этих реакций после интегрирования уравнений придется, однако, вернуться к методу Ньютона.

Чтобы получить дифференциальные уравнения движения эллиптического маятника методом Ньютона, пришлось бы:

· учесть реакцию идеальной связи в виде натяжения нити,

· составить одно уравнение поступательного движения тела m1, и два уравнения плоского движения точки m2.

· Из трех уравнений — два будут дифференциальными и одно послужит для определения натяжения нити.

Найдем дифференциальные уравнения методом Лагранжа:

Видео:Уравнения Лагранжа второго родаСкачать

Система имеет две степени свободы, которым соответствуют обобщенные координаты x, φ и уравнения Лагранжа

Обобщенные силы мы нашли раньше

Qx=0 Qφ= — m2glSinφ

Кинетическую энергию системы T ищем в момент прохождения системой положения равновесия

T не зависит от х:

Замечаем, что этот интеграл выражает ожидаемое сохранение количества движения системы вдоль оси х.

Первое дифференциальное уравнение движения системы получим после дифференцирования

Для получения второго уравнения, найдем соответствующие производные.

Видео:Решение уравнения ЛагранжаСкачать

При подстановке во второе уравнение Лагранжа подобные выражения сокращаются, и мы находим второе дифференциальное уравнение движения системы

При фиксации тела m1 получаем уравнение колебаний математического маятника m2

Вывод уравнений лагранжа из уравнений ньютона

Уравнения Лагранжа

Обратимяся к проблеме описания движения частиц в классической механике.

Рассмотрим функционал вида

(1)

Выберем в качестве независимой переменной время t, функции y_k и y‘_k будем интерпретировать соответственно как координаты и скорости частиц, а функцию F – как Лагранжиан L системы (разность между кинетической и потенциальной энергией системы частиц).

В результате функционал J принимает вид

(2)

и называется действием.

Согласно принципу Гамильтона (другое название которого – принцип наименьшего действия), движение системы с момента времени t₁ до момента t₂ происходит таким образом, что действие S принимает наименьшее значение (экстремальное значение).

Ранее было показано (см. Обобщение уравнения Эйлера), что задача о нахождении экстремали, на которой функционал (1) достигает своего наибольшего или наименьшего значения (в классе функций с фиксированными границами), может быть сформулирована в виде системы уравнений Эйлера:

(k = 1, . n)

(3)

Применительно к функционалу (2) эти уравнения записываются в виде

(k = 1, . n)

(4)

и называются уравнениями Лагранжа.

В декартовых координатах частные производные представляют собой компоненты вектора импульса p, а частные производные являются компонентами вектора силы F. Таким образом, уравнения Лагранжа устанавливают равенство между производной от импульса системы тел и внешней силой, что выражает суть второго закона Ньютона.

Уравнения Лагранжа обладают рядом преимуществ по сравнению с уравнениями движения Ньютона при описании сложных систем частиц. В частности, формулировка второго закона Ньютона включает в себя результирующую внешнюю силу, то есть сумму векторных величин, тогда как уравнения Лагранжа оперируют со скалярными величинами.
Кроме того, принцип Гамильтона находит плодотворное применение и в других областях физики, например, в квантовой механике и электродинамике.
Наконец, координаты понимаются в широком смысле – как обобщенные координаты q₁, q₂, . q_n, в частности, как цилиндрические или сферические координаты частиц. В терминах обобщенных координат q₁, q₂, . q_n и обобщенных скоростей уравнения Лагранжа имеют вид