Вынесение из под корня уравнения

В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.

Видео:Преобразование выражений, содержащих кв.корни. Внесение и вынесения из, под знак кв. корня. 8 класс.Скачать

Что такое вынесение множителя из-под знака корня

Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:

Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.

Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B 2 · C на произведение B · C . Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель B y оказывается свободным от знака корня.

Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 2 2 · 3 . Оно аналогично B 2 · C , где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2 · 3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2 · 3 . Мы вынесли множитель 2 2 из-под знака корня.

Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение ( x 2 — 3 · x · y · z ) 2 · x = x 2 — 3 · x · y · z · x . Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными ( x 2 − 3 · x · y · z ) 2 .

Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n -ной степени. Вот пример с кубическим корнем: ( 3 · a 2 ) 3 · 2 · a 2 3 = 3 · a 2 · 2 · a 2 3

Пример с корнем шестой степени: 1 2 · x 2 + y 2 6 · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 можно преобразовать в произведение 1 2 · x 2 + y 2 · 5 · ( x 2 · y 2 ) 6 , которое, в свою очередь, упрощается до 1 2 · ( x 2 + y 2 ) · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 . В данном случае мы выносим множитель 1 2 · x 2 + y 2 6 .

Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.

Видео:Внесение множителя под знак корня. Вынесение множителя из под знака корня. Алгебра, 8 классСкачать

Почему возможно заменить корень на произведение

В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.

Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:

1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .

2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .

Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:

• при четном n : B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
• при нечетном n : B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.

Следовательно, можно вывести две формулы:

• B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для нечетного n ;
• B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для четного n .

Здесь B 1 , B 2 , и др. могут быть как числами, так и выражениями.

С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Основное правило вынесения множителя из-под корня

Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду B n · C . С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.

Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).

Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:

A n → B n · C n → B · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B · C n , е с л и n — ч е т н о е

Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:

A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — ч е т н о е

Теперь можно переходить к решению задач.

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Задачи на вынесение множителя из-под знака корня

Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 2 2 · 7 , — 1 2 3 2 · 5 , ( — 0 , 4 ) 7 · 11 7 .

Решение

Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:

1. Показатель корня равен 2 . Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 2 2 · 7 = 2 · 7 = 2 · 7
2. Во втором выражении показатель тоже четный, значит, — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5
   В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
   — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 · 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 2 · 5
   А потом уже выносить множитель: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5 .
3. Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: ( — 0 , 4 ) 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7 .
   Возможен и такой вариант расчета:
   — 0 , 4 7 · 11 7 = ( — 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7
   ​​​​​​Или такой:
   — 0 , 4 7 · 11 7 = ( — 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = 0 , 4 7 · — 11 7 = 0 , 4 · — 11 7 = — 0 , 4 · 11 7

Ответ: 1 ) 2 · 7 ; 2 ) 1 2 3 · 5 ; 3 ) — 0 , 4 · 11 7 .

Условие: преобразуйте выражение ( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 .

Решение:

При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.

( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = — 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.

Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду B n · C . После этого уже будем выносить множители:

( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = ( — 2 · 0 , 3 · 7 ) 4 · 11 4 = ( — 4 , 2 ) 4 · 11 4 = = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Ответ: ( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4 .

Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.

Видео:ЕГЭ по Математике. Занятие №16Скачать

Предварительное преобразование подкоренного выражения

Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как A n , и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.

Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B . Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования A n в B n · C n достаточно определить второй множитель, т.е. вычислить значение C из выражения A = B n · C .

Условие: есть выражение 24 · x 3 . Вынесите из-под знака корня множитель 2 3 .

Решение

Здесь мы имеем n = 3 , A = 24 · x , B 3 = 2 3 . Тогда из A = B n · С вычисляем C = A : ( B n ) = 24 · x : ( 2 3 ) = 3 · x .

Значит, 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 . Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

Ответ: 24 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.

Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.

Условие: необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 2 4 · 5 4 , 2 7 · 5 4 , 2 22 · 5 4 .

Решение

Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 2 7 как 2 4 · 2 3 .

2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4

В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:

2 5 4 · 2 2 · 5 4

Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4 , получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4 · 5 + 2 . Используя свойства степени, можем записать:

2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = ( 2 5 ) 4 · 2 2

2 22 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 2 2 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4

Ответ: 1 ) 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 , 2 ) 2 7 · 5 4 = 2 · 40 4 , 3 ) 2 22 · 5 4 = 32 · 20 4 .

Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.

Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.

Условие: выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1 ) 45 ; 2 ) 135 ; 3 ) 3456 ; 4 ) 102 .

1. Выполняем разложение 45 на простые множители.

45 15 5 1 3 3 5

То есть 45 = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 , а 45 = 3 2 · 5 . В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 3 2 . Вычисляем:

3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5

1. Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135 = 3 · 3 · 3 · 5 = 3 3 · 15 . Иначе можно записать, что 3 2 · 3 · 5 = 3 2 · 15 . Следовательно, 135 = 3 2 · 15 . Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 3 2 :

3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15

1. Разложим на простые множители число 3456 :

3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

У нас получилось, что 3456 = 2 7 · 3 3 , а 3456 = 2 7 · 3 3 . Поскольку 2 7 = 2 3 · 2 + 1 = ( 2 3 ) 2 · 2 и 3 3 = 3 2 · 3 , то 2 7 · 3 3 = ( 2 3 ) 2 · 2 · 3 2 · 3 = ( 2 3 ) 2 · 3 2 · 6 = = 2 3 · 3 · 6 = 24 · 6

1. Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2 · 3 · 17 . Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.

Ответ: 1 ) 45 = 3 · 5 ; 2 ) 135 = 3 · 15 ; 3 ) 3456 = 24 · 6 ; 4 ) 102 .

Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.

Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200 · 0 , 000189 · x 3 и упростите его.

Решение

Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.

0 , 189 = 189 1000000 = 3 3 · 7 2 6 · 5 6

Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:

3 2 2 · 5 2 3 · 7

Подставим получившееся выражение в исходное и получим:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 3 · 7 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 · 7 · x 3 = 6 · 7 · x 3

К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 189 1000000 · x 3 = 200 · 189 1000000 3 · x 3 = = 200 · 189 3 1000000 3 · x 3 = 200 · 3 3 · 7 3 100 3 3 · x 3 = = 200 · 3 · 7 3 100 · x 3 = 6 · 7 3 · x 3 = 6 · 7 · x 3

Ответ: 200 · 0 , 000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3 .

Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.

Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2 · ( 3 + 2 · 2 ) .

Решение

Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2 + 2 · 2 + 1 и далее как 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 .

То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2 .

В итоге: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 2 . Теперь выносим 2 + 1 2 за знак корня и упрощаем выражение:

2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2

Ответ: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 + 2 .

Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.

Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях ( x — 5 ) 5 4 и ( x — 5 ) 6 4 .

Решение

1. Выполняем преобразование в первом примере.

( x — 5 ) 5 4 = ( x — 5 ) 4 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство ( x − 5 ) 5 ≥ 0 . Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x ≥ 5 . Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x — 5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:

x — 5 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

1. ( x — 5 ) 6 4 = ( x — 5 ) 4 · x — 5 2 4 = = x — 5 · ( x — 5 ) 2 4 = x — 5 · x — 5 2 4

Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,

x — 5 · x — 5 2 4 = x — 5 · x — 5

Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку ( x − 5 ) 6 ≥ 0 для любого x . При этом значения x − 5 могут быть больше 0 , если x > 5 , равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x — 5 · x — 5 или представляем его в виде системы уравнений

( x — 5 ) · x — 5 , x ≥ 5 ( 5 — x ) · 5 — x , x 5

Ответ: 1 ) ( x — 5 ) 5 4 = ( x — 5 ) · x — 5 4 ; 2 ) ( x — 5 ) 6 4 = x — 5 · x — 5 .

Условие: выполните упрощение выражения x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .

Решение

Выносим за скобки x 3 и получаем x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) . Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) = x 3 · ( x + y ) 2 .

Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · ( x + y ) 2 = x 2 · x · ( x + y ) 2 = x · x + y · x

Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 ≥ 0 . Оно равносильно x 3 · ( x + y ) 2 ≥ 0 , а из него можно сделать вывод, что x ≥ 0 . У нас получилось, что x · x + y · x .

Ответ: x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 = x · x + y · x .

Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.

Видео:Алгебра 8. Урок 6 - Квадратный корень. Вынесение и внесение множителяСкачать

Вынесение из под знака корня

В данной публикации мы рассмотрим, как выносить числа (множители) и буквы из-под знака корня второй и более старших степеней. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

Правило вынесения из-под корня

Квадратный корень

Вынести число (множитель) из-под знака корня – это значит извлечь корень из подкоренного выражения (т.е. того, что находится под знаком корня).

Если a 2 = b, то √ b = a.

• √ 4 = 2, т.к. 2 2 = 4;
• √ 36 = 6, т.к. 6 2 = 36.

Примечание: чтобы было проще выносить числа и множители из-под знака квадратного корня, рекомендуется выучить квадраты натуральных чисел, хотя бы до 20.

Корень n-ой степени

Для вынесения подкоренного выражения из-под корня третьей и более старших степеней, извлекаем корень в соответствующей степени.

Пример 1
Вынесем множитель из-под корня .

Решение:
В данном случае извлечь квадратный корень можно только из числа двадцать пять, что мы и сделаем.

Пример 2
Вынесем множитель из √ 45 .

Решение:
1. Сперва разложим подкоренное выражение (число 45) на множители. В нашем случае – это 9 и 5.
2. Из полученных чисел извлечь квадратный корень можно только из девяти. Таким образом получаем:

Допустимые действия под корнем

Если требуется вынести из-под корня выражение, то это можно сделать только в отношении произведения.

• √ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 (правильно)
• √ 25 + 11 ≠ √ 25 + √ 11 (неправильно)
• √ 47 – 38 ≠ √ 47 – √ 38 (неправильно)
• √ 8 : 2 ≠ √ 8 : √ 2 (неправильно)

За исключением первого варианта, в остальных случаях сперва необходимо выполнить действия под корнем, а потом уже извлечь его.

• √ 25 + 11 = √ 36 = 6
• √ 47 – 38 = √ 9 = 3
• √ 8 : 2 = √ 4 = 2

Видео:Преобразование выражений, содержащих кв.корни. Внесение и вынесения из, под знак кв. корня. 8 класс.Скачать

Вынесение буквы

Вынести букву из-под корня – это то же самое, что и возвести ее в дробь, где в числителе – степень подкоренного выражения, в знаменателе – самого корня.

Примечание: этой же формулой можно пользоваться, подставляя вместо буквы конкретные числа.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Извлечение корня

Извлечь из данного числа корень какой-нибудь степени значит найти такое число, которое при возведении в эту степень, будет равно данному числу.

Из правил знаков при возведении в степень следует, что:

Корень нечётной степени из положительного числа есть число положительное, а из отрицательного – отрицательное.

3 √ +27 = +3, так как (+3) 3 = 27;

3 √ -27 = -3, так как (-3) 3 = -27.

√ +9 = ±3, так как (+3) 2 = +9 и (-3) 2 = +9;

4 √ +256 = ±4, так как (+4) 4 = +256 и (-4) 4 = +256.

√ -49 , 4 √ -256 , 6 √ -64 — это невозможные выражения.

Невозможные выражения иначе называют мнимыми.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Извлечение корня из произведения, степени и дроби

Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого множителя отдельно.

Так же можно сказать, что корень произведения равен произведению корней всех его множителей:

Чтобы извлечь корень из степени, следует показатель степени разделить на показатель корня:

Чтобы извлечь корень из дроби, следует извлечь его отдельно из числителя и из знаменателя:

Видео:Квадратный корень. 8 класс.Скачать

Вынесение множителя из-под знака корня

Когда нельзя извлечь корень из всего подкоренного числа или выражения, то подкоренное число или выражение раскладывают на множители и извлекают корень только из тех множителей, из которых это возможно сделать.

Видео:Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать

Внесение множителя под корень

Если нужно внести множитель под знак корня, то его следует возвести в степень, равную показателю корня.

💡 Видео

🔴 Найдите корень уравнения 2+9x=4x+3 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 7 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Как считать корни? #shortsСкачать

КАК ВЫНЕСТИ МНОЖИТЕЛЬ ИЗ ЗНАКА КОРНЯ?Скачать

секретный способ извлечения квадратного корня #SHORTSСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Алгебра 8 класс. Уравнения с корнямиСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Повысь свой уровень по теме КОРНИ | Математика | TutorOnlineСкачать