Вычислить dz если z задана уравнением

Назначение сервиса . Сервис используется для нахождения частных производных функции (см. пример). Решение производится в онлайн режиме и оформляется в формате Word .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Также решают

Правила ввода функции, заданной в явном виде

2. Примеры
   x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
   cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
   ≡ (x-y)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

1. Все переменные выражаются через x,y,z
2. Примеры
   ≡ x^2/(z+y)
   cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
   ≡ z+(x-y)^(2/3)

Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать

Частные производные функции нескольких переменных

Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1

Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x₀;y₀).

Находим частные производные:


Найдем частные производные в точке А(1;1)


Находим вторые частные производные:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать

Частная производная онлайн

Понятие частной производной применимо только к функциям многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных z = f ( x , y ) . Частные производные по переменным и записываются в виде

соответственно. Сами частные производные

также являются функциями двух переменных:

, поэтому от них тоже можно взять производные:

– являются вторыми частными производными функции по переменным и соответственно. Производные

– называются смешанными производными функции по переменным , и , соответственно. При условии, что функция и её смешанные производные

определены в некоторой окрестности точки M ( x ₀ , y ₀ ) и непрерывны в этой точке, выполняется равенство:

По аналогии, можно ввести производные более высоких порядков, например, запись

означает, что мы должны продифференцировать функцию по переменной два раза, а затем по переменной три раза, т.е. фактически:

Иногда, для обозначения частных производных некоторой функции z = f ( x , y ) используют запись вида: f _x ‘ ( x , y ) и f _y ‘ ( x , y ) , указывая переменную по которой происходит дифференцирование. Таким образом можно обозначать и смешанные производные: f _xy » ( x , y ) и f _yx » ( x , y ) а также вторые производные и производные более высокого порядка: f _xx » ( x , y ) и f _xxy »’ ( x , y ) соответственно. Следующие обозначения эквиваленты:

В нашем онлайн калькуляторе для обозначения частных производных используются символы:

. Пример подробного решения, выдаваемого нашим онлайн сервисом, можно посмотреть здесь .

Ссылка на введенное выражение Скопировано

Видео:27. Дифференцирование неявной функции двух переменныхСкачать

Другие полезные разделы:

Видео:Частные производные функции многих переменныхСкачать

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Примеры решений задач: функции нескольких переменных

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:

Видео:Производная неявной функцииСкачать

Примеры: область определения ФНП

Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать

Примеры: частные производные ФНП

Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$

Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=sqrt$

Задача 5. Найти частные производные сложной функции:

$$ z=u^2 cdot ln v; quad u=frac, , v=x^2+y^2.$$

Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.

Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции

Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:

Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $sin(xz)+cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.

Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.

Видео:Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.Скачать

Градиент, производная по направлению

Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $overline$. Вычислить наибольшую скорость изменения функции в данной точке.

Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $overline$ и матрицу Гессе в точке $M$ заданной функции, где $u=f(x,y,z)=x^2z+z^2x^2+y^3$, $overline=$, $M(1,3,1)$.

Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.

Видео:Производная сложной функции нескольких переменных #1Скачать

Касательная плоскость и нормаль

Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.

Задача 16. Для кривой $overline=overline(t)$ найти в точке $t_0$ уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии.

$$ overline(t)=(t^2-3)overline + (t^3+2)overline+ln t overline, quad t_0=1 $$

Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.

Видео:28. Частные производные неявной функции. примерСкачать

Экстремумы функции нескольких переменных

Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.

Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.

Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+fracy^2+5$.

Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.

Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.

Видео:Дифференциал функцииСкачать

Приближенные вычисления

Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.

Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.

Видео:Полный дифференциалСкачать

Ряд Тэйлора

Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.

Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.

Видео:ТФКП. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой. Задан отрезок прямой.Скачать

Наибольшее и наименьшее значение в области

Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 le x le 1; 0le y le 2$. Сделать чертёж области $D$.

Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.

Видео:Вычисление производных. 10 класс.Скачать

Решение контрольной

Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $overline$. Каков характер изменения функции? Почему?
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.

Видео:6. Частные производные функции двух переменныхСкачать

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

🎬 Видео

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

14. Производная сложной функции нескольких переменных Полная производная Примеры №1Скачать

показать, что функция удовлетворяет соотношениюСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать