Все виды уравнений и способы их решения 9 класс

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

1. Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
2. Вопросы по теоретическому материалу.
3. Примерное оформление экзаменационного задания.
4. Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

1. Определение уравнения с одним неизменным.
2. Корень уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области допустимых значений.
5. Когда два уравнения являются равносильными?
6. Когда одно уравнение является следствием другого?
7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
8. Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
9. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
10. Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

• привести в систему знаний учащихся по теме;
• повторить теорию решения уравнений;
• выработать умение определить вид уравнения;
• выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
• формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

• к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
• обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
• в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
  а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
  б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
  в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
  г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

Видео:Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

«Виды уравнений и способы их решения» 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тема: Виды уравнений и способы их решения.

Цель: Привести в систему знания учащихся по данной теме:

-повторить теорию решения уравнений;

— выработать умение определять вид уравнения;

— выбирать наиболее рациональный способ решения данного уравнения.

1. Даётся историческая справка о том, что наука « алгебра» возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

2. Повторяется теория по решению уравнений.

Задаю ученикам вопросы:

— Что называется уравнением?

_ Что значит решить уравнение?

-_Что называется корнем уравнения?

-Какие существуют способы решения уравнений?

-Какие виды уравнений знаете?

— Как определяется степень уравнения?

— Каков общий вид линейного уравнения? Квадратного?

-Дайте определение рационального, дробно- рационального уравнения, уравнения, содержащего модуль.

_ Что называется областью допустимых значений уравнения?

3. Предлагаю учащимся решить уравнения, объясняя, какого вида уравнения, способ решения каждого уравнения, теоретически обосновывая каждый шаг:

Квадратные и приводимые к квадратным:

В) (х – 4)^2 – 5 ( х -4) +6 =0

Г) х^4 – 13х^2 +36 =0

Д) (х+2)^4 – 11 (х+2)^2 = 12

Уравнения высших степеней:

Г) -5,5п (п-1) (п+2,5) (п- 3/7 ) =0

Дробно – рациональные уравнения

А) х^3/ (х – 2,3) = -8/ (х-2,3)

Б)( у ^2 – 2)/ у – v 2 =0

Уравнения с модулем

Уравнения с параметром

4.Даю устную самостоятельную работу с последующей проверкой в двух вариантах:решить уравнения , фиксируя на листе только ответы.

1 вариант 2 вариант

А)а^2 -6а +8=0 А)у^2 +5у +6=0

Б) (х^2 -1)^2 – 11 (х^2 -1) +24=0 Б) (х^2 -2)^2 — 9 (х^2 -2) +14=0

В)х^5 +х^4 +х+1=0 В)х ^7 + x ^6+ x +1=0

Г) z ^2 -14| z |=0 Г)х^2-4| x |=0.

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 703 человека из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 857 человек из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 48 человек из 21 региона

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 847 746 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

13. Дробные рациональные уравнения

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 28.12.2021
• 89
• 0

• 27.12.2021
• 176
• 7

• 27.12.2021
• 789
• 216

• 27.12.2021
• 185
• 7

• 27.12.2021
• 42
• 0

• 27.12.2021
• 92
• 1

• 27.12.2021
• 50
• 0

• 27.12.2021
• 141
• 0

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.12.2021 198
• DOCX 14.4 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Стратилатова Полина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 13127
• Всего материалов: 20

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки РФ откроет центр по сбору учебников для школьников и студентов из ЛНР и ДНР

Время чтения: 2 минуты

В каждом округе Москвы появятся школьные службы примирения

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения предлагает изменить форму для проведения ВОШ

Время чтения: 1 минута

Вузы смогут разрешить студентам сдать выпускную работу на цифровом носителе

Время чтения: 1 минута

Вузы РФ не будут повышать стоимость обучения на первом курсе

Время чтения: 1 минута

Эвакуированные в Россию из ДНР и ЛНР дети смогут поступить в вузы по квоте

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

«Уравнения и способы их решения», 9 класс
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике — выявление средствами предмета «Математика» направленности личности, её профессиональных интересов. В связи с потребностью подготовки обучающихся к сдаче ГИА повышаются требования к учащимся 9 класса. Для того, чтобы заинтересовать их математикой, углубить и расширить у них знания, решая нестандартные задачи, считаю целесообразным включение предметно-ориентированного элективного курса «Уравнения и способы их решения».

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Скачать:

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Предварительный просмотр:

Уравнения и способы их решения

Красноармейского района ЧР

Андреева Рена Валерьяновна

Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике — выявление средствами предмета «Математика» направленности личности, её профессиональных интересов. В связи с потребностью подготовки обучающихся к сдаче ГИА повышаются требования к учащимся 9 класса. Для того, чтобы заинтересовать их математикой, углубить и расширить у них знания, решая нестандартные задачи, считаю целесообразным включение предметно-ориентированного элективного курса «Уравнения и способы их решения».

Умение решать различные виды уравнений необходимо показать при сдаче ГИА по математике, т.е. при поступлении в ВУЗы и техникумы. Данный элективный курс является развитием ранее приобретённых знаний при решении различного вида уравнений. Здесь рассматриваются различные способы решения уравнений. Процесс обучения строится на следующих методических принципах: регулярности, параллельности, опережающей сложности, смены приоритетов, вариативности, самоконтроля, быстрого повторения, моделирования ситуаций. Теоретические основы большинства тем относятся к программе основной школы. Однако глубина их проработки, идейная насыщенность задач и уравнений предполагают более высокий уровень развития учеников, чем тот, которого достигают школьники по окончании основной школы.

В технологии проведения занятий предусмотрены этапы изучения теории, решения практических задач, исследовательских работ, проведения обучающих самостоятельных работ, задания для самопроверки обучающихся и степени усвоения данного курса.

Уравнения и задачи данного курса не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию обучающихся и проверить свои способности к математике.

Цель элективного курса:

научить обучающихся решать уравнения различными способами.

• вызвать интерес у обучающихся к изучению математики;

• создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся;

• сформировать умения и навыки решения уравнений разных типов;

• рассмотреть различные способы их решения;

• развивать исследовательскую и познавательную деятельность обучающихся;

• создать культуру труда и умение самостоятельно применять полученные знания.

🔍 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Алгебра 9 класс. 8 сентября. квадратные уравненияСкачать

ОГЭ для НОЛИКОВ, Уравнения N-9Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Химические уравнения // Как Составлять Уравнения Реакций // Химия 9 классСкачать

Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать