Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Линейные оболочки и подпространства

Определение. Подпространством Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюлинейного пространства Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюназывается множество векторов из Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениютакое, что для любых двух векторовВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюиз Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи любых двух вещественных чисел Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюлинейная комбинация Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениютакже принадлежит Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Утверждение. Подпространство само является линейным про­странством.

Определение. Линейной оболочкой системы векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюназывается множество всех линейных комбинаций векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Обозначается Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством.

Определение. Пересечением двух подпространств и на­зывается множество всех векторов, принадлежащих одновре­менно и ,и . Обозначается .

Определение. Суммой двух подпространств Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюназывается множество всех векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, представимых в виде Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, где Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Обозначается Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Утверждение. Сумма и пересечение подпространств Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюявляются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению+ Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению= Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению+ Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Определение. Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состо­ит только из нулевого вектора.

Примеры

1. Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Решение. Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, порождённого векторами Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, равенство нулю линейной комбинации Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, эквивалентное системе уравнений Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, достигается лишь при условии Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Следовательно, векторы Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюлинейно

независимы и размерность подпространства Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюравна 2: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Для подпространства Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, порождённого векторами Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, проводя аналогичный анализ, получим Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Вычислим теперь размерность пересечения подпространств Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный вектор Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюподпространства Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюявляется линейной комбинацией базисных векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Аналогично для подпространства Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюимеем Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, тогда условие принадлежности пересечению есть Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюили Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюЭто условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению,

откуда Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Полагая свободное неизвестное Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, для остальных имеем

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Итак, пересечение подпространств Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюимеет один базисный вектор

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Размерность пересечения Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Следовательно, в соответствии с равенством

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

размерность суммы подпространств Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. В качестве базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, дополненные вектором Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. В линейной независимости векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюубедиться нетрудно.

Задачи

3.39. Найти размерность и какой-нибудь базис подпространства, порожденного векторами Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

3.40. Найти размерность и какой-либо базис линейной оболочки векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

3.41. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

а) векторов, выходящих из начала координат и заканчиваю­щихся на фиксированной прямой, в пространстве R 2 ;

б) бесконечно малых числовых последовательностей в про­странстве сходящихся последовательностей;

в) сходящихся к числу Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюпоследовательностей в простран­стве сходящихся последовательностей;

г) диагональных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

д) невырожденных матриц в пространстве симметричных мат­риц того же порядка;

е) дифференцируемых на интервале Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюфункций в простран­стве функций, непрерывных на отрезке Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

3.42. Почему не является подпространством в указанном про­странстве множество

а) векторов, каждый из которых лежит на одной из коорди­натных плоскостей, в пространстве R 3 ;

б) векторов из пространства R n , координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению;

в) расходящихся числовых последовательностей в простран­стве ограниченных последовательностей;

г) вырожденных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

д) монотонно возрастающих и ограниченных на множестве Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюфункций в пространстве функций, ограниченных на том же множестве.

3.43. Найти размерность и какой-либо базис подпространства ре­шений однородной системы:

а) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению; б) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению;

в) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

3.44. Доказать, что данное множество является подпространством в R n , найти его размерность и какой-либо базис:

а) все n-мерные векторы, координаты которых удовлетворя­ют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению;

б) все n-мерные векторы, у которых первая координата равна нулю;

в) все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой;

г) все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю;

д) все n-мерные векторы, у которых координаты с нечетны­ми номерами равны между собой.

3.45. Найти размерность суммы и пересечения подпространств, порожденных векторами Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Является ли эта сумма прямой суммой?

3.46. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек векторов Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению. Является ли их cумма прямой?

3.47. Найти базис суммы и пересечения двух подпространств, порожденных соответственно векторами Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, если

а) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению;

б) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

3.48. Найти базис суммы и пересечения линейных оболочек Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюи Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, если

а) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению;

б) Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению, Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Является ли прямой сумма этих подпространств?

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»

Пусть Е1, Е2, Е3, Е4 – базис в векторном пространстве. Разложить вектор

Выпишите матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Координаты вектора Х в старом базисе: Х = (1; 2; -1; 3). Пусть в новом базисе он имеет координаты: X = (X, Y, Z, T). Тогда, используя матрицу Т, найдем связь между старыми и новыми координатами:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Следовательно, в новом базисе Х = (-1; 3; -4; 3).

Найти матрицу А’ оператора А:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому.

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому. Составим матрицу Т :

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Ответ: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для определения собственных чисел составьте характеристическое уравнение:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Координаты собственных векторов RI = (Xi, Yi) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке LI.

Составим характеристическое уравнение:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найдем собственные векторы:

1) для L = -2 координаты собственного вектора R1 = (X1, Y1) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке L = -2:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Если Х1 = 1, то У1 = -1, и R1= (1; -1). Остальные собственные векторы коллинеарны вектору (1; -1), и общий вид собственного вектора, соответствующего L = -2: R1 = С1(1; -1), где С1 – произвольная постоянная.

2) для L = 6 координаты собственного вектора R2 (X2; Y2) удовлетворяют системе:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Пусть Х2 = 3, тогда У2 = 5, и R2 = (3; 5). Соответственно общий вид второго собственного вектора: R2 = С2(3; 5).

Ответ: собственные числа L1 = -2, L2 = 6; собственные векторы R1 = С1(1; -1),

В пространстве 3-мерных векторов задан оператор

Где I – базисный вектор декартовой системы координат.

Выяснить геометрический смысл этого оператора.

Множитель Xi – скалярное произведение, то есть число, поэтому вектор (Xi)I коллинеарен оси Ох.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Оператор А переводит произвольно направленный вектор Х в вектор

KI, коллинеарный оси Ох, поскольку первый множитель – скалярное произведение, то есть число. Из определения скалярного произведения следует, что

Следовательно, А – оператор проектирования на ось Ох.

Оператор осуществляет проектирование вектора Х на ось Ох;

Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора, задайте базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид, и составьте матрицу перехода к новому базису.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным числам.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Подставим в строки определителя L = 2 и найдем связь между координатами собственного вектора R2 = (X2, Y2, Z2):

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Та же зависимость получается для координат третьего собственного вектора R3 = (X3, Y3, Z3). Выберем значения двух координат каждого из этих векторов так, чтобы R2 и R3 были линейно независимы.

Пусть Х2 = 1, У2 = 0, тогда Z2 = -3, и R2 = (1; 0; -3).

Получен базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид.

Составим матрицу перехода к новому базису:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найдем матрицу, обратную к Т:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Тогда в базисе из собственных векторов матрица оператора

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Ответ: в базисе (1; 1; 1), (1; 0; -3), (0; 1; 3) матрица оператора

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Линейный оператор А задан в некотором базисе матрицей

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найти собственные числа и собственные векторы оператора А-1 – оператора, обратного к А.

Собственные числа обратного оператора являются обратными к собственным числам данного оператора, а их собственные векторы одинаковы.

Характеристическое уравнение для А:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найдем матрицу обратного оператора:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Соответствующее характеристическое уравнение:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные числа:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Ответ: матрица квадратичной формы Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению,

Собственные числа Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, состоит из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = <X1, Y1> определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Итак, базис имеет вид:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

И в этом базисе квадратичная форма примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюквадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Матрица преобразования координат имеет вид:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Найдем базис из нормированных собственных векторов.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое преобразование.

Ответ: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению.

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Матрица преобразования координат имеет вид:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Матрица перехода к базису из собственных векторов:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Подставим найденные выражения в квадратичную форму:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Как и следовало ожидать, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Матрица преобразования координат:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Для заданной квадратичной формы

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Составим и решим характеристическое уравнение:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

(Мы не останавливаемся подробно на способах решения уравнений высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные векторы:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Матрица перехода к новому базису:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Задает преобразование координат:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Заметим, что в новых координатах квадратичная форма примет вид:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные векторы в матрице Т.

Ответ: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Нет. Например, для многочленов 3 ей степени

и сумма будет многочленом 2 ой степени

3. Образует ли множество радиус-векторов на плоскости, концы которых находятся в первой четверти, линейное пространство (с обычными операциями)?

Нет. Например, умножение элемента данного множества на 3 равен 0? Да.

  • 5. Образуют ли линейное пространство все полиномы от х степени не выше 5, у которых коэффициент при х 3 равен 1? Нет.
    • 18. Разложить матрицы в сумму симметрической S и кососимметрической А:
      • а) ; б) ; в) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 19. Найти:
      • а) ; б) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 20. Найти произведение матриц:
      • а) ; б) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 21. Найти произведение матриц:
      • а) ; б) ; в) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • г) ;
    • д) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 22. Вычислить произведение матриц:
      • а) ; б) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 23. Вычислить произведения матриц:
      • а) ; б) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • в) ;
    • г) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    24. Пусть ; ; . Проверить, что . .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    25. Даны матрицы:;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 26. Для заданных пар матриц проверить выполняется ли равенство: :
      • а) ; б) ; в)

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    . а) да; б) нет; в) нет.

    27. Показать, что для матрицы А: :

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    28. Если , то . Вычислить , если:

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • б) ; ;
    • в) ; ;
    • г) ; .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    29. Проверить, что для матриц Паули: , . Справедливы следующие соотношения:

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • а) ;
    • б) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 30. Показать, что все матрицы перестановочные с матрицей: имеют вид: , где — произвольные числа.
    • 31. Найти все матрицы перестановочные с матрицей:
      • а) ; б) ; в) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    32. Для матриц и найти: а) ; б) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 33. Выяснить, образует ли данное линейное множество функций на произвольном отрезке [a, b] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число:
      • а) множество С[a, b] функций непрерывных на [a, b];
      • б) множество С 1 [a, b] функций непрерывно дифференцируемых на [a, b];
      • в) множество R[a, b] функций интегрируемых по Риману на [a, b];
      • г) множество функций, ограниченных на [a, b];

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • д) множество функций таких, что ;
    • е) множество функций неотрицательных на [a, b];
    • ж) множество функций таких, что ;
    • з) множество функций таких, что ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • и) множество функций таких, что ;
    • к) множество функций, монотонно возрастающих на [a, b];
    • л) множество функций, монотонных на [a, b].

    а) да; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да; з) нет; и) нет; к) нет; л) нет.

    • 34. Выяснить, является ли подпространством данное множество векторов в n-мерном арифметическом пространстве и если является, то найти его размерность:
      • а) множество векторов, у которых первая координата равна 0;
      • б) множество векторов, у которых все координаты равны между
    • в) множество векторов сумма координат которых равна 0;
    • г) множество векторов сумма координат которых равна 1;
    • д) множество векторов плоскости параллельных данной прямой;
    • е) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных

    ж) множество векторов плоскости с модулем, не превышающем

    з) множество векторов плоскости, образующих угол с данной

    а) да, n -1; б) да, 1; в) да, n-1; г) нет; д) да, 1; е) да, 2; ж) нет; з) при = 0 и = /2 — да, 1;

    • 35. Является ли линейным подпространством соответствующего линейного пространства каждая из соответствующих совокупностей векторов:
      • а) все векторы n-мерного пространства с целыми координатами;
      • б) все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей

    координат Ох или Оу;

    • в) все векторы начала и концы которых лежат на данной прямой;
    • г) все векторы трехмерного пространства, концы которых не лежат на

    а) нет; б) нет; в) да; г) нет.

    • 36. Доказать, что следующие системы векторов образуют линейные подпространства, и найти их базис и размерность:
      • а) все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты

    равны между собой;

    б) все n-мерные векторы у которых координаты с четными номерами

    в) все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами

    равны между собой;

    г) все n-мерные векторы вида , где и — лю-

    а) n-1; (1, 0, … , 0, 1), (0, 1, 0, … , 0), (0, 0, 1, 0, … , 0), (0, 0, … , 0, 1, 0); б) [(n+1)/2];

    • (1, 0, 0, , … , 0), (0, 0, 1, 0, … , 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0, … , 0)…; в) [(n+1)/2]+1; (0, 1, 0, 1, 0,1, …),
    • (1, 0, 0, … , 0), (0, 0, 1, 0, … , 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0,… , 0)…; г) 2; (1, 0, 1, 0, 1, … ),
    • (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, … ).
    • 37. Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка n линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка n и, если является, то найти его размерность:
      • а) множество матриц с нулевой первой строкой;
      • б) множество диагональных матриц;
      • в) множество верхних треугольных матриц;
      • г) множество симметрических матриц;
      • д) множество кососимметрических матриц.
    • 38. Установить, являются ли следующие совокупности векторов подпространствами:
      • а) совокупность всех векторов n-мерного пространства (n 2), у которых, по крайней мере, одна из первых двух координат равна нулю;
      • б) совокупность всех векторов n-мерного пространства, у которых первые две координаты и удовлетворяют уравнению: ;
      • в) совокупность всех векторов n-мерного пространства, у которых первые две координаты удовлетворяют уравнению: ;
      • г) все векторы плоскости, концы которых лежать на одной прямой, а начало совпадает с началом координат;
      • д) все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных векторов из .

    а) нет; б) да; в) нет; г) да, если прямая проходит через начало координат; нет, если прямая не проходит через начало координат; д) да.

    • 39. В пространстве полиномов степени не выше 3 является ли подпространством совокупность полиномов, удовлетворяющих условию:
      • а) ; б) .

    Если да, то какова его размерность и базис?

    а) да; 3; Базис: 1, (х 2 -1), (х 2 -1) х; б) да; 3; Базис: х, х 2 +1, х 3 +2

    • 40. В пространстве полиномов степени не выше 3, найти базис и размерность подпространства L полиномов, удовлетворяющих условиям:
      • а) ; б) ;
      • в) ; г) ; д) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    a) dim L = 2; ; б) dim L = 2; ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    в) dim L = 2; ; г) dim L = 3; ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • д) dim L = 3; .
    • 41. В пространстве полиномов степени не выше трех является ли подпространством совокупность полиномов, таких, что . Найти базис и размерность этого пространства.
    • 42. Доказать, что при любом данное множество функций образует конечномерное линейное пространство, найти размерность и указать базис этого пространства:
      • а) множество четных полиномов, степени не выше n;
      • б) множество нечетных полиномов, степени не выше n;
      • в) множество тригонометрических полиномов порядка не выше n, т.е.

    множество функций вида:

    • г) множество четных тригонометрических полиномов порядка не выше n;
    • д) множество нечетных тригонометрических полиномов порядка не выше n;
    • е) множество функций вида:

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    где — фиксированное вещественное число.

    базис: 1, cosx, sinx, … , cosnx, sinnx; г) n+1; базис: 1, cosx, … , cosnx; д) n; базис:

    • 43. Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство:
      • а) множество всех полиномов;
      • б) множество всех тригонометрических полиномов;
      • в) множество функций непрерывных на некотором отрезке.
    • 44. Выяснить, будут ли данные векторы линейно зависимы или нет:
      • а) а(1, 3, 1), b(-1, 1, 3), c(-5, -7, 3);
      • б) а(2, -1, -2), b(6, -3, 1);
      • в) а(2, -1, 7, 3), b(1, 4, 11, -2), c(3, -6, 3, 8).

    а) да; 2аb = 0; б) нет; в) да; 3аb = 0; г) нет; д) да; а + b + с = 0; е) нет.

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 47. Найти размерность и базис линейных подпространств натянутых на системы векторов:
      • а) а1(1, 0, 0, -1), а2(2, 1, 1, 0), а3(1, 1, 1, 1), а4(1, 2, 3, 4), а5(0, 1, 2, 3);
      • б) а1(1, 1, 1, 1, 0), а2(1, -1, -1, -1, -1), а3(2, 2, 0, 0, -1), а4(1, 1, 5, 5, 2),

    а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет.

    • 49. Какова размерность пространства решений уравнения:
      • а) ; б)

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 50. Докажите, что следующие системы функций линейно независимы
    • а) sinx, sin2x, sin3x; б) 1, e x , e 2x , e 3x .
    • 51. Пусть R + линейное пространство положительных чисел, в котором х ? у ? х . у, а ? х ? х. Доказать, что в R + любые х и у линейно зависимы.
    • 52. Выявить линейные зависимости между векторами:
      • а) (1, 3), (3, 2), (-11, 16);
      • б) (1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 3), (3,-5, 7, 2), (1,-7, 5,-2);
      • в) (4, 3, 1), (1, 2, 3), (2, -1, -5);
      • г) (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 2), (0, 0, 1, 1), (2, 2, 3, 3).
    • 53. Векторы e1, e2, … , en в X заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что e1, e2, … , en сами образуют базис и найти координаты вектора х в этом базисе:
      • а) e1(1, 1, 1), e2(1, 1, 2), e3(1, 2, 3), x = (6, 9, 14);
      • б) e1(2, 1, -3), e2(3, 2, -5), e3(1, -1, 1), x = (6, 2, -7);
      • в) e1(1, 2,-1,-2), e2(2, 3, 0, -1), e3(1, 2, 1, 4), e3(1, 3, -1, 0), x=(7, 14, -1, 2);

    а) (1, 2, 3); б) (1, 1, 1); в) (0, 2, 1, 2).

    • 54. Найти координаты вектора х в базисе e1, e2, e3: e1(1. 3. 5), e2(6, 3, 2), e3(3, 1, 0), если:
      • а) х(3, 7, 1); б) х(0, 0, 1); в) х(2, 3, 5).

    а) (33, -82, 154); б) (-3, 8, -15); в) (-1, 5, -9).

    • 55. Найти координаты функции в базисе .
    • 56. Линейное пространство полиномов степени не выше n. Показать, что 1, (х-1), (х-1) 2 , … , ), (х-1) n образуют базис этого пространства. Найти в этом базисе координаты многочлена:
      • а) 2 + 3х — 5х 2 + 4х 5 ; б) а0 + а1х + … + аnхn ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    а) (4, 13, 35, 40, 20, 4, 0, 0, …); б) .

    57. Найти размерность и базис линейной оболочки системы полиномов: (1 + t)3, t3, 1, t + t2.

    3; базис: (1 + t) 3 , t 3 , 1.

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    58. Доказать, что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц 2го порядка и найти координаты матрицы в этом базисе.

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    59. Доказать, что многочлены 2t + t5, t3 — t5, t + t3 образуют базис в пространстве нечетных полиномов степени не выще 5 и найти координаты полинома 5t — t3 + 2t5 в этом базисе.

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    60. Проверить, что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц 2го порядка. Матрицу представить, как линейную комбинацию базисных матриц.

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • 61. Доказать, что пространство квадратных матриц порядка n является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметрических матриц того же порядка.
    • 62. Доказать, что пространство многочленов степени не выше n является прямой суммой четных многочленов степени не выше n и подпространства нечетных многочленов степени не выше n.
    • 63. Доказать, что n-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов. Все координаты которых равны между собой и подпространства векторов сумма координат которых равна нулю.
    • 64. Доказать, что сумма L двух подпространств P и Q тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор хL однозначно представляется в виде х = y + z, где уP, zQ.
    • 65. Пусть P и Q два линейных подпространства конечномерного линейного пространства V. Доказать, что:
      • а) dim P + dim Q >n = dim VxV, x , xPQ;
      • б) dim P + dim Q = dim PQ + 1, то одно из этих подпространств

    содержится в другом.

    • 66. Доказать, что для любого линейного подпространства P конечномерного линейного пространства V, существует другое подпространство Q такое, что V = PQ.
    • 67. Найти размерность суммы и размерность пересечения линейных подпространств натянутых на системы векторов <ai> и <bi>:
      • а) а1(1, 2, 0, 1), а2(1, 1, 1, 0); b1(1, 0, 1, 0), b2(1, 1, 1, 1);
      • б) а1(1, 1, 1, 1), а2(1, -1, 1, -1), а3(1, 3, 1, 3); b1(1, 2, 0, 2), b2(1, 2, 1, 2),
    • 69. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов:
    • 1 + 2t + t 3 , 1 + t + t 2 , tt 2 + t 3 и 1 + t 2 , 1 + 3t + t 3 , 3tt 2 + t 3 .

    сумма: 3; базис: <1 + 2t + t 3 , 1 + t 2 , 1 + t + t 2 >; пересечение: 1; базис: <2 + 3t + t 2 + t 3 >.

    • 70. а) Доказать, что если в n-мерном комплексном линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2n-мерное вещественное пространство;
    • б) В двумерном комплексном арифметическом пространстве рассматривается операция умножения лишь на вещественные числа. Найти базис в полученном вещественном пространстве и координаты вектора (-3 + 2i, —i) в этом базисе.
    • 71. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного n-мерного арифметического пространства, натянутых, на системы векторов и :
      • а) n = 3; а1(1, 2, 3), а2(1, -2, i), а3(2, 0, 3 + i); b1(1, 0, 3i), b2(1, 4, 3 + i),

    • в) 4; базис: а1, а2, а2, b4; 2; базис: b1, b2 .
    • 72. Доказать, что множество многочленов степени не выше n с комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное линейное пространство и как вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти:
      • а) базис и размерность;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • б) координаты многочлена в найденном базисе
    • (при n = 2).

    a) Комплексное пространство: dim V = n+1, базис: 1, t, t 2 , … t n ; Вещественное пространство:

    Вещественное пространство: (1, -2, 3, 1, -3, 0).

    • 73. Для заданных матриц А и В найти А+ .В, если:
      • а) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • б);
    • в) ;
    • г) ;
    • д) ;
    • е) .

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • е) .
    • 74. Произвести действия с матрицами:
      • а) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • б) ;
    • в) ;
    • г) ;
    • д).

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • д) .
    • 75. Квадратная матрица с комплексными элементами называется эрмитовой, если ; и называется унитарной, если .

    Квадратная матрица с вещественными элементами называется самосопряженной, если ; и называется ортогональной, если .

    Для следующих матриц установить какими из указанных выше характеристик они обладают:

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    • в) ; г) ;
    • д) ; е) ;

    Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнениюВсе векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению

    a) ортогональная; б) ортогональна и самосопряженная; в) самосопряженная; г) эрмитова;

    • д) эрмитова; е) ортогональная; ж) ортогональная; з) ортогональная.
    • 76. Найдите n для указанных ниже пространств, если известно, что эти пространства изоморфны пространству V6:
      • а) для пространства симметричных nхn — матриц с нулевыми диагональными элементами;
      • б) для пространства Рn полиномов степени не выше n;
      • в) для подпространства многочленов р(х) из Рn, удовлетворяющих условию: р(0) = 0. a) n = 4; б) n = 5; в) n = 6.

    💡 Видео

    Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

    Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

    Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

    Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

    Линейная зависимость векторовСкачать

    Линейная зависимость векторов

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    Образуют ли данные векторы базисСкачать

    Образуют ли данные векторы базис

    Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

    Как разложить вектор по базису - bezbotvy

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

    Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

    Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

    Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

    Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

    Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

    Разложение вектора по базису. 9 класс.

    Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

    Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

    Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

    Линейная оболочка. Базис и размерность

    Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторыСкачать

    Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторы

    Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

    Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

    Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

    Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.

    Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

    Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

    Коллинеарность векторовСкачать

    Коллинеарность векторов
    Поделиться или сохранить к себе: