Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Видео:Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.Скачать

Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.

Разложение решения уравнения в степенной ряд

Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

Предположим, что коэффициенты и представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням , так что уравнение (1) можно переписать в виде

Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда

Подставляя это выражение и его производных в (2), получаем

Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях в левой части (4), получаем ряд уравнений:

Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает , второе дает , третье — , и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить , зная .

Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения и , причем для выберем и , а для выберем и , что равносильно следующим начальными условиям:

Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений и .

Если начальные условия имеют вид , то очевидно,

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если ряды и сходятся при , то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях и явится решением уравнения (1).

В частности, если и — многочлены от , то ряд (3) будет сходиться при любом значении .

Пример 1. Найти решения уравнения в виде степенного ряда.

Решение. Ищем в виде ряда , тогда

Подставляя и в (6), получаем

Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях , получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты

Положим для определенности, что . Тогда легко находим, что

Видео:301 Нахождение решения дифференци ального уравнения в виде степенного рядаСкачать

301 Нахождение решения дифференци ального уравнения в виде степенного ряда

Пример решения контрольной работы №2

Задание 1.

Для уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряднайти пять первых, отличных от нуля слагаемых приближённого решения.

В данном случае

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, тогда

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(2)

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядтогда

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Подставим найденные значения производных в формулу (2):

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Сравним найденное решение с решением в квадратурах. Запишем уравнение в виде: Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд. Его вид соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка, решаем его методом Бернулли: Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд. Подставим в уравнение: Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд. Функции Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряди Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряднайдём как решение системы:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Решаем первое уравнение:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Подставим найденное решение во второе уравнение системы:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

При нахождении неопределённого интеграла была использована формула интегрирования по частям. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд. Произвольную постоянную С найдём из начального условия:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд; Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Для сравнения составим таблицу значений приближённого и точного решений на промежутке изменения х от — 1 до 1 с шагом 0,2.

х— 1— 0,8— 0,6— 0,4— 0,2
Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд0,1840,4250,6740,9351,2091,5
Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд0,18750,4260,67470,9481,2131,5
х0,20,40,60,8
Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд1,8112,1462,5112,9133,359
Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд1,81072,1462,51072,91123,3542

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 2.Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Решение ищем в виде ряда:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Согласно условию Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядДано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

тогда Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Подставляя найденное значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 3

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, заданную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она раскладывается в ряд Фурье.

Ряд Фурье для функции Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядна отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядимеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

где коэффициенты Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряднаходятся по формуле:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядЗамечание: Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Находим коэффициенты ряда:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядСледовательно, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядДано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Следовательно, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной рядДано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Следовательно, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Ряд Фурье для данной функции имеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Контрольная работа № 2

Дисциплина «Дополнительные главы математики»

Направления 23.03.03.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию за-данную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию заданную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию

заданную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию заданную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию за-данную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию за-данную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию заданную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию за-

данную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию за-

данную на отрезке Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд;

а) приближённо, используя формулу Тейлора Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд, Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд) функцию за-

данную на отрезке.

Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд

Оглавление

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравне — ний. 3

1.1. Основные определения и понятия………………………………………………………..3

1.2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переме —

1.3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка……………….5

1.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бе —

1.5. Задачи на составление дифференциальных уравнений………………………………. 10

1.5.1. Задачи с геометрическим. содержанием на составление дифференциальных. уравне-

1.5.2. Задачи различного характера на составление дифференциальных уравнений……..14

1.6. Дифференциальные уравнения вида Дано дифференциальное уравнение тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд……………………………….…. 17

1.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици —

ентами и специальной правой частью………………………………..…………….…..19

1.8. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных..21

1.9. Пример решения контрольной работы №1…………………………………. ………….23

2. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. Ряд Фурье…….….……33

2.1. Нахождение приближённого решения дифференциальных уравнений………. ……..33

2.2. Тригонометрические ряд. Ряд Фурье…………………………………………….……..33

2.3 Пример решения контрольной работы №2………………………………………………..35

🔥 Видео

Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать

Частное решение ДУ, с помощью ряда

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение ведет к разложению в ряд Тейлора и сумме ряда?Скачать

Дифференциальное уравнение ведет к разложению в ряд Тейлора и сумме ряда?

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов -3Скачать

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов -3

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Решаю высшую математику, решаю задачи качественноСкачать

Решаю высшую математику, решаю задачи качественно

Дифференциальные уравнения | использование степенных рядовСкачать

Дифференциальные уравнения | использование степенных рядов

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Поделиться или сохранить к себе: