Вектор скорости частицы задается уравнением v 2ti 3t2j где i и j единичные вектора (7 видео)

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором

где – единичные векторы декартовой системы координат (орты); x, y, z – координаты точки.

Средние скорость и ускорение

Средний вектор скорости

где – перемещение материальной точки за интервал времени Dt; – средние значения проекций скорости на координатные оси; Dx=x(t)–х₀; Dy=y(t)–y₀; Dz=z(t)–z₀ – проекции перемещения материальной точки за интервал времени Dt; x₀, y₀, z₀ – начальное положение точки в пространстве.

Среднее значение скорости:

где Ds – пройденный путь за интервал времени Dt=t–t₀.

Средний вектор ускорения

где – приращение вектора скорости материальной точки за интервал времени Dt.

– средние значения проекций ускорения на координатные оси.

Среднее ускорение ,

где = (t)- (t₀) .

Мгновенные скорость и ускорение

где – единичные векторы (орты осей декартовой системы координат); ; ; – проекции скорости на координатные оси.

Кинематические уравнения движения

Кинематическое уравнение движения материальной точки в векторной форме

где – радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени t₀; – радиус-вектор в произвольный момент времени t, закон изменения скорости точки со временем.

Векторное уравнение движения эквивалентно трем скалярным:

, ,

Кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки вдоль оси x

Кинематическое уравнение равнопеременного прямолинейного движения (a=const) вдоль оси x

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси x

Связь скорости и ускорения

Средние угловая скорость и ускорение

Средний вектор угловой скорости

где – приращение угла поворота за интервал времени Dt .

Средний вектор углового ускорения

где – приращение угловой скорости за интервал времени Dt.

Средняя угловая скорость

, где = φ(t)- φ(t₀).

Среднее угловое ускорение

, где =ω(t)-ω(t₀).

Мгновенные угловая скорость и ускорение

Мгновенная угловая скорость

где w_z – проекция угловой скорости на ось вращения.

Угловое ускорение ,

где e_z – проекция углового ускорения на ось вращения.

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с неподвижной в пространстве осью вращения.

Связь между линейными и угловыми величинами:

S=Rj; u=wR; a_t=e_zR; a_n= =w 2 R,

где R – радиус окружности, по которой движется точка; S – длина дуги окружности; j – угол поворота, u – линейная скорость; e_z – проекция углового ускорения на ось вращения; w – угловая скорость; a_t – тангенциальное ускорение; a_n – нормальное ускорение.

При постоянной угловой скорости w=2p/T, w=2pn, где Т – период (время одного полного оборота); n – частота вращения (число оборотов, совершаемых движущейся точкой в единицу времени).

Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки относительно неподвижной оси

где j – угол поворота; w_z – проекция угловой скорости на ось вращения. Если w_z=const, то j=w_zt. Если угловое ускорение e=const, то где w₀ – начальная угловая скорость. Угловая скорость при таком вращении

Ускорение в плоском криволинейном движении

Вектор скорости частицы задается уравнением v 2ti 3t2j где i и j единичные вектора

или
,

где характеризует быстроту изменения модуля скорости (см. рис. 1.1);

a_n = — характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению ( см. рис. 1.1).

Соответствие линейных и угловых величин показано в табл.1.

Линейные величины	Угловые величины
S,х	φ
υ	ω
а	e
a_n=	a_n=ω 2 R
u_x=u_0x+a_xt	w_z=w_0z+e_zt

2a_xs_x=u_x 2 –u_0x 2	2e_zj_z=w_z 2 –w_0z 2

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Заряд электрона e=1,6×10 -19 Кл.

Масса электрона m=9,1×10 -31 кг.

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с 2 .

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Что изучает механика как один из разделов физики?

2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов приходится использовать модельные представления и абстрагированные понятия? Дайте определение: а) материальной точке (частице); б) системе материальных точек; в) абсолютно твердому телу.

3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической механике? Что означают понятия «однородность и изотропность пространства», «однородность времени»?

4. Какие существуют способы описания движения материальной точки? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиусом-вектором ?

5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме х=х (t), у=у (t), z=z (t) эквивалентно заданию его в векторной форме , где х, у, z – декартовы координаты положения материальной точки, – ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения ; б) скорости ; в) ускорения . В каких единицах измеряются эти величины? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

7. Частица движется по закону где u₀ и g – известные постоянные; – орт координатной оси z. Найдите скорость частицы и ее ускорение , а также их проекции и как функции времени.

8. Ускорение движущейся частицы где A – известная постоянная; – орт координатной оси х. В момент времени t=0 х=x₀ и u_x=u₀, где х₀ и u₀ – известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию скорости и координату x как функции времени.

9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступательным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.

10. Что называется тангенциальным а_t и нормальным а_n ускорениями? Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости и полного ускорения движущейся материальной точки?

11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение: а) угла поворота твердого тела; б) угловой скорости ; в) углового ускорения относительно неподвижной в пространстве оси вращения. В каких единицах измеряются эти величины?

12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих величин?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(1.25) Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=A+Bt+Ct 2 +Dt 3 , где С=0,14 м/с 2 и D=0,01 м/с 3 . Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a=1 м/с 2 ? Найти среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

Ответ: t=12 c, =0,64 м/с 2 .

2.(1.27) Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t=0,5 с на расстоянии l=5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью u_x он брошен? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Ответ: h=1,22 м; u_x=10 м/с; u=11,1 м/с; j=26 0 12 ’ .

3.(1.30) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=15 м/с. Найти нормальное а_n и тангенциальное а_t ускорения камня через время t=1 с после начала движения.

Ответ: а_t=5,4 м/с 2 ; а_n=8,2 м/с 2 .

4.(1.31) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения.

Ответ: R=305 м.

5.(1.39) С башни высотой h₀=25 м брошен камень со скоростью u₀=15 м/с вверх под углом a=30 0 к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит траектория движения камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Ответ: t=3,16 c; l=41,1 м; u=26,7 м/с; j=61 0 .

6.(1.49) Вентилятор вращается с частотой n=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t=10 c.

7.(1.52) Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти тангенциальное уско-рение а_t точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u=79,2 см/с.

Ответ: а_t=0,05 м/с 2 .

8.(1.55) Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e 3,14 рад/с 2 . Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение а_t; г) нормальное ускорение а_n; д) полное ускорение а; е) угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: а) w=3,14 рад/с; б) u=0,314 м/c; в) a_t=0,314 м/c 2 ;

г) a_n=0,986 м/c 2 ; д) a=1,03 м/c 2 ; е) a=17 0 46 ’ .

9.(1.57) Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A–Bt+Ct 2 , где В=2 м/c и С=1 м/c 2 . Найти линейную скорость u точки, ее тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения через время t=3 с после начала движения, если известно, что при t¢=2 с нормальное ускорение точки а¢_n=0,5 м/c 2 .

Ответ: u=4 м/c; a_t=2 м/c 2 ; a_n=2 м/c 2 ; a=2,83 м/c 2 .

10.(1.64) Во сколько раз нормальное ускорение а_n точки,лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения а_t для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол a=30 0 с вектором ее линейной скорости?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(1.4) По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁=А₁+В₁t+C₁t 2 и x₂=А₂+В₂t+С₂t 2 , где А₁=5 м, В₁=1 м/с, С₁=2 м/с 2 , А₂=–6 м, В₂=4 м/с, С₂=0,8 м/с 2 . В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти скорости u₁, u₂ и ускорения a₁, a₂ этих точек в момент времени t₁=1c.

Ответ: t=1,25 c; u₁=5 м/с; u₂=5,6 м/с; а₁=4 м/с 2 ; а₂=1,6 м/с 2 .

2.(1.23) Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁=A₁t+B₁t 2 +C₁t 3 и x₂= A₂t+B₂t 2 +C₂t 3 ,где B₁=4 м/с 2 , С₁= -3 м/с 3 , B₂= -2 м/с 2 , С₂= 1 м/с 3 . Определить момент времени, для которого ускорение этих точек будут равны.

Ответ: t=0,5 с.

3.(1.5) Движение материальной точки задано уравнением x=Аt+Bt 2 , где А=4 м/с, В=–0,05 м/с 2 . Определить момент времени t, в который скорость точки u=0. Найти координату x и ускорение точки a в этот момент.

Ответ: t=40 c; x=80 м; а=–0,1 м/с 2 .

4.(1.6) Точка движется по окружности радиусом R=2 м. Уравнение движения точки j=Аt+Bt 3 , где А=1 с -1 , В=0,4 с -3 . Определить тангенциальноеa_t, нормальное a_n и полное a ускорения точки в момент времени t=2с.

Ответ: а_t=9,6 м/с 2 ; а_n=67,3 м/с 2 ; а=68,0 м/с 2 .

5.(1.9) Колесо радиусом R=0,2 м вращается так, что зависимость от времени линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, дается уравнением u=At+Bt 2 , где А=0,06 м/с 2 , В=0,02 м/с 3 . Найти угол a, который составляет вектор полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t₁=1 с, t₂=2с после начала движения.

Ответ: a₁=72,2 0 ; a₂=35 0 .

6. (1.34) Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e= 3 рад/с 2 . Определить радиус колеса, если через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5 м/с 2 .

Ответ: R=79 см.

7. На вал радиусом R=10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за t=20 с от начала движения опустилась на h=2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала для этого момента времени.

Ответ: w=2h/(Rt)=2 рад/с; e=2h/(Rt 2 )=0,1 рад/с 2 .

8.(1.66) При выстреле пуля вылетела со скоростью u₀=200 м/с под углом a=60 0 к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема h, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: h=1531 м; S=3535 м; R=1020 м.

9.(1.69) Тело брошено со скоростью u₀=20 м/с под углом a=30 0 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость u тела, а также его нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения через t=1,5 с после начала движения. На какое расстояние x переместится за это время тело по горизонтали и на какой высоте yоно окажется?

Ответ: u=17,9 м/с; a_n=9,72 м/с 2 ; a_t=2,67 м/с 2 ; x=26 м; y=4 м.

10.(1.73) Электроны, обладающие кинетической энергией Е_к=1,6 кэВ, влетают посередине между пластинами плоского конденсатора параллельно им. Какое минимальное напряжение U_m необходимо подвести к пластинам, чтобы электроны не вышли за пределы пластин? Длина пластин l=2 см, расстояние между ними d=1 см
(1 кэВ=1,610 -16 Дж).

Ответ: U_m=800 В.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Скорость течения реки по ее ширине меняется по закону u=Ax 2 +Bх+C, где (а – расстояние от берега, b – ширина реки), A=–4 м/с, B=–A, C=0,5 м/с. На какое расстояние снесет лодку течением при переправе, если скорость ее относительно стоячей воды равна u₁=2 м/с и направлена прямо к противоположному берегу? Ширина реки b=420 м.

Ответ: S=245 м.

2. В момент t=0 частица вылетает из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость изменяется со временем по закону , – начальная скорость, модуль которой u₀=10 см/с, t=5 с. Найти зависимость координаты частицы от времени. Рассчитать: а) координату х частицы в моменты времени 6, 10, 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат.

Ответ: а) x=u₀t(1–t/2t); 0,24; 0 и –4 м; б) 1,1; 9 и 11 с.

3. Радиус-вектор движущейся точки А изменяется со временем t по закону где a и b – постоянные, и – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модули этих величин; в) зависимость от времени угла j между векторами и .

Ответ: a)

б) , a=2b;

в)

4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, изменяется по закону а_n=a+bt+ct 2 , где a, b, c – постоянные величины. Найти тангенциальное ускорение точки, путь, пройденный точкой за время t₁=6 c после начала движения, и полное
ускорение в момент времени t₂=2/3 с, если а=1 м/с 2 , b=3 м/с 3 ,
с=2,25 м/с 4 .

Ответ: а_t=3 м/с 2 , s=66 м; а=5 м/с 2 .

5. Частица движется в плоскости xy со скоростью где , – орты осей x и y соответственно, а и b – постоянные. В начальный момент частица находилась в точке x=y=0. Найти: a) уравнение траектории частицы y(x); б) радиус кривизны траектории в зависимости от координаты х.

Ответ: a) ; б) .

6. Два тела бросили одновременно: одно – вертикально вверх со скоростью u₁=25 м/с, другое – под углом a=30 0 к горизонту со скоростью u₂=30 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти их относительную скорость во время движения.

Ответ: =28 м/с.

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью u₀=250 м/с: первый – под J₁=60 0 к горизонту, второй – под углом J₂=45 0 (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Ответ: =11 с.

8. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве, по закону j=аt–bt 3 , где а=6 рад/с, b=2 рад/с 3 . Найти:
а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t=0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: a) =2а/3=4 рад/с; б) = =6 рад/с 2 .

9. При вращении махового колеса его угловое ускорение изменяется по закону e= — abw, а и b – постоянные. Найти: а) чему равна угловая скорость маховика через t_c после начала притормаживания, если в момент t=0 она была равна w₀? б) какой вид движения у маховика при t® ¥? в) как зависит от времени его угловое ускорение?

Ответ:

10. Твердое тело вращается с угловой скоростью =At +Bt 2 , где А=0,5 рад/с 2 , В=0,06 рад/с 3 . Найти для момента t=10 с: а) модули угловой скорости и углового ускорения; б) угол между этими векторами.

Ответ: а) =8 рад/с; =1,3 рад/с; б) 17 0 .

Видео:Физика: Понятие Вектор, Вектор СкоростиСкачать

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.1. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение растет линейно и за первые 10с достигает значения 5 м/с 2 . Определить в конце десятой секунды: 1) Скорость точки, 2) Пройденный точкой путь. Ответ: V=25 м/с, S=83,3 м.

1.2. Точка движется по окружности радиусом 4 м по закону S=A + Bt 2 , где S – пройденный путь, А=8 м, В=2 м/с 2 , t- время. Определить, в какой момент времени нормальное ускорение равно 2 м/с 2 . Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки в этот момент времени. Ответ: t=0,7с, a_t =4 м/с 2 , V=2,8 м/с, a=4,5 м/с 2 .

1.3. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S = A – Bt + Ct 2 + Dt 3 , где А= 6 м, В=3м/с, С= 2 м/с 2 , D=1 м/с 3 . Определить для тела в интервале времени от t₁=1с до t₂= 4с: 1)Среднюю скорость движения, 2) Среднее ускорение. Ответ: V=28 м/с, а = 19 м/с 2 .

1.4. Движение точки задано уравнением х = Аt + Вt 2 , где А= 4 м/с, В = — 0,05 м/с 2 . Построить графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения точки в интервале времени от t₁=0 до t₂= 80 с.

1.5. При движении тела в плоскости xoy вектор скорости изменяется по закону V= 3ti – 4tj. Найти: 1) Перемещение тела за первые 4 с движения, 2) Ускорение, 3) Уравнение траектории, 4) Направление движения. Ответ: ∆r= 40 м, а= 5 м/с 2 , y = -1,33x, α = 53 0 .

1.6. Движение материальной точки задано уравнением r (t)= A(i∙cosωt + j∙sinωt) где r – радиус-вектор точки, А= 0,5 м, ω= 5 рад/с. Найти уравнение и начертить траекторию движения точки, определить модуль скорости и модуль нормального ускорения. Ответ: x 2 + y 2 = 0,25, V= 2,5 м/с, а_n = 12,5 м/с 2 .

1. 7. Точка движется в плоскости XOY по закону: х=0,1∙sinωt, y=0,l∙(l+cos ωt). Найти путь, пройденный точкой за 10с, угол между векторами скорости V и ускорения а, уравнение траектории движения y=f(x).

Ответ: S(10)= ω; α=π /2; х 2 +(у-0,1) 2 =0,01.

1.8. Радиус-вектор частицы определяется выражениемr= 3t 2 i + 4t 2 j + 7k, где I, j, k— единичные вектора осей Х, Y, Z. Вычислить: 1) Путь S, пройденный частицей за первые 10с, 2) Модуль перемещения ∆r за тоже время, 3) Ускорение частицы. Ответ: S=500м, ∆r=500м, а=10 м/с 2 .

1.9.Точка движется в плоскости XOY по закону: x=2sin ωt; у =2cos ωt. Найти путь, пройденный телом за 2с; угол между векторами скорости V и ускорения а; траекторию движения y=f(x).

Ответ: S(2)=4ω; α=π/2; х 2 +у 2 =4.

1.10. Радиус-вектор, определяющий положение движущейся частицы, изменяется по закону: r = 2t√t∙i + 4t√t∙j. Найти для этой частицы скорость, путь и перемещение спустя 2 с после начала движения. Ответ: V=9,5 м/с, 12,6 м.

1.11. Точка движется так, что вектор её скорости V меняется со временем по закону V = 2 i + 2tj + 2t 2 k (м/с). Найти модуль перемещения за первые 4с её движения; модуль скорости в момент времени t=4c.

Ответ: = 46,3 м; V = 33 м/с.

1.12. Точка движется в плоскости XOY по закону: х = — 2t; у = 4t(l -t). Найти уравнение траектории у = f(x) и изобразить ее графически; вектор скоростиv и ускоренияа в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускоренияа составляет угол π/4 с вектором скорости v. Ответ: у = -х 2 -2х; V=-2i+4(1-2t)j, a=-8j, t₀=0,75c.

1.13. Радиус-вектор частицы изменяется по законуr = t 2 i + 4tj — 2k (м). Найти вектор скорости v, вектор ускорения а; модуль вектора скорости v в момент времени t = 2с. Ответ: V = 2ti +4j, a=2i, 5,7 м/с.

1.14. Точка начинает двигаться по плоскости XOY из начала координат с ускорением а = 2i +3tj. Найти вектора скорости и ускорения в зависимости от времени и уравнение траектории Y(x). Ответ: V=2ti + 1,5t 2 j , r= t 2 i+ 05t 3 j, Y= 0,5x 1,5 .

1.15. В течение времени τ скорость тела задается уравнением V= A+ Bt + Ct 2 (0 ≤ t ≤ τ). Определить среднюю скорость движения и среднее ускорение за промежуток времени от начала движения до τ. Ответ: V= А + Вτ/2 + Сτ 2 /3, а= В + Сτ.

1.16. Точка движется в плоскости XOY по закону: х = 2t; у = 4t(t — 1). Найти уравнение траектории у = f(x) и изобразить ее графически; вектор скорости v и ускорения а в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения а составляет угол π/6 с вектором скорости v. Ответ: у = х(х-2); V = 2i + (8t-4)j, a = 8j, t₀=0,93c.

1.17. Точка движется в плоскости XOY по закону: x=10cos ωt; y=10(l-sin ωt). Найти путь, пройденный точкой за первые 10 с движения ; угол между векторами скорости V и ускорения а; уравнение траектории движения y=f(x).Ответ: S=100ω; α=π /2; х 2 +(10-у) 2 =100.

1.18. Точка движется так, что ее вектор скорости меняется со временем по закону V= 2 i + 4tj + 5t 2 k (м/с). Найти модуль перемещения точки за первые 2с её движения и модуль скорости в момент времени t=2c. Ответ: = 16 м; V = 21,6 м/с.

1.19. Радиус-векторrчастицы меняется со временем по закону r= b∙t(1-αt), где α- постоянная, b-постоянный вектор. Найти: 1) Вектор скорости и ускорения частицы в зависимости от времени, 2) Промежуток времени ∆t, по истечение которого частица вернется в исходную точку, 3) Путь, который пройдет точка за время ∆t. Ответ: V= b(1-2αt), a= -2αb, ∆t=1/α, S= b/2α.

1.20. Точка движется в плоскости XOY по закону: х = t/2 ; у = t(l — t). Найти уравнение траектории у = f(x) и изобразить ее графически; вектор скорости v и ускорения а в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения а составляет угол π/3 с вектором скорости v. Ответ: у=2х-4х 2 ; t₀=0,64c.

1.21. Частица движется так, что ее радиус-вектор изменяется по закону: r = 7i + 4tj + 3t 2 k (м). По какому закону изменяется вектор скорости V и вектор ускорения а частицы? Найти модуль вектора скорости v в момент времени t = Зс и перемещение тела за первые 4с движения.

Ответ: V=18,4 м/с; ∆r = 50,6 м.

1.22. В плоскости xoy движется точка так, что скорость ее изменяется по закону V= 0,2t∙( 6i + 8j). Определить: 1) Ускорение точки, 2) Скорость через 5 с после начала движения, 3) Перемещение за 5 с движения. Ответ: а= 2 м/с, V=10 м/с, ∆r= 25 м.

1.23. Точка движется в плоскости XOY по закону: x=0,lcos ωt; y= l — 0,lsin ωt. Найти путь, пройденный телом за 10с; угол между векторами скорости V и ускорения а; траекторию движения y=f(x). Ответ: S =ω; α=π /2; х 2 +(1-у) 2 =0,01.

1.24. Точка движется в плоскости XOY по закону: х = 10t; у = 9t(l — 2t). Найти уравнение траектории у = f(x) и изобразить ее графически; вектор скорости v и ускорения а в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения а составляет угол π/3 с вектором скорости v. Ответ: у=0,9х(1-0,2х); t₀=0,41c.

1.25. Частица движется по оси Х так, что ее скорость меняется по закону V=α√х, где α- постоянная. Имея в виду, что в момент времени t=0 частица находится в точке Х=0, найдите: 1) Зависимость от времени скорости и ускорения частицы, 2) Среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые S метров пути. Ответ: α 2 t/2, α 2 /2, V_ср=α√S/2.

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

Кинематика

21. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью v₀. Определить ускорение тела, если за время t оно прошло путь S и его скорость v.

22. Материальная точка движется вдоль прямой так, что её ускорение линейно растёт и за первые 10 секунд достигает значения 5 м/с 2 . Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный точкой путь.

23. Кинетические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁ = A₁*t + B₁*t 2 + C₁*t 3 и x₂ = A₂*t + B2*t 2 + C₂*t 3 , где B₁ = 4 м/с 2 , C₁ = – 3 м/с 3 , B2 = -2 м/с 2 C2 = 1 м/c 3 . Определите момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

24. Кинетические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁ = A₁ + B₁*t + C₁*t 2 и x₂ = A₂ + B₂*t + C₂*t 2 , где B₁ = B₂, C₁ = – 2 м/с 2 , C₂ = 1 м/c 2 . Определить: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорение a₁ и a₂ для этого момента.

25. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r = 4 м, задается уравнением a_n = A + B*t + С*t 2 (A = 1 м/c 2 , B = 6 м/с 3 , С = 9 м/с 4 ) Определите: 1) тангенсальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t = 5 сек. после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t₂ = 1 секунде.

26. Зависимость пройденного телом пути sот времени tвыражается уравнением s= At— Bt 2 + Ct 3 (A= 2 м/с, В = 3 м/с 2 , С = 4 м/с 3 ). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t— 2 с после начала движения 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

27. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r= 3 м задается уравнением s= At 2 + Bt(А = 0,4 м/с : , B = 0,1 м/с) Определите для момента времени t = 1 с после начала движения ускорение: 1) нормальное, 2) тангенциальное; 3) полное.

28. Точка движется в плоскости ху из положения с координатами х₁ = v₁ = 0 со скоростью v = ai+ bxj(а, b— постоянные, i, j — орты осей x и y). Определите: 1) уравнение траектории точки y(x); 2) форму траектории.

29. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = t 3 i+ 3t 2 j, где i, j — орты осей х и у. Определите для момента времени t = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

30. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4t 2 i+ 3tj + 2k. Определите: 1) скорость v; 2) ускорение а; 3) модуль скорости в момент времени t= 2 с.

31. Движение материальной точки в плоскости ху описывается законом х = At, у = At (1 + Bt), где A и B— положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки y(х); 2) радиус-вектор r точки в зависимости от времени; 3) скорость vточки в зависимости от времени; 4) ускорение а точки в зависимости от времени.

32. Материальная точка начинает двигаться по окружности радуисом r = 12,5 с постоянным тангенсальным ускорением а_τ = 0,5 см/с 2 . Определить: 1) момент времени, при котором вектор ускорения a образует с вектором скорости v угол α = 45; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

33. Линейная скорость v₁ точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость v₂точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.

34. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 3рад/с. Определить радиус колеса, если через время t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса равно а = 7,5 м/с 2 .

35. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n = 50, после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение ε якоря.

36. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

37. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенсальным ускорением a_τ. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v₁ = 15 см/с. Определить нормальное ускорение a_n2 точки через t ₂ = 16 c после начала движения.

38. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением φ = A + Bt+ Сt 2 + Dt 3 (B = 1 рад/с, C = 1 рад/с 2 , D = 1 рад/с 3 ). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а_τ; 2) нормальное ускорение а_n; 3) полное ускорение а.

39. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = Аt 2 (A = 0,5 рад/с 2 ). Определить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное a_τ, нормальное a_n и полное ускорение а.

40. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = Аt 2 (A = 0,1 рад/с 2 ). Определить полное ускорение a точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если в этот момент линейная скорость этой точки v = 0,4 м/с.