Видео:
Содержание:
гипербола
Гипербола — это коническое сечение. Термин «гипербола» относится к двум несвязным кривым, показанным на рисунке.
Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы имеет вид:
Эти гиперболы симметричны вокруг оси y и известны как гипербола оси y. Гипербола, симметричная вокруг оси x (или гипербола оси x), определяется уравнением,
Как найти асимптоты гиперболы
Чтобы найти асимптоты гиперболы, используйте простое манипулирование уравнением параболы.
я. Сначала приведите уравнение параболы в приведенную выше форму
Если парабола дается как тх 2 + пу 2 =Lопределяя
Перепишите уравнение и выполните описанную выше процедуру.
Икс 2 / 4-й 2 / 9 = х 2 /2 2 -y 2 /3 2 =1
При замене правой части на ноль, уравнение становится х 2 /2 2 -y 2 /3 2 =0.
Факторизация и принятие решения уравнения дают,
(Х / 2-й / 3) (х / 2 + у / 3) = 0
3x-2y = 0 и 3x + 2y = 0
Найти асимптоты гиперболы — Пример 2
- Уравнение параболы дается как -4x² + y² = 4
Эта гипербола является гиперболой оси X.
Перестановка членов гиперболы в стандарт из дает
-4x 2 + у 2 = 4 => у 2 /2 2 -Икс 2 /1 2 =1
Факторизация уравнения обеспечивает следующее
(У / 2-х) (у / 2 + х) = 0
Поэтому решения имеют вид y-2x = 0 и y + 2x = 0.
Одна из асимптот гиперболы имеет уравнение 3x 2y 3 0
Прямые . называются асимптотами гиперболы.
Асимптоты определяют характер гиперболы при удалении от начала координат. Можно доказать, что если точка гиперболы неограниченно удаляется от начала координат, то расстояние от неё до одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты позволяют более точно изображать гиперболу. Для этого берут прямоугольник с вершинами (а, b), (а, —b), (—а, b), (—а, —b) и проводят прямые, продолжающие его диагонали. Уравнения этих прямых: . то есть это и есть асимптоты. Затем рисуют гиперболу, начиная от вершин и приближаясь к асимптоте по мере удаления от начала координат.
Пример 2. Преобразовать уравнение гиперболы . к каноническому виду. Найти полуоси, эксцентриситет, фокусы, уравнения асимптот и директрис. Сделать чертёж.
Решение. Группируем слагаемые, содержащие одну переменную:
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:
Сделаем замену переменных:
Геометрически эта замена представляет собой параллельный перенос (или сдвиг) координатных осей. Начало новой системы координат находится в точке x = 4, у = —1. В новой системе гипербола имеет каноническое уравнение: