В уравнение линейной множественной регрессии стоимость основных фондов

Тема 4: Линейное уравнение множественной регрессии

1. Для регрессионной модели зависимости среднедушевого денежного дохода населения (руб., у) от объема валового регионального продукта (тыс. р., х₁) и уровня безработицы в субъекте (%, х₂) получено уравнение . Величина коэффициента регрессии при переменной х₂ свидетельствует о том, что при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход ______ рубля при неизменной величине валового регионального продукта.

изменится на (-1,67)

увеличится на 1,67

уменьшится на (-1,67)

изменится на 0,003

Решение:

Эконометрическая модель линейного уравнения регрессии имеет вид , где y – зависимая переменная, x_j – независимая переменная ( – номер независимой переменной в модели, k – общее количество независимых переменных в модели); a, b_j – параметры уравнения; – ошибка модели (учитывает влияние на зависимую переменную y прочих факторов, не являющихся в модели независимыми переменными). Коэффициентом регрессии является параметр b_j. Его величина показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная y, при изменении соответствующей независимой переменной x_j на 1 единицу измерения. Таким образом, при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход изменится на (-1,67) рубля при неизменной величине валового регионального продукта.

2. В уравнении линейной множественной регрессии: , где – стоимость основных фондов (тыс. руб.); – численность занятых (тыс. чел.); y – объем промышленного производства (тыс. руб.) параметр при переменной х₁, равный 10,8, означает, что при увеличении объема основных фондов на _____ объем промышленного производства _____ при постоянной численности занятых.

на 1 тыс. руб. … увеличится на 10,8 тыс. руб.

на 1 тыс. руб. … уменьшится на 10,8 тыс. руб

на 1 тыс. руб. … увеличится на 10,8%

на 1% … увеличится на 10,8%

Решение:

В уравнении множественной линейной регрессии , параметр показывает среднее изменение результата y при увеличении фактора на одну единицу, при условии, что все остальные переменные останутся на постоянном уровне. В нашем случае, объем промышленного производства y характеризуется следующим уравнением , параметр равен 10,8, следовательно, при увеличении объема основных фондов на 1 тыс. руб. объем промышленного производства увеличится на 10,8 тыс. руб. при постоянной численности занятых.

3. Известно, что доля остаточной дисперсии зависимой переменной в ее общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет …

Решение:

Коэффициент детерминации равен доле дисперсии, объясненной регрессией, в общей дисперсии. Величина ( ) показывает долю остаточной дисперсии в общей или дисперсию, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели факторов.
. Значит,

4. Построена эконометрическая модель для зависимости прибыли от реализации единицы продукции (руб., у) от величины оборотных средств предприятия (тыс. р., х₁): . Следовательно, средний размер прибыли от реализации, не зависящий от объема оборотных средств предприятия, составляет _____ рубля.

Решение:

Эконометрическая модель линейного уравнения парной регрессии имеет вид: , где y – зависимая переменная, x – независимая переменная; a, b – параметры уравнения; – ошибка модели (учитывает влияние на зависимую переменную y прочих факторов, не являющихся в модели независимыми переменными). Значение параметра а может быть рассчитано по формуле . Если , то ; в таком случае говорят, что среднее значение переменной y, не зависящее от величины переменной х, равно значению параметра а. Следовательно, средний размер прибыли от реализации, не зависящий от объема оборотных средств предприятия, составляет 10,75 рубля.

5. F-статистика рассчитывается как отношение ______ дисперсии к ________ дисперсии, рассчитанных на одну степень свободы.

факторной … к общей

Решение:

F-статистика рассчитывается как отношение факторной дисперсии на одну степень свободы к остаточной дисперсии на одну степень свободы.

Тема 5: Оценка параметров линейных уравнений регрессии

1. Для эконометрической модели уравнения регрессии ошибка модели определяется как ______ между фактическим значением зависимой переменной и ее расчетным значением.

сумма квадратов разности

сумма разности квадратов

Решение:

Одним из типов эконометрических моделей является уравнение регрессии, которое может быть записано в виде математического выражения , где y – зависимая переменная; x_j – независимая переменная (j = 1,…, k; k – количество независимых переменных); f – тип функциональной зависимости (математическая функция); – случайные факторы. При этом , тогда , где – фактическое значение зависимой переменной, – расчетное значение зависимой переменной, – ошибка модели. Выразим значение : . Поэтому правильный ответ – «разность».

2. Величина называется …

Решение:

Величина называется случайной составляющей, или возмущением, и включает в себя влияние факторов, неучтенных в модели, ошибок выборки и ошибок измерения.

3. В эконометрической модели уравнения регрессии величина отклонения фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения характеризует …

величину коэффициента регрессии

значение свободного члена уравнения

нулевое значение независимой переменной

Решение:

Одним из типов эконометрических моделей является уравнение регрессии, которое может быть записано в виде математического выражения , где y – зависимая переменная; x_j – независимая переменная (j = 1,…, k; k – количество независимых переменных); f – тип функциональной зависимости (математическая функция); – случайные факторы. При этом , тогда , где – фактическое значение зависимой переменной, – расчетное значение зависимой переменной, – ошибка модели. Поэтому правильный ответ – «ошибку модели».

4. Известно, что доля объясненной дисперсии в общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет …

Решение:

Коэффициент детерминации равен доле дисперсии, объясненной регрессией, в общей дисперсии. Следовательно,

5. При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии определяются из условия ______ остатков .

Методические основы корреляционно-регрессионного анализа

Понятие о корреляционно-регрессионном анализе

Убедившись при помощи аналитической группировки и расчета показателя эмпирического корреляционного отношения, что теснота связи между исследуемыми явлениями достаточно высока, можно и перейти к корреляционно-регрессионному анализу.

Экономические явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий зависят от большого количества взаимодействующих и взаимообусловленных факторов.

В наиболее общем виде задача изучения взаимосвязей факторов состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – методы регрессионного анализа, объединенные в методы корреляционно-регрессионного анализа, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнение при интерпретации результатов и др.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. К показателям, используемым для оценки тесноты связи, относятся эмпирическое корреляционное отношения, теоретическое корреляционное отношение, линейный коэффициент корреляции и т.п.

Задачи регрессионного анализа состоят в установлении формы зависимости между исследуемыми признаками (показателями), определении функции регрессии, использования уравнения регрессии для оценки неизвестных значений зависимой переменной. Найти уравнение регрессии –

значит по эмпирическим (фактическим) данным описать изменения взаимно коррелируемых величин.

Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Уравнение регрессии называют теоретической линией регрессии, а рассчитанные по нему значения результативного признака – теоретическими. Теоретические значения результативного признака обычно обозначаются y _x (читается: «игрек, выровненный по икс») и рассматриваются как функция от х, т.е. y _x = f (x). Иногда для простоты записи вместо y _x пишут y’ или y.

Для аналитической связи между х и у используются следующие простые виды уравнений: y _x = a₀ + a₁x (прямая); y _x = a₀ + a₁x + a₂x 2 (парабола второго порядка); y _x = a₀ + a₁/x (гипербола); y _x = a₀ × a₁ x (показательная или экспоненциальная функция); y _x = a₀ + b × lg x (логарифмическая функция) и др.

Обычно зависимость, выраженную уравнением прямой, называют линейной (или прямолинейной), а все остальные – криволинейными (см. табл. 7.1). Кроме того, различают парную и множественную (многофакторную) корреляцию (см. там же), а, следовательно, и, парную и множественную регрессии.

Корреляционно-регрессионный анализ, в частности многофакторный корреляционный анализ, состоит из нескольких этапов.

На первом этапе определяются факторы, оказывающие воздействие на изучаемый показатель, и отбираются наиболее существенные. От того, насколько правильно сделан отбор факторов, зависит точность выводов по итогам анализа. При отборе факторов придерживаются требований, представленных на рис. 8.1.

Требования к отбору факторов при корреляционнорегрессионном анализе:

• учитываются причинно-следственные связи между показателями
• отбираются самые значимые факторы, оказывающие решающее воздействие на результативный показатель (факторы, которые имеют критерий надежности по Стьюденту меньше табличного, не рекомендуется принимать в расчет)
• все факторы должны быть количественно измеримы
• не рекомендуется включать в корреляционную модель взаимосвязанные факторы (если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,85, то по правилам корреляционного анализа один из них необходимо исключить, иначе это приведет к искажению результатов анализа)
• нельзя включать в корреляционную модель факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер
• в корреляционную модель линейного типа не рекомендуется включать факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер

Рисунок 8.1 – Перечень основных требований, учитываемых при отборе факторов, при корреляционно-регрессионном анализе

На втором этапе собирается и оценивается исходная информация, необходимая для корреляционного анализа. Собранная исходная информация должна быть проверена на точность (достоверность), однородность и соответствие закону нормального распределения. Критерием однородности информации служит среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Если вариация выше 33%, то это говорит о неоднородности информации и ее необходимо исключить или отбросить нетипичные наблюдения.

На третьем этапе изучается характер и моделируется связь между факторами и результативным показателем, т.е. подбирается и обосновывается математическое уравнение, которое наиболее точно выражает сущность исследуемой зависимости. Для обоснования функции используются те же приемы, что и для установления наличия связи: аналитические группировки, линейные графики и др. Если связь всех факторных показателей с результативным носит прямолинейный характер, то для записи этих зависимостей можно использовать линейную функцию: y _x = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ +. + a_nx_n. Если связь между функцией и исследуемыми показателями носит криволинейный характер, то может быть использована степенная функция: y _x = b₀ × x₁ b1 × x₂ b2 × . × x_n bn .

На четвертом этапе проводится расчет основных показателей связи корреляционного анализа. Рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции уравнения множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи: критерий Стьюдента, критерий Фишера, множественные коэффициенты корреляции и др.

На пятом этапе дается статистическая оценка результатов корреляционного анализа и практическое их применение. Для этого дается оценка коэффициентов регрессии, коэффициентов эластичности и бета-коэффициентов.

Одним из основных условий применения и ограничения корреляционно-регрессионного метода является наличие данных по достаточно большой совокупности явлений. Обычно считают, что число наблюдений должно быть не менее чем в 5-6, а лучше – не менее чем в 10 раз больше числа факторов.

Парная линейная регрессия

Парная линейная зависимость – наиболее часто используемая форма связи между двумя коррелируемыми признаками, выражаемая при парной корреляции уравнением прямой:

где y _x – выровненное среднее значение результативного признака;
х – значение факторного признака;
а0 и а1 – параметры уравнения;
а0 – значение у при х = 0;
а1 – коэффициент регрессии.

Коэффициент регрессии а1 показывает, на сколько (в абсолютном выражении) изменится результативный признак у при изменении факторного признака х на единицу.

Если а1 имеет положительный знак, то связь прямая, если отрицательный – связь обратная.

Параметры уравнения связи определяются способом (методом) наименьших квадратов (МНК) с помощью составленной и решенной системы двух уравнений с двумя неизвестными:

где n – число членов в каждом из двух сравниваемых рядов (число единиц совокупности);
Σx – сумма значений факторного признака;
Σx 2 – сумма квадратов значений факторного признака;
Σy – сумма значений результативного признака;
Σyx – сумма произведений значений факторного признака на значения результативного признака.

Для справки: суть метода наименьших квадратов заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений.

Решив систему уравнений, получаем значения параметров уравнения связи, определяемые по формулам:

Если параметры уравнения определены правильно, то Σу = Σ y _x.

Пример построения уравнения парной линейной регрессии

По данным таблицы 8.1 необходимо построить линейное уравнение регрессии, характеризующее зависимость выпуска продукции десяти предприятий одной отрасли от стоимости их основных производственных фондов.

Данные, характеризующие десять предприятий одной отрасли

Номер предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Стоимость ОПФ, млрд. руб.	12	8	10	6	9	15	11	13	14	10
Выпуск продукции, млрд. руб.	5,6	4,0	4,0	2,4	3,6	5,0	4,6	6,5	7,0	4,5

Для расчета параметров уравнения регрессии и выровненных по х значений у построим вспомогательную таблицу 8.2.

Данные, используемые для расчета параметров линейного уравнения связи стоимости основных производственных фондов и выпуска продукции десяти предприятий отрасли

№ завода (n)	Стоимость ОПФ (х), млрд. руб.	Выпуск продукции (у), млрд. руб.	x 2	xу	y 2	y x = 0,167 + 0,421x
1	12	5,6	144	67,2	31,36	5,2
2	8	4	64	32	16	3,5
3	10	4	100	40	16	4,4
4	6	2,4	36	14,4	5,76	2,7
5	9	3,6	81	32,4	12,96	4
6	15	5	225	75	25	6,5
7	11	4,6	121	50,6	21,16	4,8
8	13	6,5	169	84,5	42,25	5,6
9	14	7	196	98	49	6,1
10	10	4,5	100	45	20,25	4,4
Всего	108	47,2	1236	539,1	239,74	47,2
В среднем на 1 завод	10,8	4,72	123,6	53,91	23,974	х

По формуле 8.3 параметр уравнения прямой: a0 = 0,167.

По формуле 8.4 коэффициент регрессии: a1 = 0,421.

По формуле 8.1 линейное уравнение связи между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции имеет вид: y _x = 0,167 + 0,421x

Коэффициент регрессии а1 = 0,421 показывает, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 млрд. руб. выпуск продукции в среднем увеличится на 0,421 млрд. руб.

Последовательно подставляя в полученное уравнение значения факторного признака х, находим выровненные значения результативного признака y _x, показывающие, каким теоретически должен быть средний размер выпущенной продукции при данном размере основных производственных фондов (при прочих равных условиях). Выровненные (теоретические) значения выпуска продукции приведены в последней графе таблицы 8.2.

Правильность расчета параметров уравнения подтверждает равенство Σу = Σ y _x (47,2 = 47,2).

На рис. 8.2 представлены эмпирические, теоретические и средние уровни выпуска продукции предприятий отрасли, отличающихся по стоимости основных производственных фондов.

Для экономической интерпретации линейных и нелинейных связей между двумя исследуемыми явлениями часто используют рассчитанные на основе уравнений регрессии коэффициенты эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%.

Для линейной зависимости коэффициент эластичности (ε) определяется:

– для отдельной единицы совокупности по формуле:

– в целом для совокупности по формуле:

Пример расчета коэффициентов эластичности

По данным таблицы 8.2 необходимо найти коэффициенты эластичности для отдельных предприятий и в среднем по отрасли.

По формуле 8.5 коэффициент эластичности на первом предприятии равен: ε₁ = 0,97, т.е. 1% прироста стоимости основных производственных фондов обеспечивает прирост выпуска продукции на этом предприятии на 0,97%; …; на пятом предприятии – на 0,95%; …; на десятом предприятии – на 0,96%.

По формуле 8.6 коэффициент эластичности равен:

ε = 0,963. Это означает, что при увеличении стоимости основных производственных фондов в целом по предприятиям отрасли на 1%, выпуск продукции увеличится в среднем на 0,963%. Определение тесноты связи в корреляционно-регрессионном анализе основывается на правиле сложения дисперсий, как и в методе аналитической группировки. Но в отличие от него, где для оценки линии регрессии используют групповые средние результативного признака, в корреляционно-регрессионном анализе для этой цели используют теоретические значения результативного признака.

Наглядно представить и обосновать корреляционно-регрессионный анализ позволяет график.

На графике на рис. 8.2 проведены три линии: у – ломанная линия фактических данных; y _x – прямая наклонная линия теоретических значений у при абстрагировании от влияния всех факторов, кроме фактора х (переменная средняя); y – прямая горизонтальная линия, из среднего значения которой исключено влияние на у всех без исключения факторов (постоянная средняя).

Несовпадение линии переменной средней y _x с линией постоянной средней y поясняется влиянием факторного признака х, что, в свою очередь, свидетельствует о наличии между признаками у и х неполной, нефункциональной связи. Для определения тесноты этой связи необходимо рассчитать дисперсию отклонений у и y _x, то есть остаточную дисперсию, которая обусловлена влиянием всех факторов, кроме фактора х. Разница между общей и остаточной дисперсиями дает теоретическую (факторную) дисперсию, которая измеряет вариацию, обусловленную фактором х.

На сопоставлении этой разницы с общей дисперсией построен индекс корреляции или теоретическое корреляционное отношение (R), которое определяется по формулам:

где σ 2 _общ – общая дисперсия;
σ 2 _ост – остаточная дисперсия;
σ 2 _{y x} – факторная (теоретическая) дисперсия.

Факторную дисперсию по теоретическим значениям исчисляют по формуле:

Остаточную дисперсию определяют по формулам:

Коэффициент детерминации (R 2 ) характеризует ту часть вариации результативного признака у, которая соответствует линейному уравнению регрессии (т.е. обусловлена вариацией факторного признака) и исчисляется по формуле:

Индекс корреляции принимает значения от 0 до 1. Когда R = 0, то связи между вариацией признаков х и у нет. Остаточная дисперсия равняется общей, а теоретическая дисперсия равняется нулю. Все теоретические значения y _x совпадают со средними значениями y , линия y _x на графике совпадает с линией y , то есть принимает горизонтальное положение. При R = 1 теоретическая дисперсия равна общей, а остаточная равна нулю, фактические значения у совпадают с теоретическими y _x, следовательно, связь между исследуемыми признаками линейно-функциональная.

Индекс корреляции пригоден для измерения тесноты связи при любой ее форме. Он, как и эмпирическое корреляционное отношение, измеряет только тесноту связи и не показывает ее направление.

Для измерения тесноты связи и определения ее направления при линейной зависимости используется линейный коэффициент корреляции (r), определяемый по формулам:

Значение r колеблется в пределах от -1 до +1. Положительное значение r означает прямую связь между признаками, а отрицательное – обратную.

Оценка тесноты связи между признаками проводится по данным таблицы 8.3.

Качественная оценка связи между признаками

Сила связи	Значение r при наличии
	прямой связи	обратной связи
Слабая	0,1-0,3	(-0,1)-(-0,3)
Средняя	0,3-0,7	(-0,3)-(-0,7)
Тесная	0,7-0,99	(-0,7)-(-0,99)

Проверка надежности (существенности) связи в корреляционно-регрессионном анализе осуществляют при помощи тех же самых критериев и процедур, что и в аналитической группировке.

Фактическое значение F-критерия определяют по формуле:

Степени свободы k1 и k2 зависят от числа параметров уравнения регрессии (m) и количества единиц исследуемой совокупности (n) и рассчитываются по формулам:

Надежность связи между признаками, т.е. надежность коэффициента детерминации R 2 проверяют при помощи таблицы по F-критерию для 5%-ного уровня значимости (см. табл. 7.10).

Для установления достоверности рассчитанного линейного коэффициента корреляции используют критерий Стьюдента, рассчитываемый по формуле

где μ_r – средняя ошибка коэффициента корреляции, рассчитываемая по формуле:

При достаточно большом числе наблюдений (n > 50) коэффициент корреляции можно считать достоверным, если он превышает свою ошибку в 3 и больше раз, а если он меньше 3, то связь между исследуемыми признаками у и х не доказана.

Пример расчета индекса корреляции (теоретического корреляционного отношения), коэффициента детерминации, линейного коэффициента корреляции и критериев Фишера и Стьюдента

По данным таблицы 8.2 необходимо оценить силу и направление связи между стоимостью основных производственных фондов предприятий и выпуском продукции, а также проверить надежность рассчитанного коэффициента детерминации и достоверность линейного коэффициента корреляции.

Для расчета индекса корреляции, используемого для оценки тесноты связи между результативным (выпуском продукции) и факторным (стоимостью ОПФ) признаками рассчитаем ряд вспомогательных показателей.

По формуле 8.9 по данным таблицы 7.15 факторная дисперсия равна: 1,238.

Общую дисперсию исчислим по данным таблицы 8.2, используя способ разности (формула 5.12): = 1,696 – 1,238 = 0,458.

Таким образом, по формулам 8.7 и 8.8 индекс корреляции равен: R = 0,854, что свидетельствует о тесной связи между выпуском продукции и стоимостью основных производственных фондов предприятий (см. табл. 5.10).

По формуле 8.12 коэффициент детерминации равен: 0,730. Это говорит о том, что в обследуемой совокупности предприятий 73,0% вариации выпуска продукции объясняется разным уровнем их оснащенности основными производственными фондами, т.е. вариация выпуска продукции на 73,0% обусловлена вариацией стоимости основных производственных фондов.

Для расчета линейного коэффициента корреляции, позволяющего оценить не только силу, но и направление связи между исследуемыми признаками, найдем ряд промежуточных показателей.

Преобразовав формулу 5.12 и используя данные таблицы 8.2, получим среднее квадратическое отклонение факторного признака: 2,638и среднее квадратическое отклонение результативного признака 1,302.

Таким образом, по формуле 8.13 (8.14) и данным таблицы 8.2 линейный коэффициент корреляции равен: 0,854, что подтверждает наличие тесной (сильной) прямой связи между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции предприятий. Абсолютная величина линейного коэффициента корреляции практически совпадает с индексом корреляции (отклонение составляет 0,01).

Для оценки надежности связи между выпуском продукции и стоимостью основных производственных фондов предприятий найдем фактическое значение F-критерия.

Так как линейное уравнение имеет только два параметра, то по формуле 8.16 степень свободы k1 = 2 – 1 = 1, а потому, что обследованием было охвачено 10 предприятий по формуле 8.17 степень свободы k2 = 10 – 2 = 8.

По формуле 8.15 фактическое значение F-критерия равно: 19,68.

По данным таблицы 7.10 с вероятностью 0,95 критическое значение Fт = 5,32, что значительно меньше полученного фактического значения F-критерия. Это подтверждает надежность корреляционной связи между исследуемыми признаками.

Для установления достоверности рассчитанного линейного коэффициента корреляции найдем значение критерия Стьюдента. Для этого по формуле 8.19 исчислим среднюю ошибку коэффициента корреляции: 0,092.

По формуле 8.18 критерий Стьюдента равен: 9,27. Так как 9,27 > 3, то это дает основание считать, что рассчитанный линейный коэффициент корреляции достаточно точно характеризует тесноту связи между исследуемыми признаками.

Множественная регрессия

На практике на результативный признак, как правило, влияет не один, а несколько факторов.

Между факторами существуют сложные взаимосвязи, поэтому их влияние на результативный признак комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ позволяет оценить степень влияния на исследуемый результативный показатель каждого из введенных в модель факторов при фиксированных на среднем уровне других факторах. При этом важным условием является отсутствие функциональной связи между факторами.

Математически задача корреляционно-регрессионного анализа сводится к поиску аналитического выражения, которое как можно лучше отражало бы связь факторных признаков с результативным признаком, т.е. к нахождению функции: y _x = f(x₁,x₂,x₃. x_n).

Множественная регрессия – это уравнение статистической связи результативного признака (зависимой переменной) с несколькими факторами (независимыми переменными).

Наиболее сложной проблемой является выбор формы связи, выражающейся аналитическим уравнением, на основе которого по существующим факторам определяются значения результативного признака – функции. Эта функция должна лучше других отражать реально существующие связи между исследуемым показателем и факторами. Эмпирическое обоснование типа функции при помощи графического анализа связей для многофакторных моделей практически непригодно.

Форму связи можно определить путем перебора функций разных типов, но это связано с большим количеством лишних расчетов. Принимая во внимание, что любую функцию нескольких переменных можно путем логарифмирования или замены переменных привести к линейному виду, уравнение множественной регрессии можно выразить в линейной форме:

Параметры уравнения находят методом наименьших квадратов.

Так, для расчета параметров уравнения линейной двухфакторной регрессии, представленного формулой:

где y _x – расчетные значения результативного признака-функции;
х₁ и х₂ – факторные признаки;
а₀, а₁ и а₂ — параметры уравнения, методом наименьших квадратов необходимо решить систему нормальных уравнений:

Каждый коэффициент уравнения (а₁, а₂, …, а_n) показывает степень влияния соответствующего фактора на результативный показатель при фиксированном положении остальных факторов, т.е., как изменится результативный показатель при изменении отдельного факторного показателя на единицу. Свободный член уравнения множественной регрессии экономического содержания не имеет.

Если, подставляя в уравнение регрессии значения х₁ и х₂, получаем соответствующие значения переменной средней, достаточно близко воссоздающие значения фактических уровней результативного признака, то выбор формы математического выражения корреляционной связи между тремя исследуемыми факторами сделан правильно.

Однако на основе коэффициентов регрессии нельзя судить, какой из факторных признаков больше влияет на результативный признак, поскольку коэффициенты регрессии между собой не сравнимы, ибо не сопоставимы по сути отражаемые ими явления, и они выражены разными единицами измерения.

С целью выявления сравнимой силы влияния отдельных факторов и резервов, заложенных в них, статистика рассчитывает частные коэффициенты эластичности, а также бета-коэффициенты.

Частные коэффициенты эластичности (ε_i) рассчитываются по формуле:

где а_i – коэффициент регрессии при i-ом факторе;

x _i – среднее значение i-го фактора;

y – среднее значение результативного фактора.

Бета-коэффициенты (β_i) рассчитываются по формуле:

где σ_xi – среднее квадратическое отклонение i-го фактора;
σ_y – среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак при изменении на 1% каждого фактора и при фиксированном положении других факторов.

Для определения факторов, имеющих наибольшие резервы улучшения исследуемого признака, с учетом степени вариации факторов, положенных в уравнение множественной регрессии, рассчитывают частные β-коэффициенты, показывающие на какую часть среднего квадратического отклонения изменяется результативный признак при изменении соответствующего факторного признака на величину его среднего квадратического отклонения.

Для характеристики тесноты связи при множественной линейной корреляции используют множественный коэффициент корреляции (R), рассчитываемый по формуле:

где r_yx1, r_yx2, r_x1x2 – парные коэффициенты линейной корреляции, позволяющие оценить влияние каждого фактора отдельно на результативный показатель, и определяемые по формулам:

Множественный коэффициент корреляции колеблется в пределах от 0 до + 1 и интерпретируется так же, как и теоретическое корреляционное отношение.

Совокупный коэффициент множественной детерминации показывает, какую часть общей корреляции составляют колебания под влиянием факторов х1, х2, …, хn, положенных в многофакторную модель для исследования.

На основе парных коэффициентов корреляции находятся частные коэффициенты корреляции первого порядка, показывающие связь каждого фактора с исследуемым показателем в условиях комплексного взаимодействия факторов, рассчитываемые по формулам

С целью более глубокого анализа взаимосвязи общественных явлений и их признаков увеличивают количество существенных факторов, включаемых в модель исследуемого показателя, и строят многофакторные уравнения регрессии. Их рассчитывают при помощи персональных компьютеров. Современнон программное обеспечение позволяет за относительно короткое время получить достаточно много вариантов уравнений. В ЭВМ вводятся значения зависимой переменной у и матрица независимых переменных х, принимается форма уравнения, например линейная. Ставится задача включить в уравнение k наиболее значимых х. В результате получим уравнение регрессии с k наиболее значимыми факторами. Аналогично можно выбрать наилучшую форму связи. Этот традиционный прием, называемый пошаговой регрессией, позволяет быстро и достаточно точно определиться с уравнением множественной регрессии.

Пример расчета параметров уравнения множественной регрессии, частных коэффициентов эластичности и бета-коэффициентов, множественного коэффициента корреляции и частных коэффициентов корреляции первого порядка

В таблице 8.4 представлены данные о производительности труда (выработке продукции на одного работающего), доле бракованной продукции в общем объеме ее производства и средней себестоимости 1 т продукции по двадцати пяти предприятиям, специализирующимся на выпуске кондитерских изделий (печенья в ассортименте).

Необходимо установить зависимость средней себестоимости 1 т продукции от двух факторов: выработки продукции на одного работающего и доли бракованной продукции в общем объеме ее производства. С целью выявления сравнимой силы влияния этих факторов, а также резервов повышения средней себестоимости 1 т продукции, заложенных в производительности труда и удельном весе брака, нужно рассчитать частные коэффициенты эластичности и бетакоэффициенты. Кроме того, следует оценить силу влияния обозначенных факторов, как по отдельности, так и вместе на заданный результативный признак, определить какую долю вариации средней себестоимости 1 т продукции обусловливают только выработка и только процент брака; охарактеризовать связь каждого фактора с исследуемым показателем в условиях комплексного взаимодействия факторов.

Данные, характеризующие работу предприятий одной отрасли хозяйственной деятельности кондитерских предприятий

№ предприятия	Выработка продукции на одного работающего, т	Удельный вес брака, %	Средняя себестоимость 1 т продукции, руб.
n	х1	х2	у
1	2	3	4
1	14,6	4,2	2398
2	13,5	6,7	2546
3	21,6	5,5	2620
4	17,4	7,7	2514
5	44,8	1,2	1589
6	111,9	2,2	1011
7	20,1	8,4	2598
8	28,1	1,4	1864
9	22,3	4,2	2041
10	25,3	0,9	1986
11	56,0	1,3	1701
12	40,2	1,8	1736
13	40,6	3,3	1974
14	75,8	3,4	1721
15	27,6	1,1	2018
16	88,4	0,1	1300
17	16,6	4,1	2513
18	33,4	2,3	1952
19	17,0	9,3	2820
20	33,1	3,3	1964
21	30,1	3,5	1865
22	65,2	1,0	1752
23	22,6	5,2	2386
24	33,4	2,3	2043
25	19,7	2,7	2050

Для расчета параметров уравнения линейной двухфакторной регрессии и теоретических значений результативного признака (средней себестоимости 1 т продукции) составим вспомогательную таблицу 8.5.

Данные для расчета параметров уравнения линейной двухфакторной регрессии и теоретические значения результативного признака – функции y _x

n	х1	х2	у	у×х1	у×х2	х1 2	х2 2	y 2	х1×х2	y x
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	14,6	4,2	2398	35010,8	10071,6	213,16	17,6	5750404	61,32	2330
2	13,5	6,7	2546	34371,0	17058,2	182,25	44,9	6482116	90,45	2559
3	21,6	5,5	2620	56592,0	14410,0	466,56	30,3	6864400	118,80	2371
4	17,4	7,7	2514	43743,6	19357,8	302,76	59,3	6320196	133,98	2607
5	44,8	1,2	1589	71187,2	1906,8	2007,04	1,4	2524921	53,76	1756
6	111,9	2,2	1011	113130,9	2224,2	12521,61	4,8	1022121	246,18	1152
7	20,1	8,4	2598	52219,8	21823,2	404,01	70,6	6749604	168,84	2640
8	28,1	1,4	1864	52378,4	2609,6	789,61	2,0	3474496	39,34	1946
9	22,3	4,2	2041	45514,3	8572,2	497,29	17,6	4165681	93,66	2250
10	25,3	0,9	1986	50245,8	1787,4	640,09	0,8	3944196	22,77	1931
11	56,0	1,3	1701	95256,0	2211,3	3136,00	1,7	2893401	72,80	1649
12	40,2	1,8	1736	69787,2	3124,8	1616,04	3,2	3013696	72,36	1856
13	40,6	3,3	1974	80144,4	6514,2	1648,36	10,9	3896676	133,98	1983
14	75,8	3,4	1721	130451,8	5851,4	5745,64	11,6	2961841	257,72	1629
15	27,6	1,1	2018	55696,8	2219,8	761,76	1,2	4072324	30,36	1925
16	88,4	0,1	1300	114920,0	130,0	7814,56	0,0	1690000	8,84	1211
17	16,6	4,1	2513	41715,8	10303,3	275,56	16,8	6315169	68,06	2300
18	33,4	2,3	1952	65196,8	4489,6	1115,56	5,3	3810304	76,82	1970
19	17,0	9,3	2820	47940,0	26226,0	289,00	86,5	7952400	158,10	2751
20	33,1	3,3	1964	65008,4	6481,2	1095,61	10,9	3857296	109,23	2060
21	30,1	3,5	1865	56136,5	6527,5	906,01	12,3	3478225	105,35	2109
22	65,2	1,0	1752	114230,4	1752,0	4251,04	1,0	3069504	65,20	1528
23	22,6	5,2	2386	53923,6	12407,2	510,76	27,0	5692996	117,52	2335
24	33,4	2,3	2043	68236,2	4698,9	1115,56	5,3	4173849	76,82	1970
25	19,7	2,7	2050	40385,0	5535,0	388,09	7,3	4202500	53,19	2146
Всего	919,3	87,1	50962	1653422,7	198293,2	48693,93	450,3	108378316	2435,45	50962

В среднем на 1 предприятие х 36,8 3,5 2038 66136,9 7931,7 1947,76 18,01 4335133 97,42 2038

Подставим данные таблицы 8.5 в систему нормальных уравнений 8.22 и получим систему уравнений:

⌈ 50962 = 25 a₀ + 919,3 a₁ + 87,1 a₂ ;
〈 165322,7 = 919.3 a₀ + 48693.93 a₁ + 2435,45 a₂ ;
⌊ 198293,2 = 87,1 a₀ + 2435,45 a₁ + 450,3 a₂ .

Таким образом, уравнение связи, определяющее зависимость средней себестоимости 1 т продукции предприятий (результативного признака) от производительности труда их работников и удельного веса брака (двух факторных признаков), имеет вид (формула 8.21):

Подставляя в полученное уравнение значения х₁ и х₂, получаем соответствующие значения переменной средней (последняя графа таблицы 7.18), которые достаточно близко воссоздают значения фактических уровней себестоимости продукции. Это свидетельствует про правильный выбор формы математического выражения корреляционной связи между тремя исследуемыми факторами.

Значения параметров уравнения линейной двухфакторной регрессии показывают, что с увеличением выработки одного работника на 1 т, средняя себестоимость 1 т продукции снижается на 10,31 руб., а при увеличении процента брака на 1, средняя себестоимость 1 т продукции возрастает на 87,40 руб.

Вместе с тем полученные значения коэффициентов регрессии не позволяют сделать вывод о том, какой из двух факторных признаков оказывает большее влияние на результативный признак, поскольку между собой эти факторные признаки несравнимы.

По формуле 8.23 на основании данных таблицы 8.5 и полученных значений коэффициентов регрессии рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

Анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что в абсолютном выражении наибольшее влияние на среднюю себестоимость 1 т продукции оказывает выработка работников предприятий – фактор х1, с увеличением которой на 1% средняя себестоимость 1 т продукции снижается на 0,19%. При увеличении удельного веса бракованной продукции на 1% средняя себестоимость 1 т продукции повышается на 0,15%.

Для расчета β–коэффициентов необходимо рассчитать соответствующие средние квадратические отклонения.

Преобразовав формулу 5.12 и используя данные таблицы 8.5, получим средние квадратические отклонения факторных признаков, а также среднее квадратическое отклонение результативного признака:

Тогда по формуле 8.24 значения β–коэффициентов равны:

Анализ β-коэффициентов показывает, что на среднюю себестоимость продукции наибольшее влияние (а значит и наибольшие резервы ее снижения) из двух исследуемых факторов с учетом их вариации имеет фактор х1 – выработка работников, ибо ему соответствует большее по модулю значение β-коэффициента.

Для характеристики тесноты связи между себестоимостью 1 т продукции, выработкой работников и удельным весом бракованной продукции используется множественный коэффициент корреляции, для расчета которого предварительно нужно получить парные коэффициенты корреляции.

По формулам 8.26-8.28 на основе данных таблицы 8.5 и значений средних квадратических отклонений факторных и результативного признаков парные коэффициенты корреляции соответственно равны:

Высокие значения парных коэффициентов корреляции свидетельствуют о сильном влиянии (отдельно) выработки работников и уровня брака на среднюю себестоимость 1 т продукции.

Отметим, что отрицательное значение парного коэффициента корреляции между факторными признаками свидетельствует об обратной зависимости между выработкой и количеством бракованной продукции. Тот факт, что парный коэффициент корреляции между выработкой работников и уровнем бракованной продукции равный -0,519, по модулю меньше 0,85 (см. рис. 8.1), говорит о правильном включении этих факторов в одну корреляционную модель.

По формуле 8.25 множественный коэффициент корреляции равен: R_yx1x2 = 0,822. Он показывает, что между двумя факторными и результативным признаками существует тесная связь.

Совокупный коэффициент множественной детерминации (0,676) свидетельствует про то, что вариация средней себестоимости 1 т продукции на 67,6% обусловлена двумя факторами, введенными в корреляционную модель: изменением выработки работников и уровня брака. Это означает, что выбранные факторы существенно влияют на исследуемый показатель.

На основе парных коэффициентов корреляции по формулам 8.29 и 8.30 рассчитаем частные коэффициенты корреляции первого порядка, отражающие связь каждого фактора с исследуемым показателем (средней себестоимостью 1 т продукции) в условиях комплексного взаимодействия факторов:

Множественный корреляционнорегрессионный анализ в Excel

В экономических исследованиях результативный признак Y формируется,как правило, под влиянием нескольких факторных признаков

Уравнение множественной регрессии имеет вид у = f(x_x, х₂. х_р).

При построении уравнения множественной регрессии обычно используют следующие функции:

— линейная —

— степенная —

— экспонента —

Часто применяются и другие виды функций, например

Если уравнение нелинейное, то оно вначале приводится к линейному. Параметры линейного уравнения множественной регрессии находятся методом наименьших квадратов, для чего строится и решается следующая система нормальных уравнений:

Множественный коэффициент регрессии 6, показывает, на сколько единиц изменяется в среднем результативный признак У, если /-й признак X увеличить на единицу, при условии, что все другие факторы в линейной модели закреплены на постоянном, обычно среднем, уровне. Уравнение множественной регрессии может быть построено в стандартизованном масштабе, когда единицей измерения признаков принимается их среднее квадратическое отклонение:

где

(3,- — стандартизованные коэффициенты регрессии; а — среднее квадратическое отклонение.

Для оценки тесноты связи между признаками применяются парные, частные и множественные коэффициенты (индексы) корреляции и детерминации. Если изучение зависимости проводится по выборочным данным, то оценивается значимость коэффициентов регрессии, корреляции и всего уравнения множественной регрессии в целом.

Пример 2. Исследовать влияние фондовооруженности и энергообеспеченности на стоимость валовой продукции.

Результативным признаком (Y) является стоимость валовой продукции на 100 г. сельхозугодий (тыс. руб.), которая характеризует уровень использования земли.

х_х — фондовооруженность, характеризующая стоимость основных фондов, в расчете на одного работника, тыс. руб.;

х₂ — энергообеспеченность, выражающая мощность энергетических ресурсов на 100 га сельхозугодий, л.с.

• 1) параметры множественного уравнения регрессии в натуральной и стандартизованной форме;
• 2) средние коэффициенты эластичности для каждого фактора;
• 3) коэффициенты частной и множественной корреляции;
• 4) общий и частные критерии Фишера.

Рассмотрим применение пакета анализа в Excel MS Office 2007 (2010) для решения данной задачи. Исходные данные для анализа введем на листе MS Excel в виде, представленном на рис. 10.9.

Рис. 10.9. Вид исходных данных в MS Excel

Для проведения анализа предварительно установим пакет анализа, выполнив последовательно действия: кнопка Office (в MS Office 2010 — файл) — Параметры Excel — Надстройки — Пакет анализа — Перейти (выделим в окне доступных надстроек Пакет анализа), после этого во вкладке Данные ленты появится инструмент Пакет анализа (рис. 10.10, 10.11).

Рис. 10.10. Надстройка «Пакет анализа» (Анализ данных)

Рис. 10.11. Диалоговое окно инструмента «Описательная статистика»

Для нахождения парных коэффициентов корреляции применим инструмент пакета анализа Корреляция, для этого заполним параметры диалогового окна как на рис. 10.12.

Рис. 10.12. Диалоговое окно инструмента «Корреляция)

Результаты применения инструмента «Описательная статистика»

Уровень надежности (95,0%)

Парные коэффициенты корреляции между признаками

т.е.

Парные коэффициенты корреляции свидетельствуют о тесной связи между факторными и результативным признаками, что дает основание включить данные факторы в уравнение регрессии.

Линейное уравнение множественной регрессии в натуральной форме имеет виду = b₀ + bpc _<+ bpc₂ + ? — Найдем параметры этого уравнения, используя инструмент Пакет анализа — Регрессия. Заполним параметры диалогового окна (рис. 10.13).

Рис. 10.13. Диалоговое окно инструмента Регрессия

Рис. 10.14. Вывод итогов регрессионного анализа

Получим линейное уравнение множественной регрессии

Коэффициенты множественной регрессии показывают, что при увеличении фондовооруженности на 1 тыс. руб. стоимость валовой продукции на 100 га в среднем повысится на 5,406 тыс. руб., а при увеличении энергообеспеченности на 1 л.с. в расчете на 100 га сельскохозяйственных угодий стоимость валовой продукции увеличится на 5,342 тыс. руб.

В стандартизованной форме уравнение регрессии имеет вид: где

1. Найдем p-коэффициенты, используя их связь с коэффициентами Ь, уравнения регрессии в нормальной форме:

P-коэффициенты можно также найти с помощью парных коэффициентов корреляции по формулам:

Линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

По абсолютной величине p-коэффициентов можно сделать вывод об относительной силе влияния факторов на изменение результативного признака. На стоимость валовой продукции более сильное влияние оказывает фондовооруженность одного работника, а влияние энергообеспеченности на результаты производства несколько ниже.

2. Средние коэффициенты эластичности находятся по формуле

Значит, при увеличении фондовооруженности одного работника на 1 % выход валовой продукции на 100 га сельхозугодий увеличивается в среднем на 0, 619% при неизменности влияния второго фактора. Изменение энергообеспеченности предприятия на 1% приводит к росту стоимости валовой продукции на 0,355% при исключении влияния первого фактора.

3. Коэффициенты частной корреляции определяются через парные коэффициенты корреляции по формулам:

Коэффициенты частной корреляции характеризуют тесноту связи между двумя переменными, исключив влияние третьей переменной. Значит, связь между стоимостью валовой продукции и фондовооруженностью прямая и достаточно тесная, между стоимостью валовой продукции и энергообеспеченностью при исключении влияния фондовооруженности средняя. Связь между собой факторных признаков очень слабая.

Коэффициент множественной корреляции находится по формуле

Более точный результат (без округлений) можно получить по следующей формуле:

Величина коэффициента показывает, что связь между Y, Х_х и Х₂ довольно тесная, причем 69,3% вариации стоимости валовой продукции объясняется вариацией фондовооруженности и энергообеспечености.

4. Оценим значимость уравнения регрессии и коэффициента R 2 с помощью критерия Фишера. Фактически рассматривается нулевая гипотеза Я₀: R 2 = О (Ь_х = Ь₂ = 0) и альтернативная гипотеза Н_х: R 2 ф 0 ( Ь ф 0, Ь₂ ф 0).

Наблюдаемое или фактическое значение критерия находится по формуле

где т — число факторов в линейном уравнении регрессии;

п — число единиц наблюдения;

При уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы к=т = — 2, к₂ — п — т — 1 = 15 — 2— 1 = 12 по таблице значений критерия Фишера критическое значение составляет 3,88, т.е. F_Kp = 3,88. Сравниваем F_H с F_Kр. Так как F_H > F_Kр, то нулевую гипотезу о незначимости величины R 2 отклоним, т.е. уравнение множественной регрессии и R 2 статистически значимы.

В уравнении множественной регрессии не все факторы могут оказывать статистически существенное влияние на изменение результативного признака. Оценка значимости факторов в уравнении регрессии может быть дана с помощью частного /’-критерия или г-критерия

При

Так как F_mi > F_Kp, то в уравнение регрессии целесообразно включение факторах!, который оказывает статистически значимое влияние на Y.

— это свидетельствует о статистической незначимости влияния фактора Xi и нецелесообразности включения его в уравнение множественной регрессии. В данной задаче на стоимость валовой продукции статистически значимое влияние оказывает фондовооруженность одного работника.

Уравнение парной регрессии между Х_х и У (рис. 10.15):

Значит, при увеличении фондовооруженности одного работника на 1 тыс. руб. производство валовой продукции увеличивается на 7,29 тыс. руб.

Полученное уравнение объясняет 59,77% различий в стоимости валовой продукции (что на 9,54% меньше, чем уравнение с двумя факторами).

💥 Видео