В линейном уравнении множественной регрессии y a b1x1 b2x2 величина у является

Уравнение множественной регрессии

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:

• уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
• множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;

Кроме этого проводится проверка на автокорреляцию остатков и гетероскедастичность.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

1. теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
2. количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа — однофакторного, если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
3. Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность — тесная линейная связь между факторами.

Пример . Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение.
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X

1	5	14.5
1	12	18
1	6	12
1	7	13
1	8	14

Матрица Y

9

13

16

14

21

Транспонируем матрицу X, получаем X T :

1	1	1	1	1
5	12	6	7	8
14.5	18	12	13	14

Умножаем матрицы, X T X =

5 38 71,5 38 318 563,5 71,5 563,5 1043,25

В матрице, (X T X) число 5, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, X T Y =

73 563 1032,5

Находим обратную матрицу (X T X) -1

13.99	0.64	-1.3
0.64	0.1	-0.0988
-1.3	-0.0988	0.14

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

(X T X) -1 X T Y = y(x) =

13,99 0,64 -1,3 0,64 0,1 -0,0988 -1,3 -0,0988 0,14

*

73 563 1032,5

=

34,66 1,97 -2,45

Получили оценку уравнения регрессии: Y = 34.66 + 1.97X₁-2.45X₂
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности. Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
R 2 = 1 — s 2 _e/∑(y_i — y_ср) 2 = 1 — 33.18/77.2 = 0.57
F = R 2 /(1 — R 2 )*(n — m -1)/m = 0.57/(1 — 0.57)*(5-2-1)/2 = 1.33
Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 5 — 2 -1 = 2, Fkp(2;2) = 19
Поскольку фактическое значение F = 1.33 Пример №2 . Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы Y (%), производительности труда X₁ (%), а также по уровню инфляции X₂ (%).

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X1	3,5	2,8	6,3	4,5	3,1	1,5	7,6	6,7	4,2	2,7	4,5	3,5	5,0	2,3	2,8
X2	4,5	3,0	3,1	3,8	3,8	1,1	2,3	3,6	7,5	8,0	3,9	4,7	6,1	6,9	3,5
Y	9,0	6,0	8,9	9,0	7,1	3,2	6,5	9,1	14,6	11,9	9,2	8,8	12,0	12,5	5,7

Решение. Подготовим данные для вставки из MS Excel (как транспонировать таблицу для сервиса см. Задание №2) .

Включаем в отчет: Проверка общего качества уравнения множественной регрессии (F-статистика. Критерий Фишера, Проверка на наличие автокорреляции),

После нажатия на кнопку Дале получаем готовое решение.
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии):
Y = 0.2706 + 0.5257X₁ + 1.4798X₂
Скачать.

Качество построенного уравнения регрессии проверяется с помощью критерия Фишера (п. 6 отчета).

Пример №3 .
В таблице представлены данные о ВВП, объемах потребления и инвестициях некоторых стран.

ВВП	16331,97	16763,35	17492,22	18473,83	19187,64	20066,25	21281,78	22326,86	23125,90
Потребление в текущих ценах	771,92	814,28	735,60	788,54	853,62	900,39	999,55	1076,37	1117,51
Инвестиции в текущих ценах	176,64	173,15	151,96	171,62	192,26	198,71	227,17	259,07	259,85

Решение:
Для проверки полученных расчетов используем инструменты Microsoft Excel «Анализ данных» (см. пример).

Пример №4 . На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (b-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Решение. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X

1	3.9	10
1	3.9	14
1	3.7	15
1	4	16
1	3.8	17
1	4.8	19
1	5.4	19
1	4.4	20
1	5.3	20
1	6.8	20
1	6	21
1	6.4	22
1	6.8	22
1	7.2	25
1	8	28
1	8.2	29
1	8.1	30
1	8.5	31
1	9.6	32
1	9	36

Матрица Y

7
7
7
7
7
7
8
8
8
10
9
11
9
11
12
12
12
12
14
14

Матрица X T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3.9	3.9	3.7	4	3.8	4.8	5.4	4.4	5.3	6.8	6	6.4	6.8	7.2	8	8.2	8.1	8.5	9.6	9
10	14	15	16	17	19	19	20	20	20	21	22	22	25	28	29	30	31	32	36

Умножаем матрицы, (X T X)

Умножаем матрицы, (X T Y)

Находим определитель det(X T X) T = 139940.08
Находим обратную матрицу (X T X) -1

Уравнение регрессии
Y = 1.8353 + 0.9459X ₁ + 0.0856X ₂
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y — X*s

0.62
0.28
0.38
0.01
0.11
-1
-0.57
0.29
-0.56
0.02
-0.31
1.23
-1.15
0.21
0.2
-0.07
-0.07
-0.53
0.34
0.57

se 2 = (Y — X*s) T (Y — X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = σ*(X T X) -1

k(x) = 0.36

0,619 -0,0262 -0,0183 -0,0262 0,126 -0,0338 -0,0183 -0,0338 0,0102

=

0,222 -0,00939 -0,00654 -0,00939 0,0452 -0,0121 -0,00654 -0,0121 0,00366

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2 _i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X сильная
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х_i при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции — последовательно берутся пары yx1,yx2. , x1x2, x1x3.. и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.97 2 = 0.95, т.е. в 95% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая

Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл: T_табл (n-m-1;a) = (17;0.05) = 1.74
Поскольку Tнабл Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Построение парной регрессионной модели

Рекомендации к решению контрольной работы.

Статистические данные по экономике можно получить на странице Россия в цифрах.
После определения зависимой и объясняющих переменных можно воспользоваться сервисом Множественная регрессия. Регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными можно построить используя матричный метод нахождения параметров уравнения регрессии или метод Крамера для нахождения параметров уравнения регрессии.

Пример №3 . Исследуется зависимость размера дивидендов y акций группы компаний от доходности акций x₁, дохода компании x₂ и объема инвестиций в расширение и модернизацию производства x₃. Исходные данные представлены выборкой объема n=50.

Тема I. Парная линейная регрессия
Постройте парные линейные регрессии — зависимости признака y от факторов x₁, x₂, x₃ взятых по отдельности. Для каждой объясняющей переменной:

1. Постройте диаграмму рассеяния (поле корреляции). При построении выберите тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).
2. Вычислите коэффициенты уравнения выборочной парной линейной регрессии (для вычисления коэффициентов регрессии воспользуйтесь встроенной функцией ЛИНЕЙН (функция находится в категории «Статистические») или надстройкой Пакет Анализа), коэффициент детерминации, коэффициент корреляции (функция КОРЕЛЛ), среднюю ошибку аппроксимации.
3. Запишите полученное уравнение выборочной регрессии. Дайте интерпретацию найденным в предыдущем пункте значениям.
4. Постройте на поле корреляции прямую линию выборочной регрессии по точкам .
5. Постройте диаграмму остатков.
6. Проверьте статистическую значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента (табличное значение определите с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР) и всего уравнения в целом по критерию Фишера (табличное значение F_табл определите с помощью функции FРАСПОБР).
7. Постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Дайте им интерпретацию.
8. Постройте прогноз для значения фактора, на 50% превышающего его среднее значение.
9. Постройте доверительный интервал прогноза. Дайте ему экономическую интерпретацию.
10. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемого фактора на показатель.

Тема II. Множественная линейная регрессия
1. Постройте выборочную множественную линейную регрессию показателя на все указанные факторы. Запишите полученное уравнение, дайте ему экономическую интерпретацию.
2. Определите коэффициент детерминации, дайте ему интерпретацию. Вычислите среднюю абсолютную ошибку аппроксимации и дайте ей интерпретацию.
3. Проверьте статистическую значимость каждого из коэффициентов и всего уравнения в целом.
4. Постройте диаграмму остатков.
5. Постройте доверительные интервалы коэффициентов. Для статистически значимых коэффициентов дайте интерпретации доверительных интервалов.
6. Постройте точечный прогноз значения показателя y при значениях факторов, на 50% превышающих их средние значения.
7. Постройте доверительный интервал прогноза, дайте ему экономическую интерпретацию.
8. Постройте матрицу коэффициентов выборочной корреляции между показателем и факторами. Сделайте вывод о наличии проблемы мультиколлинеарности.
9. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемых факторов на показатель.

Линейная множественная регрессия

Тесты по эконометрике

Введение

1. Эконометрическая модель имеет вид

2. Установите соответствие

а) регрессионная модель	1) x-1=0, x=0x-1, x>0
b) система одновременных уравнений	2) R=a1+b11M+b12Y+ε1,Y=a2+b21R+ε2,
c) модель временного ряда	1. 3) y=a+b1x1+b2x2+ε
4) yt=Tt+St+Et

3. Регрессия – это

a. зависимость значений результативной переменной от значений объясняющих переменных (факторов)

b. правило, согласно которому каждому значению одной переменной ставится в соответствие единственное значение другой переменной

c. правило, согласно которому каждому значению независимой переменной ставится в соответствие значение зависимой переменной

d. зависимость среднего значения результативной переменной от значений объясняющих переменных (факторов)

4. Метод наименьших квадратов …

a. Позволяет получить оценки параметров линейной регрессии, исходя из условия i=1nyi-yi2→min

b. Позволяет получить оценки параметров регрессии, исходя из условия ln⁡(i=1nf(yi,)→max

c. Позволяет проверить статистическую значимость параметров регрессии

d. Позволяет получить оценки параметров нелинейной регрессии, исходя из условия i=1ny-yi2→min

Линейная множественная регрессия

5. Уравнение линейной множественной регрессии

6. Для линейного уравнения множественной регрессии установите соответствие

5. а) Факторные переменные	6. 1) y
7. b) Результативная переменная	8. 2) a
9. c) Параметры	10. 3) a, ε
11. d) Случайная компонента	12. 4) x1, x2
13.	14. 5) ε
15.	16. 6) a, b1, b2

17. Ответ: a-4, b-1, c-6, d-5

7. Проблема спецификации регрессионной модели включает в себя

a. Отбор факторов, включаемых в уравнение регрессии

b. Оценка параметров уравнения регрессии

c. Оценка надежности результатов регрессионного анализа

d. Выбор вида уравнения регрессии

19. Требования к факторам, включаемым в модель линейной множественной регрессии…

a. Число факторов должно быть в 6 раз меньше объема совокупности

b. Факторы должны представлять временные ряды

c. Факторы должны иметь одинаковую размерность

d. Между факторами не должно быть высокой корреляции

21. Верные утверждения относительно мультиколлинеарности факторов

e. В модель линейной множественной регрессии рекомендуется включать мультиколлинеарные факторы

f. Мультиколлинеарность факторов приводит к снижению надежности оценок параметров уравнения регрессии

g. Мультиколинеарность факторов проявляется в наличии парных коэффициентов межфакторной корреляции со значениями, большими 0,7

h. Мультиколинеарность факторов проявляется в наличии парных коэффициентов межфакторной корреляции со значениями, меньшими 0,3

23. Верные утверждения о включении в уравнение линейной множественной регрессии факторов

i. Включение фактора в модель приводит к заметному возрастанию коэффициента множественной детерминации

j. Коэффициент парной корреляции для фактора и результативной переменной меньше 0,3

k. Значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии при факторе меньше табличного значения

l. Фактор должен объяснять поведение изучаемого показателя согласно принятым положениям экономической теории

25. При построении модели множественной регрессии методом пошагового включения переменных на первом этапе рассматривается модель с …

m. Одной объясняющей переменной, которая имеет с зависимой переменной наименьший коэффициент корреляции

n. Одной объясняющей переменной, которая имеет с зависимой переменной наибольший коэффициент корреляции

o. Несколькими объясняющими переменными, которые имеют с зависимой переменной коэффициенты корреляции по модулю больше 0,5

p. Полным перечнем объясняющих переменных

8. Параметры при факторах в линейной множественной регрессии
y=a+b1x1+b2x2+…+bpxp характеризуют

a. Долю дисперсии результативной переменной, объясненную регрессией в его общей дисперсии

b. Тесноту связи между результативной переменной и соответствующим фактором, при устранении влияния других факторов, включенных в модель

c. Среднее изменение результативной переменной с изменением соответствующего фактора на единицу, при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне

d. На сколько процентов в среднем изменяется результативная переменная с изменением соответствующего фактора на 1%

28. Стандартизация переменных проводится по формуле

9. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид ty=20+0,9tx1+0,5tx2+ε. На результативный признак оказывает большое влияние:

x. нельзя сделать вывод

10. Уравнение множественной регрессии в естественной форме имеет вид
y=20+0,7×1+0,5×2+ε. На результативный признак оказывает большое влияние:

bb. нельзя сделать вывод

30. К свойствам уравнения регрессии в стандартизированном виде относятся …

cc. Коэффициенты регрессии при объясняющих переменных равны между собой

dd. Постоянный параметр (свободный член уравнения) регрессии отсутствует

ee. Стандартизированные коэффициенты регрессии несравнимы между собой

ff. Входящие в состав уравнения переменные являются безразмерными

32. Тесноту совместного влияния факторов на результат в уравнении линейной множественной регрессии оценивает

gg. Коэффициент парной корреляции

hh. Коэффициент частной корреляции

ii. Коэффициент множественной корреляции

jj. Коэффициент множественной детерминации

34. Установите соответствие

35. а) общая сумма квадратов отклонений TSS	36. 1) y-y2
37. b) регрессионная сумма квадратов отклонений RSS	38. 2) y-x2
39. c) остаточная сумма квадратов отклонений ЕSS	40. 3) y-y2
41.	42. 4) y-y2

43. Коэффициент множественной корреляции для линейной зависимости можно рассчитать по формуле

mm.

45. Верные утверждения относительно коэффициента множественной корреляции

oo. Чем ближе значение к единице Ryx1…xp, тем теснее связь результативного признака со всеми факторами

pp. Чем ближе значение к нулю Ryx1…xp, тем теснее связь результативного признака со всеми факторами

qq. Ryx1…xp принимает значения из промежутка [0, 1]

rr. Ryx1…xp принимает значения из промежутка [– 1, 1]

47. Коэффициент множественной детерминации характеризует

ss. Тесноту совместного влияния факторов на результат в уравнении линейной множественной регрессии

tt. Тесноту связи между результатом и соответствующим фактором, при устранении влияния других факторов, включенных в модель

uu. Долю дисперсии результативного признака, объясненную регрессией в его общей дисперсии

vv. Среднее изменение результативной переменной с изменением соответствующего фактора на единицу, при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне

49. Для общей (TSS), регрессионной (RSS) и остаточной (ESS) суммы квадратов отклонений и коэффициента детерминации R2 выполняется равенство …

51. Отношение остаточной дисперсии к общей дисперсии равно 0,05. Это означает …

bbb. Коэффициент детерминации R2=0,95

ccc. Коэффициент детерминации R2=0,05

ddd. Разность (1-R2)=0,95, где R2 – коэффициент детерминации

eee. Разность (1-R2)=0,05, где R2 – коэффициент детерминации

53. Для устранения систематической ошибки остаточной дисперсии для оценки качества модели линейной множественной регрессии используется

fff. Коэффициент множественной детерминации

ggg. Коэффициент множественной корреляции

hhh. Скорректированный коэффициент множественной детерминации

iii. Скорректированный коэффициент частной корреляции

55. Оценка статистической значимости уравнения линейной множественной регрессии в целом осуществляется с помощью

jjj. Критерия Стьюдента

kkk. Критерия Фишера

lll. Критерия Дарбина-Уотсона

56. Оценка статистической значимости коэффициентов линейной множественной регрессии осуществляется с помощью

nnn. Критерия Стьюдента

ooo. Критерия Фишера

ppp. Критерия Дарбина-Уотсона

qqq. Критерия Фостера-Стюарта

57. Если коэффициент регрессии является существенным, то для него выполняются условия

rrr. Фактическое значение t-критерия Стьюдента меньше критического

sss. Фактическое значение t-критерия Стьюдента больше критического

ttt. Доверительный интервал проходит через ноль

uuu. Стандартная ошибка не превышает половины значения параметра

59. Если уравнение регрессии является существенным, то фактическое значение F-критерия …

vvv. больше критического

www. меньше критического

xxx. близко к единице

yyy. близко к нулю

61. Предпосылками МНК являются…

zzz. Дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений

aaaa. Дисперсия случайных отклонений не постоянна для всех наблюдений

bbbb. Случайные отклонения коррелируют друг с другом

cccc. Случайные отклонения являются независимыми друг от друга

63. Укажите выводы, которые соответствуют графику зависимости остатков

dddd. Нарушена предпосылка МНК о независимости остатков друг от друга

eeee. Имеет место автокорреляция остатков

ffff. Отсутствует закономерность в поведении остатков

gggg. Отсутствует автокорреляция остатков

66. При выполнении предпосылок метода наименьших квадратов (МНК) остатки уравнения регрессии, как правило, характеризуются…

hhhh. Нулевой средней величиной

jjjj. Случайным характером

kkkk. Высокой степенью автокорреляции

68. К методам обнаружения гетероскедастичности остатков относятся

llll. Критерий Дарбина-Уотсона

mmmm. Тест Голдфелда-Квандта

nnnn. Графический анализ остатков

oooo. Метод наименьших квадратов

70. Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …

pppp. Качественные переменные, преобразованные в количественные

qqqq. Переменные, представляющие простейшие функции от уже включенных в модель переменных

rrrr. Дополнительные количественные переменные, улучшающие решение

ssss. Комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели

71. Для отражения влияния качественной сопутствующей переменной, имеющей m состояний, обычно включают в модель … фиктивную переменную

Нелинейная регрессия

72. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам

73. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам

74. Укажите верные утверждения по поводу модели

jjjjj. Относится к типу моделей нелинейных по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам

kkkkk. Относится к типу моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам

lllll. Относится к типу линейных моделей

mmmmm. Нельзя привести к линейному виду

nnnnn. Можно привести к линейному виду

76. Укажите верные утверждения по поводу модели

ooooo. Линеаризуется линейную модель множественной регрессии

ppppp. Линеаризуется линейную модель парной регрессии

qqqqq. Относится к классу нелинейных моделей по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам

rrrrr. Относится к классу линейных моделей

79. Модель y=a∙bx∙ε относится к классу … эконометрических моделей нелинейной регрессии

81. Модель y=a∙xb∙ε относится к классу … эконометрических моделей нелинейной регрессии

83. Модель y=a+bx+cx2+ε относится к классу … эконометрических моделей нелинейной регрессии

85. Было замечено, что при увеличении количества вносимых удобрений урожайность также возрастает, однако, по достижении определенного значения фактора моделируемый показатель начинает убывать. Для исследования данной зависимости можно использовать спецификацию уравнения регрессии…

87. Для получения оценок параметров степенной регрессионной модели y=a∙xb …

iiiiii. Метод наименьших квадратов неприменим

jjjjjj. Требуется подобрать соответствующую подстановку

kkkkkk. Необходимо выполнить логарифмическое преобразование

llllll. Необходимо выполнить тригонометрическое преобразование

89. С помощью метода наименьших квадратов нельзя оценить значения параметров уравнения регрессии …

Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + ε в матричной форме

Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
Найти оценки параметров а, b1, b2, б².
Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
Построить корреляционную матрицу и оценить статистическую зависимость между переменными.

По данным, полученным от фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объёма выпуска продукции растениеводства Y (млн руб.) от двух факторов: численности работников Х1 (чел.) и количества осадков в период вегетации Х2 (мм).

№ п/п Y Х1 Х2
1 0.9 54 5
2 1.3 62 7
3 2.4 80 13
4 2.6 83 11
5 3.2 98 18

Тогда .
Рассчитаем
11111546280839857131118∙15451627180131831119818=537754377296534421544421688
11111546280839857131118∙0,91,32,42,63,2=10,4850,6131.
Матрицу определим по формуле , где – определитель матрицы ; – матрица, присоединенная к матрице
Получим
A-1=26,2174-0,63222,0047-0,63220,0160-0,05352,0047-0,05350,1879.
Теперь умножим эту матрицу на вектор
10,4850,6131
Получим B=26,2174-0,63222,0047-0,63220,0160-0,05352,0047-0,05350,1879∙10,4850,6131=-2,47590,0668-0,0444.
e=e1e2e3e4e5=-0,0084-0,05390,11050,0213-0,0696
2.Найдем оценки параметров а, b1, b2, б².
Исходя из матрицы В=-2,47590,0668-0,0444 значения параметров а=-2,4759,
b1=0,0668; b2=-0,0444.
Уравнение множественной регрессии имеет вид:
.

3.Найдем коэффициент детерминации и оценим уравнение регрессивной связи.

Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу.
№ х12
х2 2
у2
1 0.9 54 5 0.9084 1.3924 1.373 0.000 2916 25 0.81
2 1.3 62 7 1.3539 0.6084 0.527 0.003 3844 49 1.69
3 2.4 80 13 2.2895 0.1024 0.044 0.012 6400 169 5.76
4 2.6 83 11 2.5787 0.2704 0.249 0.000 6889 121 6.76
5 3.2 98 18 3.2696 1.2544 1.415 0.005 9604 324 10.24
SYMBOL 83f “symbol” * MERGEFORMAT 10.4 377 54 10.4 3.628 3.608 0.020 29653 688 25.26
Ср.знач. 2.08 75.4 10.8 5930.6 137.6 5.052

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной на 99,4% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных , .
Рассчитаем скорректированный коэффициент детерминации:

Оба коэффициента детерминации свидетельствуют о сильной связи между факторными переменными и результативным показателем.
Проверим статистическую значимость на основе критерия Фишера по формуле:

Фактическое значение критерия F меньше табличного , определенного на уровне значимости при и степенях свободы, т.е. уравнение регрессии статистически незначимо, следовательно, исследуемая зависимая переменная Y плохо описывается включенными в регрессионную модель переменными.
4.Построим корреляционную матрицу и оценим статистическую зависимость между переменными.

Рассчитаем стандартизированные коэффициенты регрессии , коэффициенты эластичности , и -коэффициенты.
Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле

;.
Это означает, что увеличение переменной на 1% (от своего среднего значения) приводит в среднем к росту величины на 2,422%, увеличение переменной на 1% (от своего среднего значения) приводит в среднем к уменьшению величины на 0,230%.
Стандартизированный коэффициент регрессии рассчитывается по формуле
,
где

,.
Стандартизированный коэффициент регрессии показывает, на сколько величин изменится в среднем зависимая переменная при увеличении только j-ой объясняющей переменной на .
Таким образом, увеличение только на одно увеличивает в среднем зависимую величину Y на 1,228; увеличение только на одно уменьшает в среднем зависимую величину Y на 0,239.
Рассчитаем -коэффициенты:
,
где – коэффициент парной корреляции.
Найдем матрицу коэффициентов парной корреляции.

это означает, что на 123,0% приращение величины Y можно объяснить влиянием изменения фактора ,
это означает, что на 23,0% приращение величины Y можно объяснить влиянием изменения фактора .

user969511 5.0

Два высших образования (менеджмент в информационных технологиях, автоматизация технологических процессов).+аспирант философского факультета и лингвистики. Стаж: больше 5 лет работы над рефератами,докладами,решениями тех,лингв и эконом задач

📹 Видео