В каком классе проходят уравнения с двумя неизвестными
Обновлено
Поделиться
Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
воспитание познавательного интереса к учебному предмету
формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания 5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет. Методом подбора можно найти решение 3) Составим уравнение: Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174 Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить. Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них. I. Метод рассмотрения остатков от деления. Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1. Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2. Ответ: где m Z. Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители. Пример: Решить уравнения в целых числах. Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4. y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4. y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4. y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4. Следовательно, y = 4n, тогда 4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n Ответ: , где n Z. II. Неопределенные уравнения 2-ой степени Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка. И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Пример: Решить уравнение в целых числах. 13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1) Рассмотрим эти случаи а) => б) => в) => г) =>
4) Домашнее задание. Примеры. Решить уравнение в целых числах: а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит 2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0 б) в) Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах? Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете? Упражнения для тренировки. 1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z 2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5 3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет 4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) 5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1) Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”. Как решать систему уравнений О чем эта статья: 8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно. Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство. Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7. Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой. Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям. Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа. Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство. Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия. Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0: Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0. Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0. Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂). Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов. Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так: Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия. Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия. Можно записать систему иначе: Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂. Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂. Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y: Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы. Решить полученное уравнение, найти одну из переменных. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение. Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y). Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1 Решите систему уравнений: x − y = 4
x + 2y = 10 Выразим x из первого уравнения: x − y = 4
x = 4 + y Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x: x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10 Решим второе уравнение относительно переменной y: 4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2 Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение: x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6 Ответ: (6; 2).
Пример 2 Решите систему линейных уравнений: x + 5y = 7
3x = 4 + 2y Сначала выразим переменную x из первого уравнения: x + 5y = 7
x = 7 − 5y Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение: 3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y Решим второе линейное уравнение в системе: 3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1 Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x: x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2 Ответ: (2; 1).
Пример 3 Решите систему линейных уравнений: x − 2y = 3
5x + y = 4 Из первого уравнения выразим x: x − 2y = 3
x = 3 + 2y Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его: 5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1 Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его: x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1 Ответ: (1; −1).
Метод сложения Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y: При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Складываем почленно левые и правые части уравнений системы. Решаем получившееся уравнение с одной переменной. Находим соответствующие значения второй переменной. Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так: Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z). Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0? 5x − 8y = 4x − 9y + 3 5x − 8y = 4x − 9y + 3 5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки Выразить у из первого уравнения: Подставить полученное выражение во второе уравнение: Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается: Алгебра. 7 класс
Конспект урока Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Систематизация решений систем уравнений.
Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
Практическое применение теоремы. Пусть дана система уравнений: где все коэффициенты отличны от нуля. а) имеет единственное решение, если ; б) не имеет решений, если ; в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число. 1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с. 1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с. 2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с. 3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с. Теоретический материал для самостоятельного изучения. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида: где ─ некоторые числа. Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения. Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах. Пример 1. Решим систему уравнений: Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю. Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения: И подставим его во второе. Получим: Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы. Пример 2. Решим систему уравнений: Система есть частный случай системы , где Единственным решением этой системы является пара чисел Пример 3. Решим систему уравнений: Из каждого уравнения системы получим Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так: Здесь может быть любым числом, а . Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число. Пример 4. Решим систему уравнений Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и . Пример 5. Решим систему уравнений: Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Пусть дана система уравнений: где все коэффициенты отличны от нуля. а) имеет единственное решение, если ; б) не имеет решений, если ; в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число. Из первого уравнения системы получим, что: . Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение: Здесь возможны три случая. Если: то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение. Так как и то условие можно записать в виде Если: то уравнение не имеет корней и система не имеет решений. Так как то условия можно записать в виде Если: то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений. Так как то условия можно записать в виде если то система имеет единственное решение; если то система не имеет решений; если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число. Пример 1. Определим число решений системы уравнений: а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение. б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений. в) Так как выполняется условие то система не имеет решений. Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений. Пример 2. При каком значении система не имеет решений? Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений? Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует. Ответ: не существует. Разбор решения заданий тренировочного модуля. №1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте. Впишите пропущенные элементы при решении системы. Перенесем из первого уравнения в правую часть 4, получим Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе: ‑ так как отношения __ равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки: Перенесем из первого уравнения в левую часть 4, получим: Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе: ‑ так как отношения не равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки: №2. Тип задания: восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное. Решите систему двух уравнений: Значит, система имеет единственное решение. Так как отношение коэффициентов равно — Значит, система имеет единственное решение. Так как отношение коэффициентов равно — Значит, система имеет единственное решение. Перенесем в первом уравнении из левой части в правую 4:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки? Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания 5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет. Методом подбора можно найти решение 3) Составим уравнение: Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174 Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить. Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них. I. Метод рассмотрения остатков от деления. Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1. Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2. Ответ: где m Z. Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители. Пример: Решить уравнения в целых числах. Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4. y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4. y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4. y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4. Следовательно, y = 4n, тогда 4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n Ответ: , где n Z. II. Неопределенные уравнения 2-ой степени Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка. И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Пример: Решить уравнение в целых числах. 13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1) Рассмотрим эти случаи а) => б) => в) => г) =>
4) Домашнее задание. Примеры. Решить уравнение в целых числах: а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит 2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0 б) в) Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах? Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете? Упражнения для тренировки. 1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z 2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5 3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет 4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) 5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1) Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”. Как решать систему уравнений О чем эта статья: 8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно. Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство. Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7. Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой. Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям. Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа. Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство. Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия. Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0: Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0. Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0. Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂). Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов. Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так: Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия. Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия. Можно записать систему иначе: Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂. Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂. Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y: Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы. Решить полученное уравнение, найти одну из переменных. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение. Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y). Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1 Решите систему уравнений: x − y = 4
x + 2y = 10 Выразим x из первого уравнения: x − y = 4
x = 4 + y Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x: x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10 Решим второе уравнение относительно переменной y: 4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2 Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение: x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6 Ответ: (6; 2).
Пример 2 Решите систему линейных уравнений: x + 5y = 7
3x = 4 + 2y Сначала выразим переменную x из первого уравнения: x + 5y = 7
x = 7 − 5y Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение: 3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y Решим второе линейное уравнение в системе: 3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1 Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x: x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2 Ответ: (2; 1).
Пример 3 Решите систему линейных уравнений: x − 2y = 3
5x + y = 4 Из первого уравнения выразим x: x − 2y = 3
x = 3 + 2y Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его: 5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1 Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его: x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1 Ответ: (1; −1).
Метод сложения Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y: При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Складываем почленно левые и правые части уравнений системы. Решаем получившееся уравнение с одной переменной. Находим соответствующие значения второй переменной. Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так: Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z). Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0? 5x − 8y = 4x − 9y + 3 5x − 8y = 4x − 9y + 3 5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки Выразить у из первого уравнения: Подставить полученное выражение во второе уравнение: Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается: Алгебра. 7 класс
Конспект урока Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Систематизация решений систем уравнений.
Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
Практическое применение теоремы. Пусть дана система уравнений: где все коэффициенты отличны от нуля. а) имеет единственное решение, если ; б) не имеет решений, если ; в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число. 1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с. 1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с. 2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с. 3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с. Теоретический материал для самостоятельного изучения. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида: где ─ некоторые числа. Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения. Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах. Пример 1. Решим систему уравнений: Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю. Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения: И подставим его во второе. Получим: Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы. Пример 2. Решим систему уравнений: Система есть частный случай системы , где Единственным решением этой системы является пара чисел Пример 3. Решим систему уравнений: Из каждого уравнения системы получим Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так: Здесь может быть любым числом, а . Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число. Пример 4. Решим систему уравнений Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и . Пример 5. Решим систему уравнений: Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Пусть дана система уравнений: где все коэффициенты отличны от нуля. а) имеет единственное решение, если ; б) не имеет решений, если ; в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число. Из первого уравнения системы получим, что: . Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение: Здесь возможны три случая. Если: то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение. Так как и то условие можно записать в виде Если: то уравнение не имеет корней и система не имеет решений. Так как то условия можно записать в виде Если: то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений. Так как то условия можно записать в виде если то система имеет единственное решение; если то система не имеет решений; если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число. Пример 1. Определим число решений системы уравнений: а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение. б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений. в) Так как выполняется условие то система не имеет решений. Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений. Пример 2. При каком значении система не имеет решений? Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений? Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует. Ответ: не существует. Разбор решения заданий тренировочного модуля. №1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте. Впишите пропущенные элементы при решении системы. Перенесем из первого уравнения в правую часть 4, получим Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе: ‑ так как отношения __ равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки: Перенесем из первого уравнения в левую часть 4, получим: Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе: ‑ так как отношения не равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки: №2. Тип задания: восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное. Решите систему двух уравнений: Значит, система имеет единственное решение. Так как отношение коэффициентов равно — Значит, система имеет единственное решение. Так как отношение коэффициентов равно — Значит, система имеет единственное решение. Перенесем в первом уравнении из левой части в правую 4:
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит
2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)
Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет
4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)
5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1)
Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.
Видео:Видеоурок ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Видео:Алгебра 7 класс (Урок№45 - Уравнения первой степени с двумя неизвестными.)Скачать
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными.Скачать
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4 x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4 x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10 4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10 4 + 3y = 10 3y = 10 − 4 3y = 6 y = 6 : 3 y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4 x − 2 = 4 x = 4 + 2 x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7 3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7 x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7 x + 5 = 7 x = 7 − 5 x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3 5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3 x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4 5 (3 + 2y) + y = 4 15 + 10y + y = 4 15 + 11y = 4 11y = 4 − 15 11y = −11 y = −11 : 11 y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3 x − 2 (−1) = 3 x + 2 = 3 x = 3 − 2 x = 1
Ответ: (1; −1).
Видео:Уравнение с двумя неизвестными. Решить в целых числах. ЗадачаСкачать
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 6 класс.Скачать
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Видео:9 класс, 8 урок, Уравнения с двумя переменнымиСкачать
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Систематизация решений систем уравнений.
Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
Практическое применение теоремы.
Пусть дана система уравнений:
где все коэффициенты отличны от нуля.
а) имеет единственное решение, если ;
б) не имеет решений, если ;
в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида:
где ─ некоторые числа.
Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения.
Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах.
Пример 1. Решим систему уравнений:
Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю.
Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения:
И подставим его во второе. Получим:
Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы.
Пример 2. Решим систему уравнений:
Система есть частный случай системы , где
Единственным решением этой системы является пара чисел
Пример 3. Решим систему уравнений:
Из каждого уравнения системы получим
Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так:
Здесь может быть любым числом, а .
Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число.
Пример 4. Решим систему уравнений
Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и .
Пример 5. Решим систему уравнений:
Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы
Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы.
О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Пусть дана система уравнений:
где все коэффициенты отличны от нуля.
а) имеет единственное решение, если ;
б) не имеет решений, если ;
в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.
Из первого уравнения системы получим, что:
. Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение:
Здесь возможны три случая.
Если:
то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение.
Так как и то условие можно записать в виде
Если:
то уравнение не имеет корней и система не имеет решений.
Так как то условия можно записать в виде
Если:
то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений.
Так как то условия можно записать в виде
если то система имеет единственное решение;
если то система не имеет решений;
если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число.
Пример 1. Определим число решений системы уравнений:
а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение.
б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений.
в) Так как выполняется условие то система не имеет решений.
Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений.
Пример 2. При каком значении система
не имеет решений?
Система не имеет решений, если выполняется условие
. Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при
Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений?
Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует.
Ответ: не существует.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Впишите пропущенные элементы при решении системы.
Перенесем из первого уравнения в правую часть 4, получим
Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:
‑ так как отношения __ равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:
Перенесем из первого уравнения в левую часть 4, получим:
Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:
‑ так как отношения не равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:
№2. Тип задания: восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.
Решите систему двух уравнений:
Значит, система имеет единственное решение.
Так как отношение коэффициентов равно —
Значит, система имеет единственное решение.
Так как отношение коэффициентов равно —
Значит, система имеет единственное решение.
Перенесем в первом уравнении из левой части в правую 4:
🌟 Видео
Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать
7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Линейное уравнение с двумя переменными 7 классСкачать
Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать
ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСС видеоурокСкачать
7 класс, 37 урок, Системы двух линейных уравнения с двумя переменными. Основные понятияСкачать
Линейное уравнение с двумя переменными. Практическая часть. 6 класс.Скачать
Математика 2 класс (Урок№26 - Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа.)Скачать
Алгебра 7 класс (Урок№46 - Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.)Скачать
(2)y = -2.5x+6
Z k
0
где (
; 
) – какое-либо решение уравнения (1), t 
Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
где m 
, где n 
=> 
=> 
=> 
=> 
