Уравнения с умножением десятичных дробей

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Урок математики в 5-м классе «Умножение десятичных дробей»

Класс: 5

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (778 кБ)

Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – М.: Вента-Граф, 2018 г.

Тип урока: урок освоения новых знаний.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, групповая, коллективная.

Цели урока:

• Предметные: учиться умножать десятичные дроби, закрепить алгоритм умножения десятичных дробей; развивать навыки решения текстовых задач, содержащих десятичные дроби, арифметическим способом.
• Личностные: развивать интерес к изучению темы, мотивировать желание применять знания.
• Метапредметные: формировать умение определять способы действий в рамках предложенных условий и требований.

Планируемые результаты: учащиеся научатся умножать десятичные дроби, решать текстовые задачи, содержащие десятичные дроби, арифметическим способом.

Основные понятия: правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д., правило умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., правило умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку.

Ход урока

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Формируемые УУД

I. Мотивация к учебной деятельности

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.
Проводит беседу. Настрой на урок.
Вы любите преодолевать трудности?
– Поднимите руки, кто уверен, что справится со всеми трудностями.
– Трудность всегда преодолевается, если человек все делает с хорошим настроением, с хорошими мыслями.
– Давайте послушаем сами себя, какое настроение у нас сейчас?
– Позволит ли ваше настроение преодолеть все трудности на нашем уроке?
– Сегодняшний урок я хочу начать словами Пифагора, с которыми он обращался к своим ученикам.

«Не делай того, что не знаешь.
Но научись тому, что надо знать.»

Готовятся к уроку. Настрой на деловой ритм.

Включение учащихся в учебную деятельность.
Ценностно-смысловая;
Личностная.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии

— Какие дроби мы изучаем?

Повторяют изученный материал. Отвечают на вопросы.
— десятичные дроби.

Осознание потребности к построению нового способа действий.
Учебно-познавательная (выполнение вычислений, применение изученных алгоритмов); Коммуникативная;

— Как записывается десятичная дробь?

— Какие действия с десятичными дробями нам известны?

— с помощью запятой.— Как сравнивают десятичные дроби?

— если целые части разные, то больше та, у которой целая часть больше.

— если целые части равные. То приписывая нули уравниваем количество цифр в дробной части и порязрядно сравниваем.

— Как выполняют округление чисел?— если округляем до единиц, десятых, сотых и т.д., все последующие цифры отбрасываем. Если первая отбрасываемая цифра 0,1,2,3.4, то предыдущую не изменяем. Если первая отбрасываемая цифра 5,6,7.8.9. то предыдущую цифру увеличиваем на 1.Фронтальная работа2) Устный счет:
25*4=
3*12=
41*20=
200:25=
150:10=
7000:70=2) Ребята отвечают:
100
36
820
8
15
1003) Решите уравнение:
2,5 + х = 4,6
у – 6,5 = 11
а : 6,8 = 12Как называются компоненты при сложении?
Как найти неизвестное слагаемое?
Как называются компоненты при вычитании?
Как найти неизвестное уменьшаемое?
Как называются компоненты при делении? Как найти делимое?Называют компоненты и правило нахождения неизвестного компонента.При выполнении какого действия вы встретились с трудностью?— при умножении десятичных дробей.

III. Выявление места и причины затруднения

Ребята. С какой проблемой мы столкнулись?
Справились вы с ней?

Какая цель нашего урока?
Какую задачу поставим мы перед собой?

С неумением умножать десятичные дроби.
Нет, не справились.
Научиться умножать дроби. Вывести алгоритм умножения десятичных дробей.

Принятие цели и задачи урока. Ценностно-смысловая.

IV. Построение проекта выхода из затруднения

Задача: в кабинет математики нужно поменять линолеум. Стоимость одного квадратного метра составляет 85 руб. Размеры класса 5,4м и 3,6м. Сколько потребуется денег на данный ремонт? Какие измерения нужно произвести и что вычислить, чтобы решить задачу?

Ребята предлагают измерить длину и ширину, вычислить площадь пола, полученную площадь умножить на стоимость квадратного метра.

Принятие плана выхода из затруднения.
Коммуникативная (создание алгоритма действия).

V. Реализация построенного проекта

Вычислим площадь пола, если длина равна 5,4м, а ширина 3,6м. Как можно рассчитать площадь, не прибегая к умножению десятичных дробей?

Перевести метры в дециметры
5,4м = 54дм; 3,6м = 36дм.
54дм * 36дм = 1944дм² = 19,44 м²

Осознание и восприятие алгоритма умножения десятичных дробей.
Коммуникативная.

— Объясните полученный ответ и попробуйте сформулировать алгоритм умножения десятичных дробей.
— Прочитайте правило по учебнику и убедитесь в точности формулировки, полученной нами самостоятельно.Формулируют алгоритм.
Читают учебник, сравнивают и делают вывод.— Какую задачу мы поставили перед собой на уроке?Вывести алгоритм умножения десятичных дробей.— Вам удалось с ней справиться?Да.— Запишите в тетрадь выполненное действие в столбик.Учащиеся пишут в тетради.— Каков наш следующий шаг?Научиться применять данный алгоритм

VI. Первичное закрепление (с проговариванием во внешней речи)

Ученики по очереди у доски с проговариванием алгоритма выполняют действия

Усвоение алгоритма умножения десятичных дробей;
Коммуникативная;
Учебно-познавательная

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

— А теперь предлагаю каждому из вас убедиться насколько он понял, как выполнять умножение десятичных дробей.
Самостоятельная работа.
Вариант 1
а) 4, 35 * 8 =
б) 0,37 * 2,1 =
в) 14,8 * 1, 06 =
г) (63,92 – 5,481) * 17 =

Вариант 2
а) 3,42 * 6 =
б) 0,54 * 1,3 =
в) 5,09 * 63,7 =
г) (54,28 – 3,406) * 18 =
Проверка проводится по эталону, имеющемуся у каждого ученика.

Ребята выполняют самостоятельную работу с проверкой по эталону. Если допущена ошибка, то проговаривается алгоритм, выделяется шаг, в котором она допущена.

Учебно-познавательная; математическая (анализ и преобразование по алгоритму);
регулятивная.

VIII. Включение в систему знаний и повторение

Выполним задание из учебника № 914
Вариант 1
(1,3,5); Вариант 2 (2,4,6)
№ 918 Вариант 1((1,3); Вариант 2(2,4)
Как вы выполняли задание? Вспомните правило возведения числа в степень.

Дети выполняют задание.

Учебно-познавательная; математическая; регулятивная.

IX. Рефлексия учебной деятельности

— Давайте подведем итоги нашего урока. Какую цель мы ставили в начале урока? Вы достигли этой цели? Какая часть урока вам понравилась?
Комфортно вам было на уроке?
Запишите домашнее задание: стр. 230, п.34 (правило)
№ 915, составить 3 примера для соседа по парте; попробовать сформулировать правило для умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Ученики отвечают фронтально.
Научиться умножать десятичные дроби.
Да.
Ответы учащихся. Оценивают свою деятельность с помощью карточки самооценки.

Коммуникативная;
Информационная;
Личностная.

Разработка урока по математике на тему «Умножение десятичных дробей» (5 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок по теме: Обобщение и систематизация знаний по теме «Умножение десятичных дробей».

1. Организационный момент.

Добрый день, ребята! Сегодня девизом нашего урока будут слова А. Маркушевич: «Kтo с детских занимается математикой, тот развивает мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели».

Ребята, сегодня мы с вами отправимся в необычное путешествие: мы посетим страну Десятичные дроби. В этой стране мы сделаем несколько остановок: в деревне Исторической, на берегу озера Ребусного, отдохнем на поляне Театральной, побродим в лесу Сказочном, попробуем одолеть горы Мозгодром.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

А когда путешественник отправляется в путь, ему полезно многое знать. Например, он должен хорошо знать дорожные указатели. Тогда он точно определит, где нужно свернуть, где можно остановиться, а где получить помощь. А готовы ли мы к экспедиции? Как это можно проверить? (Повторить правила)

Итак, отправляясь в путь мы должны вспомнить правила

1)Умножения десятичной дроби на натуральное число.

2) Умножения и деления десятичной дроби на 10, 100,100 и т.д.

3) Умножения десятичной дроби на 0,1; 0, 001; 0,0001 и т.д.

А также вспомнить, что происходит с десятичной дробью при умножении на правильную или неправильную десятичную дробь

Известно, какое важное значение имеет запятая в русском языке. От неправильной расстановки запятых смысл предложения может резко измениться. Например, “Казнить, нельзя помиловать” и “Казнить нельзя, помиловать”. В математике от положения запятой зависит верность или неверность ответа. Расставьте в следующих равенствах запятые:

Вписать пропущенные числа в следующие равенства:

а) * 100 = 0,71

б) * 1000 = 8,3

в) 5,8 * = 58

г) 0,04 * = 40

Проверить ответы, доказать их правильность.

4. Обобщение и систематизация знаний по теме «Умножение десятичных дробей».

Вот мы и прибыли на станцию Деревня Историческая.

Сообщение учащегося из истории десятичных дробей.

Дальше прибываем на станцию Поляна Цирковая. Нужно найти ошибки и исправить их.

Клоун придумал несколько примеров на умножение десятичных дробей, а чтобы было смешно, в ответах запятые стер или переставил.

Вот какие равенства у него получились.

1) 3,1 ∙1,2 = 372 2)0,15 ∙ 23 =345

3)1,25 ∙ 14 = 1750 4) 35,47 ∙12 =42,564

5) 0,13 ∙ 302 = 392,6 6) 123,2 ∙ 20 =2,4640

Дети выписывают примеры в тетрадь (можно выполнять на раздаточных листах) и исправляют ошибки.

Задания сразу проверяются.

Далее прибываем на станцию Озеро Ребусное.

Наконец мы прибыл и на станцию Лес Сказочный

Решите уравнения и угадайте фамилию детской писательницы и имя сказочного героя.

💥 Видео