Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Квадратные уравнения с параметром

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

— Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

— Что такое дискриминант и куда его пристроить?

— Что такое теорема Виета и где её можно применить?

Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

Пример 1

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:

Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3) 2 !

Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3) 2 , то уравнение будет решаться в уме!

Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

Пример 2

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Вот такая задачка. Начинаем распутывать. Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

0,5x 2 — 2x + 3a + 1,5 = 0

Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

«Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным

Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Чему здесь равен коэффициент при x 2 ? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a 0 необходимо пересечь с условием a . Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

Пример 3

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x1 — x2. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

Что ж, считаем корни по общей формуле:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

Пример 4

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

D = 4(a-1) 2 — 4a(a-4) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +16a = 4+8a

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

Случай 1 (a>0, |a|=a)

В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a 0 и a

Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

Случай 2 (a

В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

С учётом общего требования a

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Вот и второй кусочек ответа готов:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

с нулём. Вот так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

ax 2 + 3x +5 = 0

имеет единственный корень.

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

x 2 — (14a-9)x + 49a 2 — 63a + 20 = 0

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

x 2 — 4ax + 5a = 0

4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

x 2 + 2(a-2)x + a + 3 = 0

имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnline

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0, т.е. а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1, то х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1, а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением-1, то х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением(единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением= Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением;

Дидактический материал

3. а = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением+ Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

4. Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением+ 3(х+1)

5. Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением= Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решениемУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

6. Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением= Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Ответы:

  1. При аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1 х =Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением;
  1. При аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением3 х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением;
  1. При аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1, аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением-1, аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0 х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

  1. При аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением2, аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0 х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением;
  1. При аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением-3, аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением-2, аУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0, 5 х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением
  1. При а + сУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0, сУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0 х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = – Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

В случае а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

a = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Если а -4/5 и а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1, то Д > 0,

х = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

х = – Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением= – Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итогеУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) 0
Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решениема 6
а > — 1
а > 5/9
Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0

4а(а – 4) Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0

а(а – 4)) Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Ответ: а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0 и а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3аа 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + ха = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х 2 – хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

  1. 0 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 0, хУравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1/4 (3)

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решениемх = у

Если а = 0, то –2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2
Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решениемх = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением0, т.е. при а Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением2 – а и у = 1 – а.

Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2

а0 = Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

Ответ: Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решениемx + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

  • Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4 x – a) = x имеет единственный корень.
  • При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а – 9 х ) = 0 не имеет корней.
  • Ответы:

      при а 16.06.2009

    Видео:#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

    #118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.

    Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

    Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

    Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

    1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

    Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

    Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

    Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

    Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

    Если и – корни квадратного уравнения
    , то по теореме Виета:

    Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

    Решим первое неравенство системы

    Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

    Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

    Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

    Возведем второе уравнение системы в квадрат:

    Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

    Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

    График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

    3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

    Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

    1) . Получим линейное уравнение

    У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

    2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

    Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

    — Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

    Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

    — Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

    Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

    Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

    Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

    Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
    .

    С учетом пункта 1 получим ответ

    4. При каких значениях параметра a уравнение

    имеет единственное решение?

    Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

    Сделаем замену Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

    Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

    1) В случае уравнение будет линейным

    Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

    2) Если , уравнение будет квадратным.

    Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

    Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

    Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

    Объединив все случаи, получим ответ.

    И наконец – реальная задача ЕГЭ.

    5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

    Решением квадратного неравенства может быть:

    В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

    1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

    2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

    Рассмотрим первый случай.

    Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

    Если , при этом система примет вид:

    Второй корень первого уравнения:

    Второй корень второго первого:

    Если , при этом система примет вид:

    – бесконечно много решений, не подходит.

    Рассмотрим второй случай.

    – решением является точка, если – является решением второго неравенства.

    – решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

    Видео:#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать

    #67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!

    Квадратные уравнения с параметром

    Уравнение называется квадратным, если имеет вид (ax^2+bx+c=0,) где (a,b,c) — любые числа ((a≠0)). При этом надо быть внимательным, если (a=0), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при (x^2) и рассматривать 2 случая: (a=0) (линейное уравнение); (a≠0) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

    Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

    Уравнения с параметром. Алгебра, 8 класс

    Исследование квадратного многочлена

    Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

    • Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2 0)); ветки параболы направлены вниз ((a 0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
    • (a 0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

    В итоге получаем:

    если (a*f(γ) 0), то (γ∉(x_1,x_2)).

    Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0 0, \x_0 Уравнения с параметром имеющие 2 различных корня с решением

    При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

    1 случай: Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.
    При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

    2 случай: Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac.$$ С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac;0)∪(0;+∞)). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

    Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку ([-2;2]).

    1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

    2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

    Подставляем полученные выражения в систему:

    🎥 Видео

    Корни уравнения с параметромСкачать

    Корни уравнения с параметром

    Сможешь решить квадратное уравнение с параметром? Найти, когда корни имеют разные знаки...Скачать

    Сможешь решить квадратное уравнение с параметром? Найти, когда корни имеют разные знаки...

    Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

    Математика | Параметр. Система уравнений с параметром

    Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

    Быстрый способ решения квадратного уравнения

    ✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис Трушин

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

    Квадратное уравнение с параметром. Исследование корней квадратного уравнения. Алгебра 8 классСкачать

    Квадратное уравнение с параметром. Исследование корней квадратного уравнения. Алгебра 8 класс

    Решаем квадратное уравнение с параметромСкачать

    Решаем квадратное уравнение с параметром

    Алгебра 8 класс (Урок№33 - Уравнения с параметром. Контрольный урок.)Скачать

    Алгебра 8 класс (Урок№33 - Уравнения с параметром. Контрольный урок.)

    Параметр. 29 вариант Ященко ЕГЭ профиль 2022. Задание 17. Два различных корня в дробном уравненииСкачать

    Параметр. 29 вариант Ященко ЕГЭ профиль 2022. Задание 17. Два различных корня в дробном уравнении

    Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корняСкачать

    Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня

    6.1 Квадратные уравнение с параметром. РешениеСкачать

    6.1 Квадратные уравнение с параметром. Решение

    #119 Урок 44. Параметры. Квадратные уравнения с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.Скачать

    #119 Урок 44. Параметры. Квадратные уравнения с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.

    Как решают уравнения в России и СШАСкачать

    Как решают уравнения в России и США

    Квадратные уравнения с параметрами Урок 2Скачать

    Квадратные уравнения с параметрами  Урок 2
    Поделиться или сохранить к себе: