Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

Уравнения Лагранжа для потенциальных сил

Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

Видео:Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Интегралы движения.Скачать

Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Интегралы движения.

Уравнения Лагранжа для потенциальных сил

  • Выражение Qt = dU ldqt справедливо для обобщенных сил, когда силы, действующие на системные точки, являются потенциальными. Силовая функция U не зависит от обобщенной скорости. Следовательно, производная для обобщенной скорости dU / dqf = 0 может быть добавлена ​​к dT / 8 ^.

Однако, начиная решать задачу, очень трудно сразу найти наиболее целесообразную комбинацию переменных, которые предельно упростили бы интегрирование соответствующих канонических уравнений. Людмила Фирмаль

С учетом этого, перенеся все члены влево, получим систему уравнений Лагранжа: Введение функции Лагранжа или Лагранжа в формулу L = T + U = T-n, (40) Уравнение Лагранжа для потенциальной силы принимает вид (41) я = 1,2 доктор называются действиями Гамильтона.

  • Чтобы действие Гамильтона имело экстремальное значение, его изменение должно быть равно нулю. (41) Условие (41 ‘) представляет собой так называемый принцип Гамильтона. Принцип Гамильтона состоит в том, что для фактического действия системы из одного положения в другое действие Гамильтона является более экстремальным, чем другие возможные движения системы при фиксированном значении qt на границе, т.е. r и r2.

Полученная система линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами описывает малые колебания ротора, вызванные статической и динамической неуравновешенностью. Людмила Фирмаль

Утверждает, что есть ценность. Принцип Гамильтона позволяет получать уравнения Лагранжа без использования основных аксиом динамики. Поэтому он заменил эти аксиомы и вывел уравнения Лагранжа для потенциального случая.

Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Решение уравнения ЛагранжаСкачать

Решение уравнения Лагранжа

ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ

  • В книжной версии

    Том 16. Москва, 2010, стр. 568

    Скопировать библиографическую ссылку:

    • Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    • Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    • Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    • Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    • Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ ме­ха­ни­ки, обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния вто­ро­го по­ряд­ка, опи­сы­ваю­щие дви­же­ние ме­ха­нич. сис­тем под воз­дей­ст­ви­ем при­ло­жен­ных к ним сил. Вы­ве­де­ны Ж. Ла­гран­жем в 1788 в двух фор­мах: Л. у. 1-го ро­да – урав­не­ния в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах с не­оп­ре­де­лён­ны­ми мно­жи­теля­ми Ла­гран­жа, и Л. у. 2-го ро­да – урав­не­ния в обоб­щён­ных ла­гран­же­вых ко­ор­ди­на­тах.

    Видео:Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-ЛагранжаСкачать

    Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-Лагранжа

    Обобщенные координаты системы в теоретической механике

    Содержание:

    Обобщенные координаты системы:

    Голономными называют свя­зи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между коор­динатами этих точек

    Видео:Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1Скачать

    Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1

    Голономные связи

    Связи, с которыми мы встречались при решении задач по статике, ограничивали свободу перемещения тел и не зависели от времени. Мы назвали связью ограничения, стесняющие движение материальной точки или ме­ханической системы, осуществляемые дру­гими материальными объектами. Под это определение подходят также и такие связи, которые ограничивают не только перемещения, но и скорости точек механической системы. Рассмотрим следующий пример.

    Пример. 1-й случай.

    Шар радиуса к может передвигаться (скользить и перекатываться по плоскости xOy); 2-й случай: шар может только перекатываться без скольжения по плоскости. В первом случае связь может быть выражена уравнением zс=r, которое не содержит производных от координат по времени и накладывает ограничение только на положение точки C (центра шара). Во втором случае на шар наложена связь, заключающаяся в том, что скорость точки касания равна пулю, а следовательно, уравнение связи должно выражать условие, чтобы равнялись нулю производные по времени Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи.

    Следовательно, если уравнение связи содержит проекции скоростей точек, то отсюда еще не следует делать вывод, что связь не является голономной. Нужно предварительно исследовать, возможно ли проинтегрировать это уравнение и получить из него уравнение, не содержащее проекций скоростей точек. Если это можно, то связь является голономной, в противном случае связь называют неголономной, или неинтегрируемой. Если среди связей, наложенных на систему, имеется хоть одна неголономная связь, то систему называют неголономной. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь голономные системы.

    Обобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновение

    Видео:Уравнение Лагранжа для консервативных системСкачать

    Уравнение Лагранжа для консервативных систем

    Обобщенные координаты

    Положение в пространстве свободной материальной точки определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Такая точка имеет три степени свободы. Для определения положения в мгновение t системы, состоящей из n свободных точек, необходимо 3 n координат. Если система не свободна, то связи, наложенные на систему, выражают некоторые зависимости между координатами ее точек, а поэтому число независимых друг от друга координат, определяющих положение в данное мгновение всех точек несвободной системы, меньше чем 3 n.

    Пример:

    Система состоит из двух точек А и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки А и В могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии r. Связи голономные них уравнения Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Из этого примера видно, что вместо декартовых координат за независимые можно выбирать другие, связанные с ними величины, даже и другой размерности (угол). Эти независимые параметры называют обобщенными координатами системы и обозначают буквой q. Так, в рассмотренном примере мы могли выбрать следующие обобщенные координаты: 1) q1 = xA, q2 = yA, q3=xB или 2) q1B, q2 = уB, q3=φ. Возможен, разумеется, и другой выбор трех обобщенных координат этой механической системы.

    Следовательно, под обобщенными координатами системы мы понимаем независимые друг от друга величины, обычно имеющие размерность длины [q] =L 1 M 0 T 0 или угла [q] = L 0 M 0 T 0 и определяющие полностью и однозначно возможные положения системы в данное произвольно выбранное мгновение. Но встречаются случаи, когда обобщенные координаты имеют размерность площади или объема, или других геометрических или даже механических величин.

    Декартовы координаты точек системы связаны с обобщенными координатами определенными уравнениями. Они являются функциями обобщенных координат и, возможно, времени. Так, если положение системы n точек определяется s обобщенными координатами (ql, q2, . q,), то эти уравнения в параметрической форме имеют вид:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(258)

    Число степеней свободы голономной механической системы равно числу обобщенных координат

    Если на систему наложены только голономные связи, то число обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. Заметим, что к неголономным системам это правило не относится. В прикладной механике большое значение имеют полносвязные системы, т. е. механические системы с одной степенью свободы. К числу таких систем относится большинство механизмов. Чтобы определить положение полносвязной системы, достаточно одной обобщенной координаты.

    Примеры:

    Тело с двумя неподвижными точками имеет одну степень свободы: оно может поворачиваться вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки. Для определения положения тела, занимаемого им в данное мгновение, нужна лишь одна обобщенная координата, например угол поворота φ.

    Тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы и его положение определяют тремя обобщенными координатами, например тремя углами Эйлера.

    Кривошипно-ползунный механизм (рис. 238)—система с одной степенью свободы. Чтобы задать положение всех точек механизма, нет надобности задавать декартовы координаты всех точек, достаточно одной обобщенной координаты, например угла φ или дуги A0A. Одной обобщенной координатой и уравнениями связи Вид уравнений лагранжа в потенциальном полеположение механизма, занимаемое им в данное мгновение, определяется вполне и однозначно.

    Регулятор Уатта имеет две степени свободы и для определения его положения нужно задать две независимые друг от друга величины, т. е. две обобщенные координаты, например угол (см. рис. 236) отклонения ручек от вертикали и угол поворота плоскости AOB вокруг оси Оу.

    Обобщенные координаты, как и всякие координаты, характеризуют положение неподвижной системы или положение движущейся системы, занимаемое ею в данное мгновение. Чтобы охарактеризовать движение системы, надо выразить обобщенные координаты как непрерывные однозначные функции времени. Изменение каждой обобщенной координаты характеризует соответствующее изменение в положении системы. Так, в последнем из разобранных примеров (регулятор Уатта) изменение одной обобщенной координаты означает поворот системы вокруг вертикальной оси, а изменение другой обобщенной координаты выражает изменение наклона ручек к вертикальной оси.

    Обобщенная скорость выражается первой производной от обобщенной координаты по времени

    Видео:Потенциальное полеСкачать

    Потенциальное поле

    Обобщенная скорость

    Для характеристики движения системы, определяемого обобщенной координатой qi=ql(t) не только в пространстве, но и во времени, возьмем первую производную от этой координаты по времени
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(259)

    Полученная величина является пространственно-временной характеристикой изменения одной из обобщенных координат. Ее называют обобщенной скоростью, соответствующей данной координате. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная скорость, поэтому число обобщенных скоростей в системе равно числу обобщенных координат.

    Обобщенная координата обычно выражается длиной или углом, соответственно этому обобщенная скорость может иметь размерность либо скорости точки, либо угловой скорости тела.

    Обобщенной силой называют скалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех сил системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координаты

    Видео:Уравнение ЛагранжаСкачать

    Уравнение Лагранжа

    Обобщенная сила

    Пусть положение механической системы в данное мгновение t определяется обобщенными координатами q1, q2, . qs. Дадим одной из координат qi мысленно бесконечно малое изменение δqi, сохранив для всех остальных обобщенных координат то значение, которое они в данное мгновение имеют. Вследствие изменения одной из обобщенных координат материальные точки системы получат мысленные бесконечно малые перемещения, а приложенные к этим точкам силы произведут виртуальную работу:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(221)

    Сумма работ всех реакций на данном виртуальном перемещении равна нулю (так как связи предполагаем идеальными), поэтому написанная сумма выражает работу всех активных сил системы. Из уравнений (258) найдем вариации декартовых координат точек системы, соответствующих приращению δqi обобщенной координаты qi при фиксированном (неизменном) значении других обобщенных координат:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Эти вариации подставим в предыдущее выражение:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Эту сумму виртуальных работ всех сил (или, что то же, всех активных сил), приложенных к системе, при изменении только одной из обобщенных координат qi мы можем записать как произведение вариации bqi этой координаты на скалярную величину

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(260)

    называемую обобщенной силой, соответствующей координате qi.

    Если мы дадим воображаемое приращение какой-либо другой из обобщенных координат этой системы при фиксированном значении всех остальных обобщенных координат, то совершенно аналогично получим выражение обобщенной силы, соответствующей этой второй обобщенной координате. Таким образом, в системе столько же обобщенных сил, сколько в ней обобщенных координат.

    Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила может иметь размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.

    Задача №1

    Определить обобщенную силу в регуляторе Уатта (рис. 236 на стр. 424), соответствующую обобщенной координате а. Точечные грузы А и В имеют одинаковый вес P кГ, вес муфты C равен P1 кГ, а стержни имеют одинаковую длину 1 мм.

    Решение. Декартовы координаты точек приложения силы, как функции обобщенной координаты (параметра а), их вариации и виртуальные работы всех активных и инерционных сил определены при решении задачи № 188. Для вычисления обобщенной силы воспользуемся некоторыми полученными при решении задачи № 188 данными и составим сумму виртуальных работ только активных сил при вариации δα:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Разделив эту сумму виртуальных работ активных сил системы на δα, получим ответ.
    Ответ. Q = —2l (P + P1) sin α kΓ∙ мм.

    Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах

    Выразим в обобщенных координатах проекции скоростей точек системы на оси декартовых координат. Для этого продифференцируем по времени соотношения (258). Имеем:
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Возьмем теперь частные производные этих проекций скоростей Вид уравнений лагранжа в потенциальном полепо какой-либо одной обобщенной скорости qi:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(261)

    Эти соотношения справедливы только для голономных систем, и мы воспользуемся ими для вывода дифференциальных уравнений движения таких систем в обобщенных координатах. Возьмем частные производные от (215′) кинетической энергии Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле Вид уравнений лагранжа в потенциальном полесистемы по обобщенной координате qi и по обобщенной скорости qi:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Производную от кинетической энергии по обобщенной скорости называемую обобщенным импульсом, мы представим в другом виде, для чего воспользуемся соотношениями (261):

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Продифференцируем обобщенный импульс по времени:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Преобразуем первую сумму правой части этого равенства, приняв во внимание дифференциальные уравнения движения системы в форме (130): mkxk = Xk, mkyk = Yk, mkzk = Zk, вторую сумму, равную Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле, перенесем влево:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    В правой части имеем обобщенную силу системы, соответствующую координате qi. Обозначая, согласно (260), правую часть этого равенства через Qi, мы получим уравнения движения материальной системы в обобщенных координатах, называемые иначе уравнениями (второго рода) Лагранжа:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(262)

    Случай существования силовой функции

    Если к механической системе приложены только силы поля и существует силовая функция U, то, имея в виду равенства (238),

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Или, так как U =— П, где П — потенциальная энергия (244),

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(263)

    Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей и потому Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле; перенеся все члены в левую часть и прибавив Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле, получим

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле(264)

    называют функцией Лагранжа.

    Задача №2

    В планетарном механизме изображенном на рис. 146, а, определить угловое ускорение колеса l при следующих условиях.

    Передаточное число Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле= 12. К колесу l приложен постоянный момент сопротивления M1, а к рукоятке IV—постоянный вращающий момент М. Колеса l и 1 l считать однородными дисками одинаковой толщины и из одного и того же материала. Массой рукоятки IV пренебречь. Механизм находится в горизонтальной плоскости.

    Решение. Механизм имеет одну степень свободы, следовательно, его положение можно определить одной обобщенной координатой, а его движение—одним уравнением Лагранжа. В данном случае за обобщенную координату удобно выбрать угол φ4 поворота рукоятки (φ4 = q). Тогда обобщенная скорость системы равна угловой скорости рукоятки (q = ω4). Выразим в обобщенной скорости кинетическую энергию системы, которая равна сумме кинетических энергий первого и второго колес.

    Момент инерции первого колеса Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле, его угловая скорость ω1= 12q и
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Радиус второго колеса (см. задачу № 90) r2 = 5r1, следовательно, масса второго колеса в 25 раз больше массы первого, а его момент инерции в 625 раз больше. Скорость его центра равна q∙6r1, а его угловая скорость Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле. Его кинетическую энергию определяем по формуле Кёнига:
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Кинетическая энергия механизма

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Чтобы подсчитать обобщенную силу, определим работу всех активных сил системы при вариации обобщенной координаты. Сообщим координате малое приращение δq, т. е. мысленно повернем рукоятку на угол δq4. Тогда первое колесо повернется на угол 12δq и произойдет работа

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Эта работа равна работе Qδq обобщенной силы, следовательно, обобщенная сила в этой задаче имеет размерность момента силы и равна

    Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    После дифференцирования по времени q заменится ‘q. Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате равна нулю. Следовательно,

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Из этого уравнения непосредственно определяем ускорение ε = q рукоятки механизма при заданных моментах.

    Ответ. Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Задача №3

    Решить задачу уравнением Лагранжа.

    Решение. В этой задаче будем выражать L в м, T в сек, F в кГ. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату q выберем угол поворота φ1 первого вала. Тогда обобщенной скоростью q системы будет угловая скорость первого вала. Угловая скорость второго вала равна Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле. Кинетическая энергия системы
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вычислим величины, входящие в уравнение Лагранжа (262):

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Напишем уравнение движения системы:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    откуда Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле=3,57 ceκ -2 и по передаточному отношению Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле, т. е. ε2 = 5,36 ceκ -2 . Вращение равноускоренное, без начальной угловой скорости, следовательно, по (87):
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Угловая скорость будет 120 об/мин, т. е. 4π сек -1 , откуда Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле; в мгновение второй вал будет повернут на угол Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле. Чтобы определить соответствующее число оборотов вала, надо разделить угол поворота на 2л.
    Ответ. Через 2,344 оборота.

    Видео:Классическая функция Лагранжа частицыСкачать

    Классическая функция Лагранжа частицы

    Малые колебания системы

    Движение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от некоторых средних своих положений, называют колебательным.

    Во многих областях техники часто приходится рассматривать колебательные движения механических систем, т. е. такие движения, при которых точки системы перемещаются последовательно то в ту, то в другую сторону относительно их некоторого среднего положения. Сюда относят вибрации машин и их деталей, возникающие при различных условиях, вибрации инженерных сооружений и их отдельных элементов, а также автомобилей, судов, самолетов и пр.

    Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия.

    Колеблющиеся механические системы обычно являются консервативными, т. е. их колебания происходят в потенциальном поле, поэтому уравнения Лагранжа удобно писать в форме (263) и (264). Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не полную потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же мы будем стараться так определить эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном положении, т. е. при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие йвляется устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (П = 0) согласно теореме Лежен Дирихле должна иметь минимум.

    Рассмотрим несколько задач на малые колебания системы, причем для начала рассмотрим с позиций уравнений Лагранжа малые колебания физического маятника.

    Задача №4

    Определить малые колебания физического маятника без сопротивления на неподвижной оси (см. рис. 192 на стр. 334). Все данные по геометрии масс маятника считать заданными.

    Решение. Задачу будем решать по (262). Направим оси декартовых координат как указано на чертеже (рис. 192). За обобщенную координату примем угол φ отклонения маятника от вертикали, т. е. будем отсчитывать обобщенную координату φ от положения устойчивого равновесия системы. Тогда обобщенная скорость (259)

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Выразим кинетическую энергию через обобщенную координату

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    и вычислим производные, входящие в левую часть уравнения (262):

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Для определения обобщенной силы подсчитаем виртуальную работу при изменении обобщенной координаты

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    И полученное выражение разделим на вариацию обобщенной координаты

    Обобщенная сила имеет размерность момента силы, так как обобщенной координатой является угол.
    После проделанных вычислений и внесения их в (262) уравнение Лагранжа принимает вид:

    Это дифференциальное уравнение малых качаний физического маятника, выведенное другим способом, было проинтегрировано в § 45.

    Ответ. Гармонические колебания с периодом

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Задача №5

    Определить период малых колебаний маятника, состоящего из шарика, принимаемого за точку M массой m1, укрепленного на конце невесомого стержня AM длины l. Точка А стержня находится в центре однородного диска массы m2 и радиуса r. Диск может катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Стержень и диск жестко скреплены между собой (рис. 239). Движение маятника происходит в вертикальной плоскости.

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Рис. 239

    Решение. Построим правую систему декартовых координат с началом в центре диска при положении устойчивого равновесия системы. Ось Oy направим вертикально вниз.

    Определим связи, наложенные на систему. Диск может катиться по горизонтальному рельсу. Эта связь может быть выражена уравнением уА = 0.Но качение диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием, чтобы скорость υx точки касания диска равнялась нулю. Хотя связь наложена на скорость, но для диска, катящегося в своей плоскости, она является голономной (в отличие от катящегося по плоскости шара, рассмотренного выше). В самом деле, приняв центр диска за полюс и разложив плоское движение диска на переносное поступательное вместе с полюсом и относительное вращательное вокруг полюса, получим для точки касания:

    υА — ωr = 0 или Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Интегрируя, получаем второе уравнение связи
    xA = rφ.
    Следовательно, связь интегрируемая, т. е. голономная.

    Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу xA центра диска или угол φ отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а величины xA и φ являются зависимыми и связаны соотношением xA = rφ. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем φ. Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости φ кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика М, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи xA = rφ:

    x= rφ—l sin φ; y = l cosφ.

    Продифференцировав по времени, найдем проекции скорости:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Определим квадрат полной скорости точки М:

    υ 2 M = (r 2 + l 2 -2rl cos φ) φ 2

    и кинетическую энергию точки М:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Кинетическую энергию диска определим по формуле Кёнига, учитывая, что xA = rφ:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий точки M и диска:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. § 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, в которой потенциальная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае:

    П= m1gl (l — cos φ) (при φ = 0 П = 0; при φ ≠ О П > 0)

    Функция Лагранжа L=T — П:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Подсчитаем величины, входящие в уравнение (264):

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Колебания малые, и мы полагаем sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 и пренебрегаем малыми величинами второго и высшего порядка, а также произведениями малых величин. Уравнение движения системы принимает вид:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Интегрируя, получим уравнение гармонических колебаний (см. §39). Конечно, частота этих колебаний не может зависеть только от масс, но зависит и от их распределения. Система представляет собой своеобразный физический маятник, и квадрат частоты свободных колебаний пропорционален статическому моменту веса и обратно пропорционален моменту инерции маятника относительно мгновенной оси.

    Ответ. Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Задача №6

    Определить частоту свободный поперечных колебаний двухопорной балки, изображенной на рис. 240. На балке находится груз весом mg; расстояния от груза до опор балки равны а и b. Сечеиие и материал балки считать известными, весом балки пренебречь.

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Рис. 240

    Решение. Система имеет одну степень свободы. Построим декартовы координаты с началом в центре масс груза при равновесном положении системы и направим ось Oy вертикально вниз. За обобщенную координату системы примем ординату ус центра масс.

    Выразим в обобщенной координате и обобщенной скорости кинетическую и потенциальную энергии системы. Массой балки пренебрегаем, и кинетическая энергия системы равна кинетической энергии груза при его поступательном движении:
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Несколько сложнее определить потенциальную энергию, потому что система находится в потенциальном поле силы тяжести и в потенциальном поле упругости балки и полная потенциальная энергия П = П1 + П2. Потенциальная энергия системы в поле силы тяжести

    Потенциальную энергию сил упругости найдем из разности двух частных ее значений: при прогибе (j+y) и при нулевом положении, при котором прогиб балки в месте расположения груза равен f:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Заметим, что при равновесном положении системы потенциальная энергия, согласно теореме Дирихле, должна иметь минимум, а потому ее производная

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    должна обратиться в нуль, если вместо у подставить нуль — его значение, соответствующее равновесному положению системы,

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Следовательно, потенциальная энергия системы

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Здесь с—коэффициент жесткости балки и, поскольку сечение и материал балки известны, может быть определен по формулам сопротивления материалов:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    где E—модуль упругости материала, Jэ—экваториальный момент поперечного сечения балки.
    Определим теперь члены уравнения (263):

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    После подстановки имеем

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Это уравнение выражает малые колебания системы. Разделив «коэффициент жесткости» с на «коэффициент инерции» т, найдем квадрат частоты колебании системы, и для получения ответа остается только извлечь квадратный корень.

    Ответ. Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Малые колебания бифилярного подвеса

    Задача №7

    К концам М1 и М2 тонкого однородного стержня (рис. 241, а) массы m и длины 2α подвязаны две невесомые нити одинаковой длины l. Верхние концы N1 и N2 нитей неподвижно закреплены на горизонтальной прямой на расстоянии 2α друг от друга. Стержень повернули на малый угол вокруг центральной вертикальной оси и отпустили без начальной скорости. Исследовать малые колебания.

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Рис. 241

    Решение. При заданном движении будет изменяться высота центра масс стержня, но он не может отклоняться в сторону. Положение системы определяется высотой центра масс, углом поворота стержня вокруг вертикальной оси и углом отклонения нитей от вертикали. Но эти параметры зависят друг от друга, система имеет одну степень свободы, положение ее определяется одной обобщенной координатой, а движение —одним уравнением Лагранжа. Это уравнение удобно записать в форме (263), так как система находится в потенциальном поле тяжести и единственной активной силой системы является вес стержня.

    За обобщенную координату нельзя выбрать высоту центра масс, потому что обобщенная координата должна однозначно определять положение системы, а каждому положению центра масс соответствуют два положения системы. Угол поворота стержня вокруг вертикальной оси можно принять за обобщенную координату, но удобнее в качестве таковой выбрать угол наклона нитей к вертикали, так как через этот угол легко выразить потенциальную энергию системы. Построим прямоугольную систем) координат, как показано на рисунке. Пусть в произвольное мгновение t угол поворота стержня был α, а угол наклона нитей О (рис. 241, б). Спроецируем стержень на плоскость хОу (рис. 241, в). Равнобедренный треугольник M»OM1 и прямоугольный треугольник N1M’M имеют равные стороны М’М = M1M»:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Эти два равенства позволяют выразить угол α в обобщенной координате Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Определим в обобщенной координате и положение центра масс:

    zC = l — l cos Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.
    Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для zс и α:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Подставляя эти величины в (217) и учитывая, что стержень длиной 2a имеет момент инерции Вид уравнений лагранжа в потенциальном полеполучим довольно сложное выражение:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    При малых колебаниях можно положить cos 2 Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле=l и sin 2 Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле= 0:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вычисляя потенциальную энергию П системы, так определим постоянную С, чтобы П обращалось в нуль при 0 = 0:

    П = mgl (1 — cos Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле).

    Как видно из этого равенства, при Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле= 0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. § 49), означает устойчивое равновесие. Разложим cos Вид уравнений лагранжа в потенциальном полев ряд. Тогда

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Отбросив все члены выше второго порядка, получим приближенно

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Теперь вычислим члены уравнения Лагранжа:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Подставляя в (263), получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Решение его нам хорошо известно. Оно выражает малые колебания системы, период которых:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Заметим, что если к стержню присоединить тело с неизвестным моментом инерции и из опыта определить период τ1 колебания бифилярного подвеса вместе с телом, то можно определить момент инерции тела.

    Ответ. Малые колебания с периодом Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Колебания системы с двумя степенями свободы

    Малые колебания системы с двумя степенями свободы являются линейным наложением двух главных колебаний

    Малые колебания системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия, описываемые изменением обобщенных координат, представляют собой линейные наложения двух так называемых главных, пли собственных, колебаний системы. В каждом из главных колебаний между амплитудами имеется постоянное соотношение, зависящее от параметров системы, но не зависящее от начальных данных. Каждому из главных колебаний соответствует своя собственная частота, в общем случае отличная от частоты другого собственного колебания системы, и фаза. Колебание системы с двумя или с большим числом степеней свободы, представляющее линейное наложение гармонических колебаний, обычно является сложным и может оказаться даже не периодическим. Поэтому выражения частота или период колебаний для системы, у которой число степеней свободы больше единицы, имеет смысл только по отношению к отдельным главным колебаниям системы. В системе с двумя степенями свободы нетрудно так подобрать начальные данные, чтобы какое-либо одно из двух главных колебаний отсутствовало, тогда можно наблюдать оставшееся главное колебание системы.

    Решим задачу на малые колебания системы с двумя степенями свободы.

    Двойной математический маятник

    Задача №8

    Две материальные точки M1 массы m1 и M2 массы m2 (рис. 242) связаны невесомой нерастяжимой нитью длины l2, а точка M1 связана, кроме того, такой же идеальной нитью длины l1 с неподвижной точкой О. Определить собственные частоты малых колебаний системы в вертикальной плоскости xOy 2 .

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Рис. 242

    Решение. По условию, маятник движется в одной вертикальной плоскости; система имеет две степени свободы и движение описывается двумя уравнениями Лагранжа. Система находится в потенциальном поле тяжести и никаких активных сил, кроме сил тяжести, на систему не действует, поэтому уравнения Лагранжа напишем в виде (263).

    Выберем за обобщенные координаты углы О и φ наклона нитей к вертикали и выразим через них декартовы координаты точек

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Продифференцировав по времени, возведя в квадрат и складывая, найдем квадраты скоростей точек:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Теперь легко вычислить кинетическую энергию T системы:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Определяя потенциальную энергию П, выберем так произвольную постоянную С, чтобы при равновесии системы П равнялось нулю:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Пусть произвольная постоянная C означает потенциальную энергию системы при Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле= φ=180 o , т. е. положим

    Теперь потенциальная энергия системы при любых значениях обобщенных координат выражается равенством

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    При Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле= φ = 0 величина П равна нулю, при остальных значениях П > 0, т. е. П является определенно положительной функцией обобщенных координат.

    Подсчитаем члены уравнений (263) Лагранжа:
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Подставляя эти величины в уравнения (263), получим следующие точные уравнения движения системы:Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Ограничимся малыми колебаниями системы и заменим косинусы единицей, а синусы малых углов — углами. Пренебрежем членами, содержащими квадраты или произведение скоростей, и для упрощения записи обозначим m2:m1 = μ. Уравнения примут вид:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Второе уравнение позволяет упростить первое:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Частные решения этой системы уравнений мы будем искать в виде

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    т. е. в предположении, что обе обобщенные координаты изменяются гармонически, с одинаковыми частотами и фазами, но с разными амплитудами. Подставляя значения углов и их вторых производных в дифференциальные уравнения и сокращая на sin (kt + α), найдем

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Эта система двух уравнений, линейных относительно B1 и B2, может иметь отличные от нуля решения, если определитель системы равен нулю:
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    В теории колебаний это уравнение называют вековым уравнением, или уравнением частот, так как оно позволяет определить частоты главных колебаний системы. При условиях нашей задачи это решение записано в ответе. Оба периода главных колебаний различны между собой и зависят от отношения μ масс точек и от длины l1 и l2 нитей. Один из периодов близок к периоду качаний математического маятника длины l2, другой — к периоду маятника длины l1. Изменяя длину одного из маятников, мы можем период соответствующего главного колебания сделать больше или меньше периода второго главного колебания, однако мы не смогли бы добиться, чтобы оба главных периода качания двойного маятника были бы в точности одинаковы. Этот парадокс был открыт Стоксом и объясняется тем, что написанное выше уравнение частот не имеет одинаковых корней, при которых возможны устойчивые колебания двойного маятника.

    Ответ. Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Задача №9

    В условии задачи вместо жесткого соединения невесомого стержня МЛ с диском сделано шарнирное соединение в точке Л, остальные условия не изменены (рис. 243).

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Рис. 243

    Решение. В отличие от системы, рассмотренной в задаче № 195, здесь система имеет две степени свободы и движение ее может быть описано двумя уравнениями Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые величины φ и хА. При подсчете кинетической энергии скорость точки А мы уже не можем определять как rφ, а должны писать хА. Выражение потенциальной энергии остается прежним и функция Лагранжа имеет вид

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вычислим члены уравнений Лагранжа:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Напишем оба уравнения Лагранжа:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Мы ищем период малых колебаний системы, поэтому, допустив применяемые в подобных случаях упрощения, перепишем эти уравнения в таком виде:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Определяя Вид уравнений лагранжа в потенциальном полеиз первого уравнения и подставляя во второе, получим

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Множитель, стоящий перед обобщенной координатой, выражает частоту колебаний.
    Ответ. Период малых колебаний маятника
    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Задача №10

    Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих параллельно плоскости его симметрии, если масса приведенной в колебание системы pa⅞ιιa т, а момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, равен Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле.

    Решение. На рис. 244 вверху изображен автомобиль, а внизу его динамическая схема. Деформации кузова пренебрежимо малы по сравнению с осадкой опор, поэтому в динамической схеме мы считаем раму совершенно жесткой. Кроме того, мы полагаем, что горизонтальные колебания системы невозможны.

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле
    Рис. 244

    Построим оси декартовых координат с началом в центре масс при равновесном положении системы, направив ось ординат по вертикали вниз. Система обладает двумя степенями свободы и за обобщенные координаты ql и q2 примем ординату центра масс и угол наклона рамы к горизонтальной плоскости.
    Кинетическую энергию системы определим по формуле Кёнига:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Для определения потенциальной энергии заметим, что если рама автомобиля опустится на q1 и при этом наклонится на q2, то задняя опора сожмется на q1+ αq2, а передняя на q1+ bq2. Учитывая жесткости рессор и пиевматиков, обозначим через c1 и c2 приведенные жесткости задней и передней подвески автомобиля. Тогда потенциальную энергию системы определим аналогично тому, как это было сделано в примере § 49:

    Вид уравнений лагранжа в потенциальном поле

    Подставляя найденные значения T и П в уравнения Лагранжа, получим ответ.

    Рекомендую подробно изучить предмет:
    • Теоретическая механика
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Сложение двух сил
    • Разложение силы на две составляющие
    • Определение равнодействующей сходящихся сил
    • Равновесие сходящихся сил
    • Количество движения
    • Момент количества движения
    • Мощность и работа силы
    • Потенциальная энергия

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    🔍 Видео

    №11. Уравнения Лагранжа с потенциальными силами. Уравнения Якоби. Принцип Гамильтона-Остроградского.Скачать

    №11. Уравнения Лагранжа с потенциальными силами. Уравнения Якоби. Принцип Гамильтона-Остроградского.

    Лекция 9 - Обобщенные Координаты Уравнения ЛагранжаСкачать

    Лекция 9 - Обобщенные Координаты  Уравнения Лагранжа

    9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

    9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.

    Форш П. А. - Теоретическая механика - Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа для материальной точкиСкачать

    Форш П. А. - Теоретическая механика - Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа для материальной точки

    Курс по ОДУ: Уравнения Клеро и Лагранжа | Занятие 8Скачать

    Курс по ОДУ: Уравнения Клеро и Лагранжа | Занятие 8

    Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

    Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

    Уравнения Лагранжа #1Скачать

    Уравнения Лагранжа #1

    Т. Уравнения Лагранжа 2 рода. Теория.Скачать

    Т. Уравнения Лагранжа 2 рода. Теория.

    Уравнения Лагранжа второго родаСкачать

    Уравнения Лагранжа второго рода

    Механическая система со связями. Идеальные связи и уравнения Лагранжа 1-го рода.Скачать

    Механическая система со связями.  Идеальные связи и уравнения Лагранжа 1-го рода.

    №4. Уравнения Лагранжа 2 рода. Задача 4.Скачать

    №4. Уравнения Лагранжа 2 рода. Задача 4.

    Внутри уравнения Лагранжа | Дифференциальные уравненияСкачать

    Внутри уравнения Лагранжа | Дифференциальные уравнения
    Поделиться или сохранить к себе: