Уравнения и неравенства с одной переменной 9 класс как решать

Разделы: Математика

В данной статье я хочу поделиться своим опытом работы, накопленным при изучении темы “Метод интервалов” с учениками 9-го класса. Материал рассчитан на 2-3 урока в зависимости от скорости усвоения материала.

Содержание 1-го урока

Рациональное неравенство с одной переменной – это неравенство вида f(x)>0, f(x) n? (а n (x+b/a) n)

Сначала разберёмся, как применить метод интервалов для строгих неравенств.

В основе МИ лежит следующее свойство двучлена (x-a): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (x-a) положителен, а слева от точки а — отрицателен. Продемонстрируем это графически на примере линейной функции у = х-2:

До сих пор мы имели дело с линейными и квадратными неравенствами, а здесь мы имеем дело с произведением трёх сомножителей. Последовательность наших действий такова:

1. вводим функцию f(x)=(x–3)(x+2)(x–5);
2. находим область определения функции; значения этой функции можно вычислить при любом х; D(f) =R;
3. находим корни уравнения f(x) = 0 (нули функции) : х = 3 ; х = -2 или х = 5;
4. изображаем на числовой прямой область определения и нули функции;
5. отмечаем интервалы знакопостоянства: (-; -2), (-2;3), (3;5), (5; +).
6. определяем знак сомножителей на каждом интервале и знаки всех значений функции:

(–; –2)

(5; +)

Следовательно, знаки значений функции распределились следующим образом:

(–; –2)

(5; +)

В каждом из промежутков (–; –2), (–2; 3), (3; 5) и (5; +) функция сохраняет знак, а при переходе через точки –2; 3 и 5 её знак изменяется.

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства (x–3)(x+2)(x–5) > 0 является объединение промежутков (-2;3) и (5; +).

Теперь остаётся записать ответ: (-2; 3) U (5; +).

По этому алгоритму можно решать неравенства вида :

(x–x₁)(x–x₂). (x–x_n) >0 ( 7 + 8х 4 — х 3 — 8 > 0. Ответ: (-2; -1)U(1; + ).

Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида > 0 ( 0 ( 0 ( 2 — 5х + 6)(х 2 + 3х + 2) 0.

Отметим нули функции и проставим знаки значений функции на каждом из интервалов; запишем ответ.

Ответ: (-2; -1) U (2; 3) U (4; +)

Если среди нулей функции есть двукратные, трёхкратные, . n-кратные, то в общем виде имеем неравенство f(x) = (x–x₁) k 1 (x–x₂) k 2. (x–x_n) k n > 0 ( n : точка а делит числовую ось на две части, причем: а) если n чётное, то выражение (х — а) n справа и слева от точки х = а сохраняет положительный знак, в этом случае точку а будем называть точкой чётной кратности; б) если n нечётное, то выражение (х — а) n справа от точки х = а положительно, а слева от точки х = а отрицательно, в этом случае точку а будем называть точкой нечётной кратности.

Продемонстрируем это графически на примере функций y = (x-2) 2 и y = (x-2) 3 :

На этом рассуждении и основан общий метод интервалов для функций вида

1) в этом случае областью определения функции являются все действительные числа;

2) находим корни уравнения f(x) = 0 или нули функции;

3) находим интервалы знакопостоянства;

4) определяем знак функции на каждом из интервалов следующим образом: справа от наибольшего из корней многочлена ставим знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень х_i меняем знак, если k_i— нечётное число, и сохраняем знак, если k_i — чётное число.

То есть, если среди чисел x₁, x₂. x_n есть 2 одинаковых числа, то при переходе через этот нуль значение функции не меняет знак; если три, то меняет и т. д. Итак, если количество одинаковых чисел нечётно – знак меняется, если чётно – не меняется.

Покажу, как работает этот обобщённый метод интервалов для функций вида

Решить неравенство (х + 7)(2х — 5) 3 (x-6) 5 (3x + 10) 4 > 0

Переходим к равносильному неравенству (х + 7) (х – 5/2) 3 (x-6) 5 (x + 10/3) 4 > 0 и далее к

(х – (- 7))(х – 5/2) 3 (х — 6) 5 (x — (- 10/3)) 4 > 0

На числовой оси отметим числа -7; -10/3 ; 5/2,6. Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак плюс. При переходе через точку х = 6 многочлен меняет знак, так как двучлен

(х — 6) возводится в нечётную степень, поэтому в промежутке (5/2; 6) ставим знак минус. При переходе через точку х = 5/2 многочлен меняет знак, так как двучлен (х – 5/2) возводится в нечётную степень, поэтому в промежутке (-10/3; 5/2) ставим знак плюс. При переходе через точку х = -10/3 многочлен не меняет знака, так как двучлен (x — (- 10/3)) возводится в чётную степень, поэтому в промежутке (-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку х = -7 многочлен меняет знак, так как двучлен (х + 7) возводится в первую степень, поэтому в промежутке (-; -7) ставим знак минус. Решением неравенства будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс, т. е. объединение множеств

(-7; -10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +) Ответ: (-7; -10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +)

Рассмотрим еще один пример, где в левой части неравенства стоит дробное рациональное выражение:

Решить неравенство

Перед учащимися на рабочем столе находится карточка с алгоритмом решения неравенств методом интервалов. В общем случае для непрерывной на каждом интервале функции этот алгоритм выглядит так.

1) Найти область определения функции.

2) Найти корни уравнения f(x) = 0 (нули функции).

3) Найти интервалы знакопостоянства (определить знак функции на каждом из интервалов).

4) Выбрать значения переменной, удовлетворяющие требованиям неравенства и записать ответ.

Область определения неравенства — множество всех действительных чисел, удовлетворяющих требованиям x -2 и x 3/2.

В области определения исходного неравенства переходим к равносильному неравенству

(х 2 + 1)(х 2 — 1) 2 (х — 3) 4 (х + 2) 3 (2х — З) 5 2 + 1 > 0 истинно при любом действительном значении х, то последнее неравенство равносильно неравенству

(х — 1) 2 (х + 1) 2 (х — 3) 4 (х + 2) 3 (х – 3/2) 5 2 (x+8) 2 > 0 Ответ:(– ; -8) U (-8; 1)

Пример 2. (x 2 -5x+6) (x 2 -3x+2) > 0 Ответ: (– ; 1) U (3; )

Пример 3. (x 2 -5x+6) (x 2 — 4) (x 2 — 9) > 0 Ответ: (– ; -3) U (-2; 2) U (2; 3) U (3; )

А теперь рассмотрим решение нестрогих неравенств такого типа, в которых требуется указать не только те значения переменной, при которых значение функции больше или меньше нуля, но и не пропустить нули функции.

Здесь типовой ошибкой является потеря изолированного решения. Поясню это на примере.

Пусть требуется решить неравенство (x–2)(x–1) 2 0.

Отметим на координатной прямой нули функции f(x)=(x–2)(x–1) 2 . В этом примере 1 — корень двойной кратности для уравнения (x–2)(x–1) 2 =0 , и 1 является решением неравенства, т. к. неравенство нестрогое.

Ответ: U [2; +)

После моего объяснения ученики решают следующие два неравенства:

Пример 1. Решить неравенство (x 2 –6x+5)(x+3) 2 0.

Пример 2. Решить неравенство x 3 +15x 2 225(x+15).

После тождественных преобразований, не нарушающих равносильность, получим

(x + 15) 2 (x -15)

Ответ:U[15; +)

А теперь рассмотрим решение нестрогих неравенств вида ( 0) .

Решить неравенство решим его для случая « 0″

Здесь точки 3; 4; 5 – нули функции, а точка х = 8 – точка разрыва.

В этом случае особенно важно обратить внимание на область определения функции.

Запишем неравенство в виде .

В области определения функции, где х — любое число, кроме 8, перейдём к равносильному неравенству

(x — 3) 5 (x — 5) 7 (x — 4) 6 (x — 8) 3 0

Ответ: (-; 3] U U [5;8)

После моего объяснения ученики решают следующие два неравенства:

Пример 1.

Ответ: (-4; -3] U [2; 4) U

Пример 2. Ответ:U[2; +)

Обратите внимание, я не требую от учащихся каких либо жёстких рамок оформления решения неравенств; вы видели в моей статье разные способы записи решения. Главное, чтобы не было математических ошибок. Если ученик не записывал содержание каждого шага алгоритма, но правильно его выдерживал, не получил посторонних решений и не потерял решений, оценим его труд высоким баллом.

Очень надеюсь, что с этой статьёй вы пойдёте на урок и успешно его проведёте.

Видео:Неравенства с одной переменной - 9 класс алгебраСкачать

Алгебра

Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ

Подготовка к дипломной, повышение уникальности

Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ

Консультация, сбор материала, повышение уникальности

Помощь в подготовке дипломной. Сопровождение до защиты!

План урока:

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Целые неравенства

Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.

Приведем примеры целых нер-в:

14х 4 + 13х 2 ⩽ 91х 3 + 2

Если бы переменная могла быть в знаменателе, то знаменатель мог бы обращаться в ноль при некоторых ее значениях, что недопустимо в математике.Но так как в целых нер-вах переменная не находиться в знаменателе, то она может принимать любое значение.

Любое целое нер-во можно преобразовать так, чтобы в одной его части (обычно правой) стоял ноль, а в другой части – некоторый многочлен Р(х).

Пример. Преобразуйте нер-во

(х 3 + 7)(2х – 3) >4х(х 2 – 5х + 9)

к виду Р(х) > 0, где Р(х) – это многочлен.

Решение. Раскроем скобки в каждой части нер-ва:

(х 3 + 7)(2х – 3) >4х(х 2 – 5х + 9)

2х 4 – 3х 3 + 14х – 21 > 4x 3 – 20х 2 + 36х

Перенесем слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х 4 – 3х 3 + 14х – 21 – 4x 3 + 20х 2 – 36х > 0

2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 > 0

Ответ:2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 > 0

Как и в случае с уравнениями, у нер-в есть степени. Она равна степени многочлена, стоящего в одной из его частей. Так, степень неравенства в рассмотренном только что примере равна 4, ведь степень полинома 2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 равна 4.

Видео:Урок по теме РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Неравенства первой степени

В общем виде неравенства первой степени выглядит так:

где а и b– некоторые числа, а х – переменная.

Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки « 0

Напомним, что решения нер-в традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):

Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:

Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.

Пример. Решите нер-во

х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)

Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:

Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.

Видео:Уравнения с одной переменной 9 класс МакарычевСкачать

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени в общем виде записываются так:

Примерами таких нер-в являются

5х 2 – 3х + 19 > 0

– 12у 2 + 1,23у + 64 ⩾ 0

462z 2 + 3z– 54 2 + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а 2 + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D 2 + bx + c> 0

надо решить ур-ние ах 2 + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.

Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во

2х 2 – 5х + 2 2 – 5х + 2 = 0.

D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•2 = 25 – 16 = 9

Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:

Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:

Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:

В нер-ве стоит знак « 2 + 9х – 9 ≤ 0

Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние

D = b 2 – 4ас = 9 2 – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9

Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:

Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Пример Решите нер-во

х 2 – 2х + 1 > 0

Решение. Решим квадратное ур-ние

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•1 = 4 – 4 = 0

Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.

Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:

Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в ноль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Пример. Найдите решение нер-ва

– 5х 2 + х – 100 2 + х – 100 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001

Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.

Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Метод интервалов

Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:

Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:

Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.

Пример. Справедливо ли нер-во

(– 12)•453•62,36•725•(– 975)•(– 812,99) 0

Перенеся единицу вправо, получим, что

Графически это можно показать так:

Аналогично, рассматривая нер-ва

можно показать, какие значения принимает каждая из скобок при различных х:

Видно, что скобки (х – 1), (х – 2), (х – 3) и (х – 4) изменяют знаки с «–» на «+» при «перескоке» через точки 1, 2, 3 и 4. Отметим их все вместе на одной прямой и укажем знаки скобок на каждом из образовавшихся промежутков:

Получили 5 промежутков. Если выражение выделено красным, то оно отрицательно на промежутке, а если синим – то положительно. Напомним, что произведение отрицательно, если в его состав входит нечетное количество (1, 3, 5…) отрицательных множителей. На рисунке видно, что на промежутке (1; 2) отрицательны 3 множителя, а на промежутке (3; 4) – один множитель. Следовательно, именно на них всё произведение

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)

оказывается отрицательным. Соответственно на других промежутках произведение положительно. Это можно отметить так:

Штриховкой отмечены промежутки, где произведение отрицательно. Получается, что решением нер-ва является объединение промежутков (1; 2)∪(3; 4). Сами точки 1, 2, 3 и 4 исключены из решения, так как нер-во строгое. Если бы нер-во было нестрогим, то на рисунке точки были бы закрашены, а скобки в промежутке были бы квадратными.

Убедимся в верности этого решения, выбрав произвольное число из каждого промежутка и подставив его в произведение.

Из промежутка (– ∞; 1) возьмем значение х = 0:

(0 – 1)(0 – 2)(0 – 3)(0 – 4) = (– 1)•(– 2)(– 3)•(– 4) = 24 > 0

Из следующего промежутка возьмем х = 1,5:

(1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3)(1,5 – 4) = 0,5•(– 0,5)•(– 1,5)•(– 2,5) 0

Из промежутка (3; 4) выберем х = 3,5:

(3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4) = 3,5•1,5•0,5•(– 0,5) 0

Для решения нер-ва мы просто нашли, при каких значениях выражение слева принимает нулевые значения, а потом расставили знаки в полученных интервалах. Данный способ называется методом интервалов.

Пример. Решите неравенство методом интервалов:

(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):

(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0

Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:

(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0

Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:

Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:

(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) 0

Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:

(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 0

Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].

Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.

Пример. Решите нер-во

(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):

(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0

Делим нер-во на (– 3):

(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0

Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:

Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:

при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) 0

Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).

При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в ноль произведение в левой части.

Видео:Решение неравенств второй степени с одной переменной. Алгебра, 9 классСкачать

Неравенства высоких степеней

Напомним, что если некоторое число а – корень многочлена Р(х) (то есть оно является корнем ур-ния Р(х) = 0), то этот многочлен можно представить как произведение двучлена (х – а) и какого-то другого многочлена Р₁(х). Другими словами, зная корни многочлена, можно разложить его на множители. За счет этого можно решать нер-ва высоких степеней.

Пример. Решите нер-во

х 3 – 3х 2 – х + 3 3 – 3х 2 – х + 3 = 0

Попробуем подобрать корни, начав с целых чисел. Напомним, что все целые корни должны быть делителем свободного члена, то есть в данном случае числа 3. Поэтому «кандидатами» являются числа 1, (– 1), 3 и (– 3). Подставляя их в ур-ние, находим, что оно имеет три корня: 1, (– 1) и 3:

1 3 – 3•1 2 – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0

(– 1) 3 – 3•(– 1) 2 – (– 1) + 3 = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0

3 3 – 3•3 2 – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0

Число (– 3) не подходит, ведь при его подстановке в левую часть ноль не получается:

(– 3) 3 – 3•(– 3) 2 – (– 3) + (– 3) = – 27 +27 + 3 + 3 = 6

Напомним, что у ур-ния 3-ей степени не может быть более 3 корней, поэтому других корней у ур-ния нет.

Зная корни, мы можем разложить многочлен на множители:

х 3 – 3х 2 – х + 3 = (х – 1)(х + 1)(х – 3).

В справедливости такого разложения можно убедиться, раскрыв скобки в правой части этого равенства. Теперь можно переписать исходное нер-во

х 3 – 3х 2 – х + 3 0

при х = 2 имеем (2 – 1)(2 + 1)(2 – 3) = 1•3•(– 1) 0

Получаем, что левая часть отрицательна при х∊(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Пример. Решите нер-во

Решение. Рассмотрим ур-ние

Подбором можно определить лишь один его корень – единицу:

Поделим исходный многочлен на (х – 1):

Получили, что х 3 + 2х – 3 = (х – 1)(х 2 + 2х + 3)

Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен х 2 + 2х + 3? Попытаемся решить ур-ние

D = b 2 – 4ас = 4 2 – 4•2•3 = 16 – 24 = – 8

Получили, что корней нет. Это значит, что функция у = х 2 + 2х + 3 не пересекает ось Ох, и, так как коэффициент а этого трехчлена положителен, то выражение х 2 + 2х + 3 больше нулю при любом х.

Это можно показать и иначе, если выделить полный квадрат из трехчлена:

х 2 + 2х + 3 = х 2 + 2х + 1 + 2 = (х + 1) 2 + 2

Перепишем исходное нер-во с учетом разложения многочлена на множители:

(х – 1)(х 2 + 2х + 3) > 0

Так как выражение х 2 + 2х + 3 положительно при любом значении х, то мы можем поделить неравенство на него:

Отсюда получаем, что х∊(1; + ∞).

Пример. Укажите наименьшее целое решение неравенства

4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 > 0

Решение. Попытаемся найти корень многочлена 4х 3 + 4х 2 – 7х + 2. Целый корень должен быть делителем двойки (свободного члена), то есть возможны варианты 1 и (–1), 2 и (– 2). Из них подходит только – 2:

4•(– 2) 3 + 4•(– 2) 2 – 7•(– 2) + 2 = – 32 + 16 + 14 + 2 = 0

Значит, можно поделить исходный многочлен на х + 2:

Можно записать, что 4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х 2 – 4х + 1).

Далее разложим получившийся при делении квадратный трехчлен на множители, для чего приравняем его к нулю:

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•4•1 = 16 – 16 = 0

Получается, что есть лишь один корень.

х = – b/(2a) = – (– 4)/(2•4) = 0,5

Если у квадратного трехчлена дискриминант равен нулю, то это значит, что он является полным квадратом какого-то выражения. Действительно:

4х 2 – 4х + 1 = (2х) 2 – 2•2х•1 + 1 2 = (2х – 1) 2

Тогда можно записать:

4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х 2 – 4х + 1) = (х + 2)(2х – 1) 2 =

Перепишем с учетом этого исходное нер-во:

4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 > 0

(х + 2)(2х – 1)(2х – 1) > 0

Вынесем множитель 2 из двух последних скобок и поделим нер-во на них:

(х + 2)•2•(х – 0,5)•2•(х – 0,5) > 0

(х + 2)(х – 0,5)(х – 0,5) > 0

Решим его методом интервалов:

Снова из-за двух одинаковых скобок (х – 0,5) на соседних промежутках (– 2; 0,5) и (0,5; 2) получили один и тот же знак. Функция положительна на них, однако она равна нулю при х = 0,5, поэтому это число из решения неравенства исключается. Получаем, что х∈(– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞).

Нам надо указать наименьшее целое решение. Самым малым целым числом из множества (– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞) является (– 1).

Видео:Неравенства с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Дробно-рациональные неравенства

До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:

Любое такое нер-во можно представить в виде

где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во

Перенесем все слагаемые влево:

Далее приведем левую часть к общему знаменателю:

Осталось раскрыть скобки:

В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.

Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:

1. И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:

1. Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:

1. Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:

(– 10)•5 = – 50 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.

Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.

Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.

Пример. Решите нер-во

Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0

Решим его методом интервалов:

Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).

Пример. Решите нер-во

Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.

D = b 2 – 4ас = (– 9) 2 – 4•1•14 = 84 – 56 = 25

Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что

х 2 – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)

Аналогично разложим знаменатель

х 2 – 14х + 45 = 0

D = b 2 – 4ас = (– 14) 2 – 4•1•45 = 196 – 180 = 16

х 2 – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)

Перепишем исходное нер-во:

Ему равносильно другое нер-во:

(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0

Его можно решить методом интервалов:

Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»). В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение. Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель.

Пример. Решите нер-во

Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):

В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Видео:Линейные неравенства. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки. Алгебра 9Скачать

Неравенства с одной переменной

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство, которое можно привести к виду:

ax > b или ax 0, то, разделив обе части неравенства на a, получим:

Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

Если a = 0, тогда неравенство примет вид:

если b отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Во втором случае:

0 · x Пример 1. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

Решение: Переносим -2 в правую часть:

Делим обе части неравенства на -8:

-8x : (-8) Пример 2. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

Решение: Сначала раскрываем скобки:

Переносим 72 в правую часть, а 3y в левую и делаем приведение подобных слагаемых:

Делим обе части неравенства на коэффициент при неизвестном (на 3):

Отмечаем множество значений y на координатной прямой:

📽️ Видео

Алгебра 9 Линейные неравенства с одной переменнойСкачать

Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Решение неравенств с одной переменнойСкачать

Алгебра 9 класс (Урок№16 - Целое уравнение и его корни.)Скачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Алгебра 9 класс (Урок№19 - Решение неравенств второй степени с одной переменной.)Скачать

Решение неравеств с одной переменной. Алгебра, 8 классСкачать

Целое уравнение и его корни. Алгебра, 9 классСкачать

Алгебра 9. Урок 4 - Неравенства линейные - решение.Скачать

Линейное неравенство с одной переменной. 6 класс.Скачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА - Как решать линейные неравенства // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать