Уравнения и кинетическая энергия плоского движения твердого тела реферат

Министерство образования и науки
Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Университет
имени Е.А.Букетова

Кафедра общей и теоретический физики

Караганды – 2003г. Введение

o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

— Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна)

— Свободные оси. Устойчивость свободного вращения

o II. Плоское движение твердого тела

— Кинетическая энергия при плоском движении

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение — траекторией лампочки будет при этом парабола — кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали — нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) — есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с «послушной» и «непослушной» катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую «непослушную» катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

Здесь — скорость центра масс тела, — сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Здесь L — момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, — суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации , возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса относительно неподвижной — точки O’ соотношением:

где R — радиус-вектор от O’ к О, p — полный импульс тела . Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

где F — геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O’ неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

Величина есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим

Поскольку движущаяся точка O — это центр масс тела, то ( — масса тела), и то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x₀ y₀ z₀ , начало которой находится в некоторой точке — полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если не зависит от угловой скорости тела, а — от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) — задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо — движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси , плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

Здесь — это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. — это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), где — составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, — плечо силы относительно оси.

Поскольку ( — момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо можно записать

поскольку в случае твердого тела

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид:

Вектор всегда направлен вдоль оси вращения, а — это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае получаем соответственно и момент импульса относительно оси сохраняется. При этом сам вектор L , определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L , относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

где — расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол равна

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы

где — радиус диска, — угол его поворота. Число оборотов , которое сделает диск до полной остановки,

где — момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила уравновешенная силами со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы и момент которых обеспечивает приращение (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы и направленные противоположно силам и Момент сил и уравновешен моментом сил и возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции — неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA’ соответствует наибольшему, ось BB’ — среднему, а ось CC’ — наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA’ или вокруг оси CC’, можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB’ к успеху не приводят — тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.

Центр удара.

Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар.

Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO’ (рис. 3.9). Если удар (короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются силой F и происходят одновременно).

Вычислим, на каком расстоянии от точки подвеса стержня находится центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO’ дает

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать

где — масса тела, — скорость центра масс. Если — расстояние от оси до центра масс тела, то

и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим

При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника — точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический.

В случае сплошного однородного стержня длиной имеем:

Замечание. Полученное выражение для (3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А.

Пример 1. При ударах палкой длиной по препятствию рука «не чувствует» удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в точку, расположенную на расстоянии свободного конца палки.

Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в точку, находящуюся на высоте

от поверхности бильярда, то есть на выше центра шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад.

Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.

II. Плоское движение твердого тела.

Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно — она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс

2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.

В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.

Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11).

Система уравнений (3.19 — 3.20) имеет вид:

К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи

Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) — для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:

Следует подчеркнуть, что — сила трения сцепления — может принимать любое значение в интервале от О до (сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае

Если цилиндр сплошной, то

Качение без проскальзывания определяется условием

где — коэффициент трения скольжения, — сила реакции опоры. Это условие сводится к следующему:

Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12).

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид:

В проекции на ось вращения (ось y)

Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение

Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:

где — скорость центра масс тела, — скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:

так как (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии:

Здесь — длина наклонной плоскости, — момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра то

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим

откуда для линейного ускорения оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения. Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.

Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся в сплошной среде.

В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого эффекта.

Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей компенсации вредного влияния ветра.

Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта лаборатория навигации и управления.

Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом потоках.

На основе численного решения задачи о плоских движениях аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены области существования всех типов движения маятника, включая режимы автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой аэродинамики.

Также в институте компьютерных исследований проводят значимые исследования по динамике твердого тела.

Это направление исследований института связано с анализом движения твердого тела с широким применением компьютерных методов.

Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к отдельной области науки — компьютерной динамике , которая устанавливает общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов и алгоритмов.

В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа, теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется, главным образом, в исследовании интегрируемых задач , в частности, динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.

Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования, которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых интересных результатов.

Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли — методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.

Видео:Урок 125. Работа, мощность и кинетическая энергия при вращательном движенииСкачать

Уравнения и кинетическая энергия плоского движения твердого тела реферат

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:

где — скорость центра масс тела, — скорость частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:

так как (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кёнига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальной энергии:

Здесь — смещение цилиндра вдоль наклонной плоскости, — момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра то

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим

откуда для линеиного ускорения оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.

III. Движение аксиально симметричного твердого тела, закрепленного в центре масс.

Такое движение можно реализовать с помощью специального устройства, называемого кардановым подвесом (рис. 3.13). Положение тела в подвесе должно быть таким, чтобы оси и пересекались в центре масс. В этом случае при любых возможных движениях тела его центр масс остается неподвижным. При этом ось (в данном случае — ось симметрии тела) может иметь произвольную ориентацию в пространстве.

Задачей о движении твердого тела, закрепленного в точке, занимались многие ученые: Л.Эйлер, большая часть жизни которого была связана с Петербургской Академией Наук, выдающиеся русские ученые Н.Е.Жуковский, С.В.Ковалевская, С.А.Чаплыгин, французские ученые Ж.Лагранж, С.Пуассон, Л.Пуансо. Оказалось, что в общем случае эта задача аналитически неразрешима. Даже в простейшем случае движения твердого тела только под действием силы тяжести точное решение существует лишь в особых частных случаях. Один из этих случаев, когда однородное тело вращения закреплено в центре масс, мы рассмотрим в этой лекции, другой, имеющий отношение к движению гироскопа, — в лекции №4.

Видео:Теорема Кенига, кинетическая энергия тела | Олимпиадная физика, механика | 9, 10, 11 классСкачать

Плоское движение твердого тела в теоретической механике

Содержание:

Плоское движение твердого тела:

Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные точки, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Поэтому плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным движением. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как звенья большинства механизмов и машин, применяемых в технике, совершают плоское движение. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси можно считать частным случаем плоского движения.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Рис. 41

Пусть твердое тело совершает плоское движение, параллельное неподвижной плоскости

Следовательно, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, достаточно изучить движение одной точки этой прямой, например точки . Рассуждая аналогично для любой другой прямой, перпендикулярной плоскости и скрепленной с движущимся твердым телом, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение точек этого тела, лежащих в какой-либо плоскости и образующих плоскую фигуру.

Таким образом, для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости, параллельной неподвижной плоскости . Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой. Различные по форме твердые тела, совершающие плоское движение, имеют в сечениях разные плоские фигуры. В общем случае за плоскую фигуру примем всю плоскость и, следовательно, рассмотрим движение этой подвижной плоскости по другой, неподвижной плоскости.

Видео:Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка (рис. 42), скрепленного с фигурой. Положение отрезка относительно системы координат определится заданием координат какой-либо точки этого отрезка и его направления. Например, для точки нужно задать координаты , а направление задать углом , который образует отрезок с какой-либо осью, например , или ей параллельной осью . Вместо угла можно взять угол между любой другой осью или отрезком, скрепленными с плоской фигурой, и осью , например угол . Тогда , где не зависит от времени. Таким образом, уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и плоского движения твердого тела относительно системы координат имеют вид

Рис. 42

Положение любой точки плоской фигуры относительно подвижной системы координат , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат х и у точки , которые при движении плоской фигуры в ее плоскости не изменяются с изменением времени. Между координатами точки в двух системах координат и существует следующая зависимость (рис. 42):

где — длина отрезка ; — постоянный угол между отрезком и осью .

Раскрывая косинус и синус суммы двух углов и учитывая, что ; , получаем окончательные формулы в следующем виде:

Формулы (1) являются уравнениями движения точки плоской фигуры относительно системы координат .

Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам ее точки относительно подвижной системы координат, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя векторно-матричную символику, (1) можно выразить в форме

где — матрица поворота на плоскости:

Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное

Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое — относительное. В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы координат расположенной в той же плоскости (рис. 42), можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс .

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое, в том числе и бесконечно близкое первому, можно перевести двумя перемещениями — поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким-либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса. Рассмотрим два любых положения плоской фигуры I и II в ее плоскости, определяемые двумя положениями отрезка , скрепленного с этой фигурой (рис. 43).

В общем случае, когда отрезок в одном положении не параллелен тому же отрезку в другом положении, из рис. 43 следует, что плоскую фигуру действительно сначала можно переместить поступательно, например вместе с точкой этой фигуры, причем скрепленный с фигурой отрезок займет положение , а затем повернуть фигуру вокруг точки на угол до совпадения с .

В частном случае, когда отрезок параллелен отрезку , угол равен нулю и, следовательно, вращательного перемещения в этом случае не будет. Очевидно, что в общем случае, когда ф не равно нулю, сначала плоскую фигуру можно повернуть на угол вокруг точки , а затем переместить поступательно. И наконец, совершая плоское поступательное перемещение вместе с точкой , фигуру можно поворачивать вокруг этой точки так, чтобы в момент совпадения точки с точкой эта фигура повернулась на угол .

Действительное плоское перемещение фигуры из положения I в положение II может быть любым, но его всегда можно заменить двумя простыми плоскими перемещениями — поступательным и вращательным — так, чтобы конечное положение плоской фигуры в обоих случаях было одним и тем же.

Действительное перемещение фигуры в ее плоскости из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, в пределе можно точно заменить двумя элементарными простыми плоскими перемещениями — поступательным и вращательным. При этом поступательное перемещение фигуры вместе с какой-либо ее точкой является переносным движением плоской фигуры, а вращение фигуры вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранную точку, относительным движением.

Поступательное перемещение зависит от выбора точки фигуры, вместе с которой совершается это поступательное перемещение, в то время как угол поворота вокруг полюса не зависит от выбора полюса.

На рис. 43 показаны случаи, когда за полюсы выбираются сначала точка , а затем точка . Штриховой линией указаны положения плоской фигуры после поступательных перемещений вместе с точками и .

Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении

Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, аналогично случаю вращения твердого тела вокруг неподвижной оси можно ввести понятия угловой скорости и углового ускорения . Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить , то

Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то и характеристики этой части движения — угловая скорость и угловое ускорение — также не зависят от выбора полюса. Следовательно, для заданного плоского движения фигуры в данный момент они одинаковы относительно подвижной оси, проходящей через любую точку фигуры.

При плоском движении тела угловую скорость и угловое ускорение можно считать векторами, направленными по подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранный полюс. Вектор угловой скорости при плоском движении фигуры направлен по подвижной оси так, чтобы с конца его стрелки можно было видеть вращение фигуры против часовой стрелки. Вектор углового ускорения при ускоренном вращении фигуры совпадает с направлением вектора угловой скорости , а при замедленном вращении эти векторы имеют противоположные направления. Так как и не зависят от выбора полюса на плоской фигуре, то, следовательно, их можно приложить в любой точке фигуры, не изменяя модулей и направлений этих векторов, т. е. и являются свободными векторами. Вектор углового ускорения является первой производной по времени от вектора угловой скорости, т. .

Скорости точек тела при плоском движении

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

где — абсолютная скорость точки плоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры; — скорость точки от переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкой этой фигуры (рис. 44, a); — скорость точки в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки с угловой скоростью .

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой , то все точки плоской фигуры имеют одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки , т. е.

Скорость относительного движения, в случае когда оно является вращательным движением, равна

Скорость расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку , соединяющему точку с полюсом . Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости фигуры. Относительную скорость обозначим . Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку , или просто вокруг точки . Формулу (2) можно выразить в виде

а вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис. 44, а). Используя (3), можно построить в выбранном масштабе треугольник скоростей для точки (рис. 44, б).

Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса. Формула (3) выражает зависимость между скоростями двух любых точек тела при плоском движении в любой момент времени.

Рис. 44

Рис. 45

Пример 1.

Колесо радиусом (рис. 45) катится со скольжением по прямой линии, имея в рассматриваемый момент времени скорость центра и угловую скорость . Определить в этот момент времени скорости точек обода колеса , и , расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Решение. Для точки скорости полюса v0 и от вращения вокруг полюса направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. Следовательно, по формуле (3),

Для точки скорости и противоположны по направлению, поэтому

При качении колеса по прямой линии без скольжения скорость точки равна нулю и, следовательно, в этом случае скорость центра и угловая скорость связаны соотношением

Отсюда угловую скорость можно выразить через скорость центра колеса и его радиус:

В точке скорости и перпендикулярны. Следовательно,

Отметим, что при качении колеса по прямой без скольжения скорости точек обода колеса не направлены по касательной к ободу, за исключением самой верхней его точки .

Формулу (3), устанавливающую зависимость скоростей двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием по времени векторного равенства

справедливого для любого момента времени (см. рис. 44, а).

При дифференцировании векторов учитываем их изменения относительно основной, неподвижной, системы координат , т.е. вычисляем полные производные от этих векторов. Имеем

Очевидно, — скорости точек и .

Вектор соединяет две точки плоской фигуры и, следовательно, не изменяется по модулю при движении плоской фигуры. Производную по времени от такого вектора как вектора постоянного модуля по скалярному аргументу можно выразить в форме

где — вектор угловой скорости вращения , а следовательно, и плоской фигуры, с которой скреплен вектор .

Если ввести обозначение , то

т. е. получаем формулу (3).

Разложение плоского движения на поступательное и вращательное

Плоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости

Плоское движение и его уравнение

Ознакомление с плоским движением твердого тела начнем с частного примера. Представим себе, что закрытая книга лежит на столе. Не раскрывая книги, будем перемещать ее по поверхности стола, но так, чтобы контакт книги со столом ни в одной точке не нарушился; в остальном движение книги произвольно. При этом условии частицы книги опишут траектории, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости стола, и каждая страница будет двигаться в той плоскости, в которой она находилась до начала движения. Такое движение книги назовем плоским.

Вообще плоским движением называют такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Каждую из этих плоскостей можно назвать плоскостью движения тела. Вращение является одним из частных случаев плоского движения тела.

Плоское движение часто встречается в технике. Большинство современных механизмов имеет звенья, совершающие только плоские движения. Такие механизмы называют плоскими.

Плоское движение твердого тела иногда называют плоскопараллельным движением, или движением параллельно неподвижной плоскости. Все эти термины идентичны.

Плоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек тела

Если тело, находящееся в состоянии плоского движения, пересечь плоскостью, в которой лежит траектория какой-нибудь из его точек, то плоская фигура, получившаяся от пересечения тела, будет передвигаться только в этой плоскости. Движения точек тела, лежащих на перпендикуляре, восставленном к плоскости фигуры, совершенно одинаковы, а потому движение тела может быть охарактеризовано движением фигуры в ее плоскости, и для исследования плоского движения тела достаточно исследовать движение плоской фигуры, полученной при пересечении тела одной из этих плоскостей. Так, в приведенном примере движение книги вполне определяется движением какой-либо из ее страниц в плоскости, параллельной плоскости стола.

Это обстоятельство позволяет заменить изучение плоского движения тела изучением движения плоской фигуры в ее плоскости.

Движение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного н относительного вращательного

Пусть плоская фигура (рис. 136) движется в плоскости хОу относительно основной системы координат. Примем какую-либо точку E этой фигуры за начало подвижной системы отсчета и назовем эту точку полюсом. Построим в точке E систему декартовых координат х’Еу’, неизменно связанную с фигурой.
Для определения положения фигуры на плоскости хОу достаточно знать положение системы отсчета х’Еу’, т. е. координаты (х_Е и у_Е) точки Е, и угол, на который повернута фигура, например угол φ между положительными направлениями осей Ox и Ex’. По мере движения фигуры положение подвижной системы координат х’Еу’ относительно неподвижной системы хОу изменяется и, чтобы определить движение фигуры, нужно знать эти величины как некоторые не прерывные однозначные функции времени:

Рис. 136

Эти уравнения являются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости, следовательно, они определяют плоское движение твердого тела.

Обратим внимание на то, что уравнения (112′) и (112″) тождественны с уравнениями (58′) и (58″) движения точки по плоскости или с уравнениями (77) плоского поступательного движения; уравнение же (112″‘) тождественно с уравнением (81) вращения вокруг неподвижной оси. Это наводит на мысль рассматривать движение плоской фигуры как составное движение, состоящее из переносного поступательного движения, определяемого движением полюса Е, и относительного вращательного движения вокруг полюса, точнее, вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно к плоскости фигуры. Поэтому движение плоской фигуры в ее плоскости часто рассматривают как составное и искусственно раскладывают его на два движения, причем переносное обычно выбирают поступательным, а относительное— вращательным.

Такое разложение плоского движения очень удобно и, несмотря на то что оно является чисто искусственным, его широко применяют при решении различных конкретных задач. В частности, преимущества разложения плоского движения на переносное поступательное и относительное вращательное заключаются в том, что при таком разложении кориолисово ускорение всякой точки фигуры равно нулю, а также равны нулю переносные угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а потому угловая скорость и угловое ускорение фигуры в ее относительном вращательном движении вокруг полюса оказываются равными соответственно абсолютным угловой скорости п угловому ускорению фигуры.

Задача №1

Шестеренка радиуса r, катящаяся внутри неподвижной шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг оси О неподвижной шестеренки с угловой скоростью ω₀. При t=0 кривошип расположен вдоль оси Ox (рис. 137). Составить уравнение движения подвижной шестеренки, принимая ее центр за полюс.

Рис. 137

Решение. Шестеренка совершает плоское движение, которое будем рассматривать как составное, состоящее из переносного кругового поступательного движения, определяемого движением точки А, и относительного вращательного движения вокруг точки А. Принятая нами за полюс точка А принадлежит одновременно и шестеренке радиуса r и кривошипу OA. Вращаясь с постоянной угловой скоростью ω₀, кривошип OA за время t повернется от начального горизонтального положения на угол ω_ot и координаты полюса в мгновение t будут:

x = OA cos ω_ot = (R- r) cos ω_ot,

Эти координаты — функции времени, следовательно, написанные равенства представляют уравнения движения полюса А, или, что то же, уравнения переносного поступательного движения шестеренки.

Вращение шестеренки вокруг полюса происходит с иной угловой скоростью ω, чем вращение кривошипа, и, поскольку зацепление внутреннее, — в противоположную сторону. В данном случае кривошип вращается в положительном направлении, а шестеренка—в отрицательном. Предполагается, что шестеренка катится без скольжения, а потому, согласно известной из элементарной физики формуле, передаточное отношение

Заменяя 2 r точек фигуры при ее вращении относительно полюса зависят не только от угла поворота φ фигуры и его производных ω и ε, но также и от расстояния r точек от полюса, а следовательно, и от выбора полюса. Таким образом, хотя угол поворота фигуры, угловая скорость и угловое ускорение фигуры не зависят от выбора полюса, относительные движения, скорости и ускорения точек фигуры зависят от этого выбора.

Рис. 139

Скорости и ускорения точек плоской фигуры

Скорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюса

Скорость точки фигуры в плоском составном движении

Пусть плоская фигура вместе с нанесенными на ней координатными осями х’Еу’ движется в плоскости основной системы координат (см. рис. 136). Пусть К—какая-либо точка плоской фигуры. Ее координаты х’ и y’ не изменяются, потому, что точка К и подвижная система х’Еу’ неизменно связаны с фигурой. Как известно из аналитической геометрии и как видно из рисунка, координаты точки К (х, у) связаны с координатами (x’, у’) той же точки соотношениями

(113)

Для получения проекций скорости на неподвижные оси координат продифференцируем по времени равенства (113), рассматривая φ как функцию времени:

(114 / )

(114)

Последние члены правых частей выражают согласно формулам Эйлера (79) проекции вращательной скорости точки К при вращении фигуры вокруг полюса.

Следовательно, вектор абсолютной скорости любой точки K плоской фигуры равен геометрической сумме двух векторов: 1) переносной скорости в поступательном движении, равной скорости какой-либо точки Е, неизменно связанной с фигурой и принятой за полюс, н 2) относительной скорости во вращательном движении фигуры вокруг полюса Е. Теорему параллелограмма скоростей для любой точки К плоской фигуры запишем так:

(115)

Относительная скорость vr точки К относительно точки Е, как всякая вращательная скорость, направлена перпендикулярно к EK в сторону вращения фигуры.

Выясним, как зависят скорости точек плоской фигуры от выбора полюса. Абсолютные скорости точек, очевидно, не могут зависеть от выбора полюса: они существуют объективно и обусловлены только физическими причинами. Переносные скорости всех точек равны скорости полюса, а следовательно, зависят от полюса. Относительные скорости точек фигуры равны произведению угловой скорости (не зависящей от полюса) фигуры на их расстояния от полюса.

Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек А, В, С, D, F некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и, конечно, не могут зависеть от метода их определения. Рассмотрим эти скорости как составные. Если мы примем за полюс точку F, то получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку А, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограммов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоростей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков переносные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны произведению угловой скорости ω на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку с полюсом.

Рис. 140

Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек А, В, С, D, F некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и, конечно, не могут зависеть от метода их определения. Рассмотрим эти скорости как составные. Если мы примем за полюс точку F, то получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку А, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограммов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоростей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков переносные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны произведению угловой скорости ω на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку с полюсом.

Мгновенный центр скоростей. Пусть какая-либо плоская фигура движется относительно своей плоскости, принятой нами за неподвижную. Будем считать, что эта фигура имеет неограниченные размеры, или, что то же, соединим фигуру неизменно с подвижной плоскостью, которая движется вместе с этой фигурой в той же неподвижной плоскости. Возьмем на фигуре две произвольные точки А и В и к их скоростям υ_А и υ_В (рис. 141, а) восставим перпендикуляры до пересечения в какой-то точке Е. Перпендикуляры к скоростям надо восставлять, разумеется, в точках их приложения, потому что скорость есть вектор прикрепленный.

Рис. 141

Согласно основной теореме (77) кинематики твердого тела проекции скоростей всех точек прямой AE на эту прямую AE равны проекции т. е. равны нулю:

Аналогично равны нулю проекции на BE скоростей всех точек, составляющих прямую BE. Следовательно, скорости точек, составляющих прямые AE и BE, перпендикулярны этим прямым.

Скорость точки E равна нулю, потому что равны нулю ее проекции на две пересекающиеся прямые AE и BE. Назовем эту точку мгновенным центром скоростей и припишем ей индекс мцс:
υ_мцп = 0

В каждое мгновение на подвижной плоскости фигуры может быть только одна точка со скоростью, равной нулю, т. е. только один мгновенный центр скоростей.

Во всякое данное мгновение скорости точек фигуры, совершающей плоское движение, являются вращательными вокруг мцс

Соединим точки A и В прямой (рис. 141, б) и спроецируем на нее скорости точек Aи В:

Опустим перпендикуляр из Emuc на АВ. Тогда, выражая косинусы отношением сторон, получим

(117)

т. е. величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей. Этот вывод можно сделать и из условий неизменяемости фигуры. В самом деле, если фигура движется в своей плоскости, а скорость одной из точек фигуры равна нулю (υ_мцп = 0), то скорости всех прочих точек должны быть пропорциональны расстоянию от мцс.

Таким образом, скорости точек плоской фигуры удовлетворяют сбоим признакам вращательных скоростей: они перпендикулярны и пропорциональны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей.

Предыдущую пропорцию мы можем переписать так:

где ω —угловая скорость фигуры. Точки А и В взяты произвольно, поэтому полученный результат относится ко всем точкам фигуры.

Если сделанные нами построения не умещаются на площади движущейся фигуры, то это не ограничивает общности доказательств, так как эти построения могут быть сделаны не на фигуре, а на неизменно связанной с фигурой воображаемой подвижной плоскости.

Мгновенный центр скоростей играет важную роль в теории плоского движения. Ознакомимся с некоторыми методами, позволяющими найти эту точку на плоскости.

I. Положение мгновенного центра можно определить аналитически.

Задача №2

Определить координаты мгновенного центра скоростей, если известны уравнения (112) движения плоской фигуры.

Решение. Уравнения (114) выражают проекции скорости любой точки, координаты которой х и у. Скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, обозначив его координаты через x_мцп и y_мцп, подставим в уравнения (114) вместо скорости точки нуль, а вместо координат точки —координаты мгновенного центра скоростей:

откуда непосредственно получим координаты мгновенного центра скоростей.

Ответ. ; . (118)

В этих равенствах х_Е и у_Е—координаты любой точки фигуры, a υ_Fx и υ_Ey — проекции абсолютной скорости той же точки.

II. Если известны угловая скорость ω фигуры и линейная скорость υ_k какой-либо одной точки К фигуры, то положение мгновенного центра скоростей можно определить, рассматривая скорость vκ как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей E_мцс. Мы найдем эту точку E_мцс, отложив от точки К перпендикулярно к скорости υ_k отрезок .

В самом деле, вращательная скорость точки перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющей эту точку с центром, а длина этого отрезка равна отношению вращательной скорости точки к угловой скорости. Прямой угол между направлением скорости и перпендикуляром KE_мцс должен быть положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным, если фигура вращается по часовой стрелке.

Задача №3

Диск радиуса r = 20 см (см. рис. 137, стр. 217), катящийся с угловой скорость ω=—50 ceκ -l внутри неподвижного обода радиуса R = 60 см, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг центра О неподвижного обода с угловой скоростью ω₀ = 25 ceκ -l . Найти мгновенный центр скоростей диска.

Решение. Известна угловая скорость диска и может быть определена скорость хотя бы одной из его точек. Такой точкой является палец А кривошипа OA. Точка А принадлежит не только диску, но и кривошипу, а потому ее скорость перпендикулярна к кривошипу и по модулю равна

Рассматривая скорость точки А как вращательную скорость точки диска вокруг его мгновенного центра скоростей, отложим перпендикулярно к ее скорости отрезок . Диск вращается по часовой стрелке, и, чтобы определить, в какую сторону надо восставить перпендикуляр к скорости , мы должны повернуть вектор на 90° по вращению часовой стрелки.

Ответ. Мгновенный центр находится в точке касания диска и неподвижного обода.

Мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек фигуры

III. Распределение скоростей точек фигуры таково, как будто фигура вращается в данное мгновение вокруг мгновенного центра скоростей. Вращательные скорости точек перпендикуляр ны к радиусам траекторий этих точек, а все радиусы пересекаются в центре. Поэтому, чтобы найти мгновенный центр скоростей, достаточно восставить перпендикуляры к направлениям скоростей каких-либо точек фигуры. Точка их пересечения является мгновенным центром скоростей. Перпендикуляры к направлениям скоростей точек
надо восставлять, разумеется, в этих точках, так как скорость есть вектор закрепленный.

Задача №4

Стержни (рис. 142, a) O₁A и O₂B, соединенные со стержнем AB посредством шарниров А и В, могут вращаться вокруг неподвижных точек O1 и O2, оставаясь в одной плоскости (шарнирный четырехзвенник). Даны: длина кривошипа O₁A и его угловая скорость ω₁; длина коромысла O₂B и углы φ₁ и φ₂, которые шатун AB образует с кривошипом и с коромыслом при данном положении механизма.

Найти построением ту точку D шатуна, скорость которой в данное мгновение направлена вдоль шатуна, определить величину этой скорости и угловую скорость ω₂ коромысла O₂B как функции углов φ₁ и φ₂.

Решение. Механизм состоит из четырех твердых звеньев (включая и станину O₁O₂); естественно, что угловые скорости различных звеньев могут быть различны.

Шарнир А принадлежит кривошипу O₁A (рис. 142, б), его скорость перпендикулярна к O₁A и по модулю равна υ_А = ω₁O₁A. Шарнир В принадлежит коромыслу O₂B, и потому его скорость υ_B (неизвестная по величине) направлена перпендикулярно к O₂B.

Но те же точки А и В принадлежат шатуну АВ, а следовательно, их скорости υ_А и и υ_B можно рассматривать как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей шатуна АВ. Перпендикуляры, восставленные в точках А и В к направлениям их скоростей, пересекаются в точке E_мцс (рис. 142, в), где, следовательно, и находится мгновенный центр скоростей. Скорость каждой точки шатуна перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющему эту точку с мгновенным центром скоростей, и пропорциональна длине этого отрезка. Чтобы

Рис. 142

найти точку D, скорость которой направлена вдоль АВ, опустим перпендикуляр E_мсцD нз точки E_мсц на эту прямую. Величина скорости υ_D=ωE_мсцD, где ω — угловая скорость звена АВ, определить которую можно по известной скорости шарнира А:

Подставляя это значение ω в предыдущее равенство, найдем

но из прямоугольного треугольника ADE_мсц имеем

Чтобы определить угловую скорость коромысла O₂B, найдем модуль скорости точки В, принадлежащей шатуну:

Угловую скорость ω₂ коромысла определим по скорости υ_В, так как точка В принадлежит и коромыслу:

Применяя теорему синусов, получим ответ.

Ответ.

Задача №5

Найти мгновенный центр скоростей звена BD (рис. 143, а) для случая, когда: 1) φ₁ = 45 o ; 2) φ₁₂ = 90 o ; 3) φ₁=0 o .

Решение. В этом плоском механизме звено BD продето в качающуюся шайбу C и, двигаясь в плоскости чертежа, постоянно проходит через неподвижную точку С. Следовательно, скорость той точки звена BD, которая в данное мгновение совпадает с точкой С, направлена вдоль звена BD. Точка В (палец кривошипа) описывает окружность с центром в точке А, и ее скорость всегда перпендикулярна к АВ.

1. Рассмотрим первое заданное положение механизма и нанесем на чертеж (рис. 143, б) скорости точки В и точки звена BD, совпадающей при данном положении механизма с точкой С. Восставляя перпендикуляры к скоростям в точках В и С, найдем в точке их пересечения мгновенный центр скоростей звена В.

2. При φ₁₂ = 90 o (рис. 143, в) перпендикуляры, восставленные в точках В и C к направлениям скоростей, становятся параллельными между собой и мгновенный центр скоростей уходит в бесконечность. При даином положении механизма распределение скоростей точек звена BD не соответствует такому, какое бывает при вращательном движении, угловая скорость звена равна нулю, линейные скорости всех точек звена одинаковы.

3. Третье заданное положение механизма изображено на рис. 143, г. Как и в предыдущих случаях, восставляем перпендикуляры к скоростям точки В и к прямой ВС. Перпендикуляры пересекаются в точке С, следовательно, при данном положении механизма мгновенный центр скоростей звена BD находится в точке С. Скорость той точки звена, которая совпадает с точкой С, в данное мгновение равна нулю. Рассматриваемое положение звена называется «крайним положением» (или «мертвым положением»), Картина распределения скоростей точек звена BD в данном положении такова, как будто оно вращается вокруг точки С.

Рис. 143

Ответ. 1) на пересечении линии AB и перпендикуляра, восставленного в точке C к линии ВС; 2) в бесконечности в направлении АВ; 3) в точке С.

Задача №6

Прямая движется в плоскости. Показать, что величина скорости той точки прямой, которая ближе всех отстоит от мгновенного центра скоростей, равна проекции скорости любой другой точки прямой на эту же прямую (рис. 144).

Рис. 144

Решение. Дано: прямая, мгновенный центр скоростей E_мцс и угловая скорость ω этой прямой. Опустив из точки E_мцс перпендикуляр на данную прямую, определим точку D (см. рис. 144) прямой, находящуюся на кратчайшем расстоянии от мгновенного центра скоростей. Скорость точки D равна υ_D=ω . E_мцс D и направлена перпендикулярно к E_мцсD, т. е. по данной прямой.

Возьмем на той же прямой какую-либо другую точку А. Скорость точки А перпендикулярна к АЕ_мцс и равна

Как видно из чертежа,

Так как точку А мы выбрали на прямой совершенно произвольно, то, следовательно, полученное равенство справедливо для всякой точки прямой.

Ответ. Проекции скоростей всех точек прямой на эту прямую равны между собой.

Задача №7

Линейка эллипсографа AB (см. рис. 89 на стр. 139) совершает карданово движение, причем ползун А линейки движется по оси Оу, а ползун В—по оси Ох. При каком положении линейки скорость ползуна А вдвое больше скорости ползуна В?

Решение. Эту задачу, уже решенную нами ранее (см. № 43 на стр. 139, № 57 на стр. 160), можно просто решить, пользуясь мгновенным центром скоростей. Восставим перпендикуляры в точках A и В к направлениям их скоростей. Перпендикуляры пересекутся в точке E_мсц — мгновенном центре скоростей линейки (эти построения на рис. 88 не сделаны). Величины скоростей точек линейки пропорциональны расстоянию этих точек от точки Е_мцс. Чтобы выполнялось условие υ_А=2u_B, точка А должна отстоять от точки E_мсц вдвое дальше, чем точка В, а так как OAE_мсцB является прямоугольником, то х_B = 2у_A.
Ответ. х_B = 2у_A

При качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касания

IV. При решении задач бывает полезно иметь в виду, что если какая-либо плоская фигура катится по другой плоской фигуре, лежащей с ней в одной плоскости (например, подвижная шестеренка катится по неподвижной), то скорость точки катящейся фигуры, находящейся в данное мгновение в соприкосновении с неподвижной фигурой, должна быть равна нулю, если, конечно, качение не сопровождается проскальзыванием или пробуксовыванием. А так как в каждое мгновение на фигуре, совершающей плоское движение, имеется только одна точка со скоростью, равной нулю (мгновенный центр скоростей), то, следовательно, он и находится в точке касания.

Пусть, например, колесо катится по прямолинейному рельсу (рис. 145). Рассмотрим движение колеса как составное, состоящее из переносного поступательного движения вместе с осью колеса О и относительного вращательного движения вокруг этой оси. На рис. 145, а изображены переносные скорости некоторых точек колеса, а на рис. 145, б—вращательные скорости тех же точек относительно центра колеса. В случае качения без скольжения и без буксования вращательная скорость точек, лежащих на ободе колеса, по модулю равна скорости оси, так как при повороте колеса на один полный оборот его ось переместится на 2πr, а точки обода опишут в их относительном вращательном движении окружности той же длины. Абсолютные скорости точек колеса изображены на рис. 145, в. Эти абсолютные скорости можно получить как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей, совпадающего с точкой касания колеса и рельса (рис. 145,г).

Мгновенный центр скоростей лежит на самой катящейся фигуре или на неизменно с ней связанной подвижной плоскости. Точку, совпадающую с мгновенным центром скоростей, но лежащую на неподвижной плоскости, по которой движется фигура, называют мгновенным центром вращений. В рассмотренном примере мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса, а мгновенный центр вращений—на рельсе.

Задача №8

Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом (рис. 146, а): стержень IV посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси O₁ с угловой скоростью ω₄. На конце O₂ стержня находится палец, на который свободно надето колесо II радиуса r₂. При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу III радиуса r₃. При этом благодаря трению колесо II вращает без скольжения колесо I радиуса r₁, свободно насаженное на ось O₁ и неизменно связанное с осью точила. По данному радиусу r₃ наружной неподвижной обоймы найти такое значение r_l, чтобы выполнялось соотношение , т. е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.

Решение. В этом плоском механизме колесо II катится без скольжения по неподвижному колесу III и мгновенный центр скоростей колеса II находится в точке их касания (рис. 146, б). Палец O₂ принадлежит стержню IV, и его скорость

Та же точка O₂ принадлежит колесу II, что позволяет определить его угловую скорость:

Теперь нетрудно определить скорость точки В касания колес I и II. Эта точка отстоит от мгновенного центра скоростей на расстоянии 2_r2, т. е. в два раза дальше, чем точка O₂, поэтому и скорость ее вдвое больше:

Рис. 146

Та же точка В принадлежит колесу I (рис. 146, в) и для определения угловой скорости этого колеса надо поделить окружную скорость на его радиус:

откуда

Это отношение должно равняться 12, т. е.

Но нам задан радиус rs неподвижного обода III. Как видно из чертежа (см. рис. 146, a) r₃ = r₁ + 2r₂.
Решая совместно два последних соотношения, получим ответ.
Ответ.

Задача №9

Доказать теорему: если скорости υ_А и υ_B двух точек А и В плоской фигуры перпендикулярны к прямой АВ, соединяющей эти точки, то мгновенный центр скоростей делит отрезок А В на части, пропорциональные величинам скоростей внешним образом, когда скорости направлены в одну сторону, или внутренним образом, когда скорости направлены в противоположные стороны.

Доказательство. Движение фигуры плоское. Мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой АВ, так как скорости перпендикулярны к прямым, соединяющим их точки приложения с мгновенным центром скоростей (рис. 147, а). Вращение фигуры может происходить в данное мгновение лишь в одну сторону (на нашем рисунке—по часовой стрелке), поэтому’ мгновенный центр скоростей должен лежать по одну сторону от точек А и В, если их скорости направлены одинаково, и между ними, если скорости противоположны (рис. 147, б). В обоих случаях скорости точек пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей:

что и требовалось доказать.

Ответ.

Рис. 147

При плоском движении фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной

Центроиды**. В различные моменты времени мгновенный центр скоростей находится в различных точках. Геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. совокупность всех точек, в которых за время движения находился мцс, называют центроидой. Покажем, что центроида является непрерывной линией и мцс всегда перемешается из точки, в которой он в данное мгновение находится, в какую-нибудь соседнюю, смежную точку.

Пусть в мгновение t мцс находился где-либо в точке А, а через промежуток времени Δt переместился в точку B. В мгновение t₁=t + ∆t точка А уже не является мгновенным центром скоростей и имеет скорость υ_A = ω∙AB, направленную перпендикулярно к АВ. Если промежуток времени Δt мал, то скорость, приобретенная точкой А к моменту t+Δt, тоже должна быть мала, потому что скорости точек фигуры не могут изменяться скачками. При ∆t, стремящемся к нулю, скорость υ точки А тоже стремится к нулю, а так как угловая скорость ω фигуры нулю не равна, то, следовательно, к нулю стремится АВ, т. е. мгновенный центр скоростей во время движения фигуры перемещается непрерывно. Если мы отметим все точки фигуры, которые были или будут мгновенными центрами скоростей, то получим некоторую непрерывную кривую.

Положения мгновенных центров скоростей можно отметить и на подвижной плоскости х’Еу’, неизменно связанной с фигурой, и на неподвижной плоскости хОу. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на подвижной плоскости называют подвижной центроидой. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости (мгновенных центров вращений) называют неподвижной центроидой. В рассмотренном выше примере качения колеса по рельсу подвижной центроидой является обод колеса, а неподвижной центроидой—рельс.

Покажем, что при всяком плоском движении подвижная ueπτpo∙ ида катится без скольжения по неподвижной.

Предположим, что кроме точек фигуры имеется одна геометрическая точка, назовем ее следящей точкой, которая не принадлежит этой плоской фигуре и движется относительно нее, совпадая в каждое мгновение с мгновенным центром скоростей. Скорость следящей точки в ее движении по центроиде называют сменной скоростью мгновенного центра скоростей. Следовательно, подсменной скоростью мгновенного центра скоростей понимают ту скорость, с которой передается от мгновенного центра скоростей смежной по центроиде точке основное его свойство—иметь в данное мгновение скорость, равную нулю.

Во время движения фигуры следящая точка перемещается и относительно неподвижных координат и в самой движущейся фигуре. Ее движение относительно неподвижных координат хОу есть абсолютное движение по неподвижной центроиде. Ее движение по движущейся фигуре есть относительное движение, движение по подвижной центроиде. Пусть (рис. 148, а) кривая ЕЕ изображает неподвижную центроиду, а кривая E₁E₁—подвижную. Предположим, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей пересекаются.

Рис. 148

В таком случае вектор абсолютной сменной скорости должен быть направлен по касательной к неподвижной центроиде, а вектор относительной сменной скорости по касательной к подвижной центроиде. По закону параллелограмма скоростей

Переносной скоростью называют абсолютную скорость той точки среды (в данном случае фигуры), с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка. В данном случае переносная скорость следящей точки есть скорость мгновенного центра скоростей. Следовательно

Мы доказали, что сменная скорость следящей точки по неподвижной центроиде геометрически равна ее сменной скорости по подвижной центроиде. Это означает, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей имеют общую касательную, т. е. не пересекаются, а лишь соприкасаются в этой точке. Наше предположение о пересечении центроид оказалось неправильным и рис. 148, а должен быть заменен рисунком 148, б. Из равенства абсолютной и относительной сменных скоростей следует, что за одни и те же промежутки времени следящая точка передвигается по подвижной и неподвижной центроидам на одинаковые расстояния, т. е., что при движении плоской фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.

Задача №10

Эллипсограф (рис. 149) состоит из линейки AB длиной l, ползуны А и В которой скользят в пазах крестовины. При движении линейки точки ее описывают эллипсы. Указать другой механизм, в котором отрезок AB=l совершает точно такое же движение.

Рис. 149

Решение. Движение линейки AB плоское, а следовательно, оно может быть осуществлено качением подвижной центроиды по неподвижной. Примем прорези крестовины за оси основной системы координат хОу. Подвижную систему координат х’Еу’ свяжем с линейкой, взяв за начало ее середину Е. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к скоростям точек А и В (см. задачу № 89), и, как видно из чертежа, находится на расстоянии OE_мцс= Z от точки О и на расстоянии от середины линейки, причем эти расстояния сохраняются при всяком положении линейки. Следовательно, подвижная центроида, т. е. геометрическое место Emuc относительно подвижной системы х’Еу’, есть окружность

радиуса с центром в Е, а геометрическое место Е_мцс относительно основной системы хОу есть окружность

радиуса I с центром в О.

Если мы сделаем две зубчатые шестерни с внутренним зацеплением радиусов l и и заставим меньшую из них бегать внутри неподвижной большей, то ее диаметр будет совершать такое же движение, какое совершает линейка AB эллипсографа. Такой механизм называют кругами Лагира. На этом примере читатель убедится, как знание теории может помочь при конструировании машин.

Ответ. Круги Лагира.

Скорости точек плоской фигуры можно определить графически планом скоростей

План скоростей. На рисунке 150, а изображена фигура, находящаяся в плоском движении и скорости υ_А и υ_В двух ее произвольных точек А и В. Напомним, что проекции скоростей этих точек на прямую AB равны между собой. От какой-либо точки О, не принадлежащей этой фигуре (рис. 150, б), отложим направленные отрезки и , проведем прямую, параллельную отрезку AB и спроецируем их на эту прямую. По основной теореме кинематики твердого тела в треугольнике Oab сторона ab перпендикулярна направлению АВ. Воспользуемся этим обстоятельством для графического построения, называемого планом скоростей и позволяющего определить скорости всех точек фигуры, если известна скорость одной точки А (рис. 150, в), и хотя бы только направление скорости другой точки В.

Построим план скоростей (рис. 150, г), приняв произвольную точку О за полюс плана скоростей, т. е. за центр плоского пучка абсолютных скоростей точек фигуры. Отложим от полюса луч Oa, равный в некотором масштабе скорости , проведем через полюс прямую, параллельную направлению скорости точки В, а из точки а до пересечения с ней —отрезок ab перпендикулярно направлению АВ, проведенному на фигуре (см. рис. 150, в). Направленный отрезок Ob изображает в том же масштабе вектор скорости точки В.

Пусть скорость точки К фигуры не известна ни по величине, ни по направлению. Соединим точку К с точками A и B фигуры, скорости которых известны (см. рис. 150, в). На плане скоростей (см. рис. 150, г) проведем от точки а линию, перпендикулярную направлению AK на фигуре. По только что доказанному, конец направленного отрезка Ok, изображающего скорость точки К, должен лежать на этом перпендикуляре.
Проведем от точки b плана скоростей прямую, перпендикулярную направлению BK на фигуре, и повторим наши рассуждения: конец направленного отрезка Ok должен лежать и на этом перпендикуляре.

Рис. 150

Следовательно, точка k плана скоростей лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек а и b к направлениям AK и BK, а отрезок Ok плана скоростей изображает скорость точки К фигуры.
Отсюда можно вывести следующий графический метод определения скоростей точек фигуры при плоском движении (см. рис. 150, в, г).
Если известна скорость одной точки А фигуры и направление скорости другой точки В, то для определения скорости всякой точки К фигуры надо:

• 1) от произвольной точки О (полюса плана скоростей) отложить направленный отрезок Oa, изображающий скорости точки А;
• 2) через полюс О провести направление, параллельное направлению скорости точки В;
• 3) от точки а плана скоростей провести прямую, перпендикулярную отрезку АВ, соединяющему точки Л и В фигуры, до пересечения в точке b с указанным в п. 2 направлением. Отрезок Ob изобразит скорость точки В;
• 4) от точки а плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку AK на фигуре, а от точки b плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку BK на фигуре до их пересечения в точке k. Отрезок Ok изобразит скорость точки К;
• 5) многоугольник abk . плана скоростей подобен многоугольнику A, B, K . фигуры и повернут относительно него на 90°, так как стороны их взаимно перпендикулярны.

Поскольку отрезки Oa, Ob, Ok, . соединяющие полюс 0 с вершинами a, b, k, . плана скоростей, изображают абсолютные скорости точек А, В, К, • • •, очевидно, что отрезки ab, ak, bk, . изображают в том же масштабе относительные скорости этих точек.

Таким образом, план скоростей плоской фигуры представляет собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек плоской фигуры, а отрезки, соединяющие концы лучей,—относительные скорости соответствующих точек. План скоростей можно построить не только для неизменяемой фигуры, но и для целого механизма, как это показано при решении задачи № 93.

Задача №11

Определить скорости точек А, В и D механизма, изображенного на рис. 151, а, в положении φ = 30 o и при следующих данных: ω = 20 сек -1 , OA = 50 мм, OC=200 мм, АВ=250 мv, BD = 200 мм.

Рис. 151

Решение. Прежде чем строить план скоростей, нужно точно в масштабе построить план механизма при заданном положении. От точки О’ (рис. 151, б) откладываем перпендикулярно к OA в масштабе отрезок O’a=υ_А-= 20 . 50=1000 мм/сек. На нашем рисунке принят масштаб: 1000 мм/сек = 25 мм. Скорость точки звена АВ, совпадающей при данном положении механизма с точкой С, направлена по АВ. Поэтому от полюса О’ отложим параллельно AB на правление этой скорости, а от точки а проведем перпендикуляр к этому направлению. В пересечении получим точку с. Отрезок acb плана скоростей подобен отрезку ACB механизма. Точку b плана находим по подобию, сохраняя те же пропорции.

Проводим от точки а направление перпендикулярно к AD, а от точки b — направление перпендикулярно к BD и в пересечении находим точку d.

Полученная на плане фигура acbd подобна фигуре ACBD механизма. Скорости точек механизма по величине и направлению изображаются отрезками, соединяющими полюс плана О’ с соответствующими точками плана скоростей.

Ответ. υ_А =1000 мм/сек, y_В = 450 мм/ сек, у_D= 1040 мм/сек.

Задача №12

Скорость топки А фигуры, движущейся в своей плоскости, изображена в заданном масштабе вектором υ_А (рис. 152, а). Указано направление скорости точки В. Определить графически скорости точек В и С.

Решение. Задачу решим тремя способами. Все эти три способа графические и результат зависит от точности выполнения чертежей.

1-й способ (по основной теореме кинематики твердого тела). Проведем прямую AB через точки А и В (рис. 152, б) и спроецируем на нее вектор скорости υ_А. От точки В по этой прямой отложим отрезок, равный проекции на нее υ_А и от конца этого отрезка восставим перпендикуляр до пересечения с направлением скорости точки В. Вектор скорости точки В определен.

Проведем прямую через точку А и С. Спроецируем на нее υ_A, отложим от точки C отрезок, равный этой проекции, и от конца его восставим перпендикуляр к АС. Проведем прямую через точки В и С, спроецируем на нее υ_B, отложим от точки C отрезок, равный этой проекции и от его конца восставим перпендикуляр к ВС. Проводим вектор υ_C от точки C до пересечения перпендикуляров.

2-й способ (по плану скоростей) . От произвольной точки О отложим направленный отрезок Oa-υ_А (рис. 152, в). От той же точки О проведем прямую, параллельную вектору скорости точки В До пересечения с этой прямой в какой-то точке b проведем от точки а отрезок ab перпендикулярно АВ. Вектор скорости точки В представлен отрезком Ob.
От точки а проведем прямую, перпендикулярную АВ, а от точки b, перпендикулярную ВС. Эти прямые пересекутся в какой-то точке с. Отрезок Oc по величине и направлению представляет скорость точки С.

3-й способ (по мгновенному центру скоростей). От точек A и В восставим перпендикуляры к направлениям скоростей до нх пересечения в мгновенном центре скоростей E_мцс . Соединим E_мцс с концом а вектора υ_А. Тангенс угла δ между отрезками Emuc Л и E_мцс а, соединяющими Emuc с началом Лис концом а вектора скорости какой-либо точки A фигуры, равен в принятом масштабе угловой скорости фигуры:

Проведя отрезок E_мцс b под углом δ к отрезку E_мцс В до Пересечения с заданным направлением вектора скорости υ_B, определим скорость.

Для определения скорости всякой точки C фигуры надо провести отрезок E_мцс C и под углом δ к нему отрезок E_мцс с до пересечения в точке с с перпендикуляром, восставленным в точке C к отрезку E_мцс C. Вектор скорости .

Ускорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюса

Ускорение точек фигуры при плоском движении*. Чтобы определить ускорение точки К плоской фигуры, надо продифференцировать равенства (114), выражающие скорость этой точки. Введем обозначения: х₁ = х—х_Е и y₁ = y—у_F и перепишем эти равенства в следующем виде:

По формулам Эйлера (см. 89)

Подставляя, находим
(119)

В правых частях этих равенств согласно (95) вторые члены выражают проекции касательного, а третьи —проекции центростремительного ускорения точки К во вращательном движении фигуры относительно полюса Е. Они отличаются от известных нам равенств (95) только тем, что в данном случае ось вращения проходит не через начало координат О, а через полюс E (рис. 153).

Рис. 153

Эти равенства показывают, что проекции на какую-либо неподвижную ось ускорения каждой точки К фигуры равны алгебраической сумме проекций на эту ось трех его составляющих: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращении фигуры вокруг полюса E и центростремительного ускорения точки К в том же движении фигуры.

Если вместо алгебраической суммы проекций мы пожелаем взять геометрическую сумму ускорений, то вектор ускорения точки K мы определим как сумму трех векторов: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращательном движении фигуры вокруг полюса и центростремительного ускорения точки K в том же движении фигуры, т. е.

(104 // )

где, обозначив через r₁ расстояние данной точки от полюса Е, имеем

Задача №13

Электропоезд при отходе со станции движется по прямолинейному участку пути с ускорением 3 м/сек 2 , причем колеса катятся без буксования и без скольжения. Найти ускорение мгновенного центра скоростей колеса через 2 сек после отхода поезда, если радиус колеса 0,5 м.

Решение. Мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса в точке касания его с рельсом. Движение колеса рассмотрим как составное, состоящее из переносного (поступательного и прямолинейного) движения вместе с центром E колеса и относительного вращательного вокруг оси колеса (рис. 154).

Рис. 154

Скорость поезда, а следовательно, и скорость точки E через 2 сек при равноускоренном движении равна υ-a-rt = 6 м/сек.
Деля эту величину на расстояние точки E от мгновенного центра скоростей E_мцс, находим угловую скорость колеса в конце второй секунды:

Определим также угловое ускорение колеса:

Теперь мы располагаем всеми данными для определения ускорения точек колеса по формуле (104»). Ускорение мгновенного центра скоростей, как и всякой точки колеса, выражено суммой трех составляющих: 1) переносного ускорения ае, равного ускорению полюса Е, но приложенного в данной точке E_мцс (величина ускорения задана 3 м/сек 2 ; если поезд движется влево, то и ускорение направлено горизонтально влево, см. рис. 154); 2) касательного ускорения точки при вращении колеса вокруг центра Е; эта составляющая равна εr = 6 . 0,5 =3 м/сек 2 . Если поезд движется влево, то колеcа вращаются против вращения часовой стрелки и эта составляющая ускорения в нижней точке колеса направлена вправо по касательной; 3) центростремительного ускорения, равного ω 2 r= 144 . 0,5 = 72 м/сек 2 и направленного к центру колеса.

Направления этих двух составляющих у всех точек обода колеса различны. В наинизшей точке абсолютное ускорение найдем, складывая три его составляющие. Оно равно 72 м/сек 2 и направлено вверх. Абсолютная скорость мгновенного центра скоростей в данное мгновение равна нулю, абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей нулю не равно.
Ответ. а = 72 м/сек 2 и направлено вверх.

Обратим внимание на то, что точка фигуры (в данном случае колеса), в которой находится мгновенный центр скоростей, не имеет скорости (υ_мцс =0), но имеет ускорение (α_мцс≠0). Через весьма малый промежуток времени Δt эта же точка фигуры будет иметь некоторую скорость Δυ = α_мцсΔt, перпендикулярную к прямой, соединяющей ее с новым положением мгновенного центра скоростей, т. е. перпендикулярную к общей касательной к центроидам. То же направление всегда имеет и α_мцс.

Ту точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры

Мгновенный центр ускорений при плоском движении

Итак, ускорения точек фигуры складываются из переносного ускорения в поступательном движении вместе с полюсом E и из относительного ускорения во вращательном движении вокруг полюса Е. В поступательном движении ускорения всех точек фигуры одинаковы и равны ускорению полюса Е. Во вращательном движении ускорения всех точек фигуры различны между собой. Если фигура в данное мгновение имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε, то ускорение какой-либо точки K, принадлежащей этой фигуре, по модулю равно:

и составляет с отрезком ЕK угол μ, тангенс которого

Таким образом, различные точки К фигуры имеют при вращении фигуры различные по величине и по направлению ускорения. На всей фигуре нет двух точек с одинаковыми векторами ускорений.

Вместе с тем на самой фигуре или на плоскости, вращающейся вместе с нею, во всякое мгновение есть одна точка, имеющая любой, наперед заданный нами, вектор ускорения a_r. В частности, всегда можно найти на плоскости фигуры такую точку, у которой в данное мгновение вектор ускорения в относительном вращательном движении равен и противоположен вектору ускорения в переносном поступательном движении, а следовательно, абсолютное ускорение этой точки равно нулю. Ее называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры. Мы будем приписывать ей индекс мцу.

Рис. 155

Чтобы определить положение мгновенного центра усорений Е_мцу на плоскости фигуры, отложим (рис. 155, а) от полюса E (за полюс может быть принята любая точка фигуры) отрезок EE_мцу определенной длины:

Пусть этот отрезок составляет с ускорением полюса E угол

Угол μ лежит в пределах между —90° и +90 o . Конечно, если ε > 0, то угол μ надо отмерять в положительном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, если же ε / )

Следовательно, картина распределения ускорений на время dt такова, как будто бы фигура вращается в своей плоскости вокруг Емцу с угловой скоростью ω и с угловым ускорением ε. Это не относится к их нормальным и касательным составляющим, как показано в задаче № 97.

В виду того, что угол μ между абсолютным ускорением точки фигуры и отрезком, соединяющим эту точку с Е_мцу, для всех точек фигуры один и тот же, надо сделать заключение, что Е_мцу находится на пересечении прямых, проведенных под углом к ускорениям точек фигуры (рис. 155, б). Если известны ускорения двух точек фигуры и угол μ, то надо от этих точек под углом μ к их ускорениям провести прямые до их пересечения в точке Е_мцу. В задаче № 96 дан аналитический способ определения Е_мцу.

Задача №14

Определить координаты мгновенного центра ускорений плоской фигуры, если известны ее угловая скорость, угловое ускорение, а также координаты х_Е и у_Е и проекции ускорений а_Ех и а_Еу одной из точек E этой фигуры.

Решение. Проекции ускорений каждой точки К связаны с координатами x_l = x—х_Е и у₁=у — у_Е. этой точки соотношениями 119 (см стр. 235). Ускорение мгновенного центра ускорений равно нулю, поэтому, заменяя в 119 х и у на х_мцу и Умиу и подставляя нули вместо а_х и а_у, получим:

Умножая первое из этих равенств на ω 2 , а второе на —ε и складывая, найдем х_мцу, а умножая первое равенство на +ε, а второе на ω 2 и складывая, найдем ординату.

Задача №15

В планетарном механизме шестеренка радиуса R =100 мм (рис. 156, а) катится против хода часовой стрелки по неподвижной шестеренке радиуса R₁ = 480 мм , имея в данное мгновение угловую скорость ω = 2ceκ -1 и угловое ускорение ε= 1,655 ceκ -2 . Найти построением мгновенный центр ускорений, его координаты (по формулам, выведенным в задаче № 96), найти полное, нормальное и касательное ускорения центра шестеренки О, мгновенного центра скоростей E_мцс и диаметрально противоположной точки А. Определить абсолютное нормальное и абсолютное касательное ускорения точки А.

Решение. Мгновенный центр скоростей находится в точке E_мцс касания шестерен. Окружность подвижной шестерни является подвижной центроидой, а окружность неподвижной шестерни —неподвижной центроидой Построим оси координат с началом в E_мцс, направив ось абсцисс влево, т. е. в ту сторону, куда передвигается точка касания центроид при качении подвижной центроиды по неподвижной. Ось ординат направим вниз (правая система).

Скорость центра О подвижной шестеренки определим по угловой скорости фигуры и по расстоянию точки О от мгновенного центра скоростей

Определим касательное ускорение точки О:

Точка О описывает окружность радиуса R+ R₁= 100 + 480 = 580 мм и вектор касательного ускорения направлен по касательной к окружности, описываемой точкой О. Величину нормального ускорения определим, поделив квадрат скорости точки О на радиус описываемой ею окружности

направлен вектор нормального ускорения к центру окружности, описываемой точкой О.

Вектор полного абсолютного ускорения точки О направлен по диагонали прямоугольника, построенного на этих составляющих и по модулю равен:

Зная ω, ε и ускорение точки О, мы могли бы найти мгновенный центр ускорений и, пользуясь им, определить ускорения остальных точек. Однако целесообразно сначала по схеме (110′), приняв точку О за полюс, найти ускорение мгновенного центра скоростей. Заполнив эту схему, получим (рис. 156, б).

Полное абсолютное ускорение точки E_мцс равно геометрической сумме составляющих. Относительное касательное ускорение равно по величине и противоположно по направлению переносному касательному, их сумма равна нулю. Относительное нормальное направлено по одной прямой, но в противоположную сторону с переносным нормальным ускорением. Следовательно абсолютное ускорение точки E_мцс по величине равно

и направлено к точке О, т. е. по оси ординат в отрицательную сторону. Следовательно:

Точка подвижной шестеренки, которая в данное мгновение является центром скоростей, описывает эпициклоиду и в заданное мгновение находится в точке возврата своей траектории. Таким образом абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей является абсолютным касательным ускорением. Нормальное ускорение мгновенного центра скоростей равно нулю.

Найдем теперь мгновенный центр ускорений. Определим сначала угол μ:

По таблицам определяем

Повернув вектор ускорения а_мцу на этот угол против хода часовой стрелки (потому что в > 0), отложим в найденном направлении отрезок (рис. 156, а)

Конец E_мцу этого отрезка является мгновенным центром ускорений подвижной шестеренки в данное мгновение. Координаты этой точки в выбранной нами системе отсчета можно определить непосредственно по чертежу или же подсчитать по общим формулам, полученным при решении предыдущей задачи № 96,

Теперь для определения ускорения точки А надо знать только ее расстояние от E_мцу. Это расстояние легко определить по формуле аналитической геометрии или по теореме косинуса:

Извлекая корень, находим

Остается лишь подсчитать по формулам относительное нормальное ускорение

и отложить его от точки А по направлению к E_мцу, затем подсчитать относительное касательное ускорение

и отложить его перпендикулярно к E_мцу, сообразуясь со знаком. Полное относительное ускорение можно определить как диагональ прямоугольника или непосредственно подсчитать по формуле

и отложить вектор под углом μ (в нашей задаче +22 o 30 , ) к отрезку AE_мцу.

Движение плоской фигуры мы рассматривали как составное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг полюса, приняв за полюс мгновенный центр ускорений. При таком условии переносное ускорение и ускорение Кориолиса равны нулю и в схеме (110′) остается только одна ее часть. Полное относительное ускорение становится тождественным полному абсолютному ускорению. Но чтобы получить абсолютное нормальное ускорение и абсолютное касательное ускорение точки, мы должны спроецировать это полное ускорение точки на прямую, соединяющую эту точку с мгновенным центром скоростей (а не ускорений), и на прямую, ей перпендикулярную, т. е. надо спроецировать ускорение на главную нормаль к абсолютной траектории точки и на направление абсолютной скорости. Схема (ПО’) принимает вид:

Чтобы вычислить эти проекции, найдем сначала по теореме синусов угол между направлениями на E_мцс и E_мцy ν=12 o 45′ и затем

Приняв E_мцy за полюс, мы достигли того, что абсолютное ускорение всякой точки фигуры стало равно ее относительному ycκopeнию. Но мы должны помнить, что нормальная и касательная составляющие абсолютного ускорения не равны нормальной и касательной составляющим относительного ускорения. Это происходит оттого, что не тождественны между собой абсолютное и относительное движения точек. Так, например, в рассмотренной задаче № 97 точка О в абсолютном движении описывает окружность радиусом R + R_{1 =} 580 мм с центром в точке O₁, а в относительном движении движется вокруг E_мцy по дуге радиуса ОE_мцy, точка А в абсолютном движении описывает гипоциклоиду, а в относительном движется по дуге окружности радиуса 132,5 мм с центром E_мцy.

Понятия о мгновенном центре скоростей и мгновенном центре ускорений плоской фигуры очень удобны для вычислений, но связанные с ними картины распределения скоростей и ускорений не отображают полностью реальное движение фигуры. Это происходит потому, что вводя эти понятия мы рассматривали движение лишь в данное мгновение, при данном положении тела, т. е. пытались рассматривать движение как бы в отрыве от основных условий его существования— времени и пространства. Результаты такого подхода к вопросу, конечно, не могут быть полными и объективными.

План ускорений

Решение задач на тему: ускорение.

Задача №16

Фигура движется в своей плоскости. Известно положение мгновенного центра ускорений E_мцy и вектор ускорения одной точки А фигуры. Найти построением ускорение точки В той же фигуры. На рис. 157 заданы отрезок АВ, точка E_мцy и вектор a_A.

Рис. 157

Решение. Проведя прямую АE_мцy, мы получим угол μ, который составляет ускорения всех точек фигуры с прямыми, соединяющими эти точки с E_мцy. Под таким же углом μ должен быть наклонен искомый вектор a_В к отрезку ВE_мцy. Для определения модуля этого вектора сделаем следующее построение. Повернем вектор a_A на угол μ до его совпадения с отрезком AE_мцy, когда конец повернутого вектора будет в точке A₁. Из точки А, параллельно AB проведем прямую A₁B₁ до пересечения в точке B₁ с BE_мцy. Из подобия треугольников ABE_мцy и A₁В₁Е_мцy заключаем, что отрезок BB₁ представляет модуль ускорения точки В а_В = BE_мцy в том же масштабе, в котором отрезок AA₁ выражает модуль ускорения а_А = AE_мцy. Для получения вектора ускорения точки В остается лишь повернуть отрезок BB₁ на угол μ.

Примечание. Метод, примененный при решении этой задачи, является общим в кинематике плоского движения и им можно определить ускорение любой точки фигуры, если известно положение Е_мцу. Вариант этого метода, называемый методом плана ускорений, позволяет определить ускорения точек фигуры и при неизвестном положении Е_мцу, лишь бы были известны ускорения двух точек фигуры, или ускорение одной точки, направление ускорения другой точки и план скоростей фигуры. Построим план ускорений для отрезка АВ. Для этого отложим от Е_мцу направленные отрезки

Соединив точки а и b, мы получим треугольник ABE_мцу заштрихованный на чертеже и подобный треугольнику ABE_мцу. Действительно оба треугольника имеют по равному углу (AE_мцуB = aE_мцуb)> заключенному между пропорциональными сторонами, причем треугольник abE_мцу повернут относительно треугольника ABE_мцу на угол 180 o -μ. Заштрихованный треугольник называют планом ускорений фигуры, неизменно связанной с отрезком АВ. Существует определенное взаимное соответствие между фигурой и ее планом ускорений, и всякому отрезку, соединяющему две какие-либо точки фигуры, соответствует на плане ускорений вполне определенный отрезок, пропорциональный ему и повернутый относительно него на угол 180°—μ.

Заметим, что наше построение не нарушится, если при построении заштрихованного треугольника мы возьмем вершину не в E_мцу, а в любой точке е неподвижной плоскости. Точку е называют полюсом плана ускорений. Применение плана ускорений к определению ускорений точек фигуры показано в задаче № 99.

Задача №17

Фигура (рис. 158) движется в своей плоскости. По заданным ускорениям точек А и В определить ускорения точек D и С.

Решение. От произвольной точки е вне фигуры откладываем направленные отрезки и . Проводим отрезок ab и от его концов две прямые: от точки а проводим прямую под углом BAD, а от точки b под углом ABD до их пересечения в точке d. Для определения положения точки с плана ускорений надо провести до их пересечения какие-либо две из трех следующих прямых: 1) от точки а прямой ab под углом ВАС, 2) от b прямой ab под углом ABC или 3) от точки d прямой ad под углом ADC. Эти прямые пересекаются в точке с плана ускорений. Направленные отрезки еа, eb, ес и ed представляют векторы абсолютных ускорений точек А, В, C и D, а отрезки ab, bс и т. д. соответствующие относительные ускорения этих точек. Для получения ускорения всякой точки фигуры надо определить подобным же образом соответствующую ей точку на плане ускорений и соединить с ней полюс е (для получения вектора абсолютного ускорения) или точки плана (для получения относительного ускорения относительно соответствующей точки).

Понятие об общем случае движения твердого тела

Движение свободного тела состоит из поступательного и сферического движений

Уравнение движения свободного тела

В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.

Движение свободного твердого тела может быть описано шестью

Рис. 159

уравнениями: тремя уравнениями (78) поступательного движения и тремя уравнениями (96) сферического движения:

x_E=x(t), y_E=y(t), z_E=z (t), ψ = ψ (t), φ = φ(t), = (t) (122)

Во всякое мгновение мы представляем движение тела как поступательное с некоторой скоростью (рис. 159, а) и вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью.

Поступательное движение тела со скоростью υ_E в свою очередь разложим на два поступательных движения, одно из которых происходит со скоростью υ_E1, направленной по мгновенной оси вращения, а другое —со скоростью υ_E2, направленной перпендикулярно ω.

Эту скорость υ_E2 поступательного движения мы представим как пару угловых скоростей (рис. 159, б), момент которой равен υ_E2, а плечо . Тогда (рис. 159, в) одна из двух ω, составляющих эту пару, уравновесится с угловой скоростью, направленной по мгновенной оси вращения, проходящей через полюс E, и останется лишь вращение, происходящее вокруг оси, ей параллельной и отстоящей от выбранного нами полюса на расстоянии h. Кроме того, останется поступательное движение тела со скоростью υ_E1, происходящее в направлении вектора угловой скорости (рис. 159, г).

Следовательно, картина распределения скоростей твердого тела в самом общем случае такова, как будто тело вращается в данное мгновение вокруг некоторой оси и одновременно скользит вдоль нее. Эту ось называют мгновенной осью вращения—скольжения, или мгновенной винтовой осью.

Таким образом, картина распределения скоростей в твердом теле вполне аналогична динамическому винту (см. § 15), выражающему общий случай приведения системы сил, приложенной к твердому телу.
Движение свободного тела мы разложили. на поступательное движение, определяемое движением произвольной точки Е, принятой за полюс, и сферическое движение вокруг полюса E и представили уравнениями движения (122).

Очевидно, что и скорость любой точки К этого тела мы получим как скорость точки в составном движении по параллелограмму скоростей, как сумму скорости полюса и относительной скорости точки при сферическом движении тела вокруг полюса.

Аналогично и ускорение любой точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при сферическом движении тела..

• Мгновенный центр скоростей
• Мгновенный центр ускорений
• Мгновенный центр вращения
• Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
• Трение
• Пространственная система сил
• Центр тяжести
• Кинематика точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Урок 114. Работа. Теорема о кинетической энергииСкачать

Кинетическая энергия тела при плоском движенииСкачать

Задача на теорему об изменении кинетической энергииСкачать

Лекция 06 Динамика твердого телаСкачать

§ 2.11.2. Кинетическая энергия твердого телаСкачать

Потенциальная и кинетическая энергияСкачать

Физика. Кинематика: Плоское движение точек твердого тела. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Момент инерцииСкачать

Кинетическая энергия тела в простейших случаях движенияСкачать

Поступательное и вращательное движенияСкачать

Общая физика | Л17: Механика твердого тела. Тензор инерции. Кинетическая энергия вращения.Скачать

Термех. Динамика. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы - ч.1Скачать

Урок 96. Простейшие задачи на вращение твердого телаСкачать

Кинетическая энергия тела в пространствеСкачать

Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Кинематика твердого тела. Плоское движение. Лекция 2-1Скачать

Плоское (плоскопараллельное) движение твердого телаСкачать