Уравнения и их системы в школьном курсе

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Июня 2012 в 16:36, курсовая работа

Краткое описание

По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.
Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Содержание

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.
Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.
1) Основные определения.
2) Алгебраические системы.
2.1 Системы уравнений первой степени
2.2 Нелинейные системы уравнений
3) Неалгебраические системы.
3.1 Системы, содержащие показательные уравнения
3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Курсовая работа 2.docx

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.

Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.

1) Основные определения.

2) Алгебраические системы.

2.1 Системы уравнений первой степени

2.2 Нелинейные системы уравнений

3) Неалгебраические системы.

3.1 Системы, содержащие показательные уравнения

3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

Тема «Системы уравнений» в школьной программе достаточна важна как для самой математики, так и для других наук.

По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.

Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний.

А в последние годы, когда экзамены принимаются в форме ГИА и ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Анализ сдачи экзаменов в такой форме за прошлые годы показывает, что с решением систем уравнений справляются не более 25 % выпускников; особые затруднения вызывают у них те системы, которые можно решить только графическим способом. Кроме того, с каждым годом усложняются системы уравнений, которые даются в части «С» и требуют полного развернутого ответа.

Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.

На основании этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.

Для достижения цели поставлены задачи:

изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;

Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;

Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики.

Работа состоит из трёх глав. В первой главе затронуты вопросы повторения и систематизации систем уравнений, а также приведён обзор рассматриваемой темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.

I. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ.

Тема: «Системы уравнений» занимает одно из ведущих мест в учебниках алгебры 7-11 классов у различных авторов.

Все школы нашего района большинство работают по учебнику алгебры авторов Ш.А. Алимова и др., поэтому в своей работе я в большей степени ссылаюсь на данный учебник.

Изучение систем уравнений в основной школе в учебнике авторов Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. распределяется между курсами 7,8,9 классов.

В курсе 7 класса на изучение главы: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными» отводится 15 часов.

Основная цель: научить учащихся решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными различными способами и использовать полученные навыки при решении задач.

На тему «Системы уравнений» отводится 2 часа.

Цель первого урока: ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Изложение новой темы начинается с рассмотрения задачи в учебнике:

Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?

Вводится понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы двух уравнений с двумя неизвестными, приводятся примеры. Далее формулируется определение решения системы двух уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений. При закреплении материала отрабатываются навыки выражения одной неизвестной через другую, решаются примеры на проверку, является ли данная пара решением системы. На втором уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения более сложных упражнений, а также проверяется усвоение учащимися данной темы.

На изучение темы: «Способ подстановки» отводится 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы линейных уравнений способом подстановки.

Вначале в устной работе рассматриваются упражнения, которые помогут учащимся при изучении нового материала:

P Выразите переменную у через :

P Является ли линейной функция, заданная формулой:

P Назовите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения . Сколько таких решений имеет данное уравнение?

Далее рассматривается решение задачи из учебника:

решить систему уравнений

Вводится алгоритм решения системы уравнений методом подстановки, рассматривается решение задачи по учебнику:

решить систему уравнений:

При закреплении материала отрабатывается метод на примере систем, у которых в одном из уравнений коэффициент при одном из неизвестных равен единице.

На втором уроке продолжается отработка способа подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, при этом рассматриваются системы уравнений, содержащие дроби, скобки; проводится первичная проверка знаний по теме в виде самостоятельной работы обучающего характера.

На третьем уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений, проводится проверка усвоения учащимися материала.

На тему «Способ сложения» отводится также 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы двух линейных уравнений способом сложения, в необходимых случаях приводя предварительно уравнения системы к виду:

где – целые числа.

Изучение нового материала начинается с рассмотрения решения задач из учебника:

P решить системы уравнений: ,

Затем вводится алгоритм способа алгебраического сложения, далее рассматриваются решения задач в учебнике:

P решить системы уравнений: ,

Второй и третий уроки проводятся аналогично урокам из предыдущей темы; на них проводится выработка навыка применения способа алгебраического сложения к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и проверка знаний по данному вопросу.

На тему «Графический способ решения систем уравнений» отводится 3 часа. Учащиеся из предыдущей главы «Линейная функция и её график» знают определение линейной функции, умеют строить её график, проводить сдвиги графика вдоль оси ординат, читать график. Но в устной работе в начале первого урока по теме, а также на предыдущих уроках полезно включать упражнения типа:

P Принадлежит ли графику линейной функции точка А(0;0); В(0;4); С( ; 0)?

P Проходит ли через точку А(2;6) прямая: ; ; ?

P Известно, что точки А(0;…); В(…;0); С(…;4) принадлежат графику уравнения . Назовите пропущенные координаты.

P Приведите пример линейной функции, график которой параллелен графику функции, заданной уравнением .

P Какие из указанных уравнений с двумя переменными являются линейными:

P В какой точке прямая пересекает ось ОХ? Ось ОУ?

После устной работы рассмотреть текст учебника на страницах 158-159, после чего учащиеся должны усвоить, что графиком любого уравнения является прямая, если хотя бы одно из чисел или не равно 0. Далее ввести правило решения системы графическим способом; обратить внимание учащихся на то, что при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное значение; рассмотреть три возможных случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы. В качестве примеров рассмотреть в учебнике решения задач:

P Найти координаты точки пересечения прямых:

P Решить систему уравнений:

P Показать, что прямые и совпадают.

При закреплении материала решаются задачи на нахождение координат точек пересечения прямых с осями координат, на построение графика уравнения, на графическое решение системы уравнений, в одном из уравнений которой выражена неизвестное .

На втором уроке продолжается изучение графического способа решения систем линейных уравнений, отрабатывается навык построения графиков линейных функций.

На третьем уроке закрепляются знания учащихся в ходе выполнения упражнений, требующих творческого отношения к работе; проводится проверка знаний по теме.

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа. На данный момент учащиеся умели решать задачи на составления уравнения с одним неизвестным, поэтому материал данного параграфа для них является новым. Изучение нового материала можно начать с решения следующей задачи:

P длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22 см. Найти длину и ширину прямоугольника.

Сначала решаем задачу с помощью одной переменной, при этом можно опираться на знания учащихся по данной теме. После этого, учитель объясняет учащимся, что при решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений, и показывает решение данной задачи вторым способом. В заключении дается схема решения задачи с помощью системы уравнений.

На втором и третьем уроках учащиеся закрепляют навыки решения задач методом составления системы уравнений. На этих уроках в устную работу полезно включать задачи такого типа:

P На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

P Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.

P Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?

P Чашка и блюдце вместе стоят 250 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найдите цену одной чашки и одного блюдца.

P Во сколько раз алюминиевый шар тяжелее деревянного шара того же объема, если масса 1 кубического сантиметра – 2,7 грамм, а масса 1 кубического сантиметра дерева – 0,9 грамма?

P Бригада выполнила заказ за 6 дней. Сколько дней потребуется бригаде для выполнения того же заказа, если она будет работать с производительностью труда в 1,5 раза большей; в 2 раза меньшей?

Итоговая проверка знаний по всей главе проводится в виде часовой контрольной работы.

В 8 классе в главе «Квадратные уравнения» продолжается изучение систем уравнений.

В главе на тему «Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени» отводится 3 часа.

Цель этих уроков: повторить способы решения систем уравнений; рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

В начале изучения нового материала необходимо повторить тот материал, который учащиеся знали из 7 класса. Необходимо вспомнить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными, особое внимание уделив способу подстановки.

Затем изучить материал на странице 137, разобрав решение задачи из учебника:

P гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты.

Далее учитель объясняет решение способом подстановки системы уравнений задачи из учебника :

P решить систему уравнений:

На закрепление материала рассматриваются системы уравнений, одно из которых линейное и имеющее коэффициент при каком-то неизвестном, равный единице. На этом же уроке рассматриваются простейшие задачи, типа: даны сумма и произведение чисел. Найти эти числа.

Цель второго урока: закрепить у учащихся знание решения систем уравнений второй степени способом подстановки и способом сложения.

На третьем уроке учащиеся упражняются в решении более сложных систем уравнений, а также использовании систем при решении задач. На этом же уроке проводится проверка знаний по данной теме.

В 9 классе в главе «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» продолжается изучение систем уравнений.

На тему «Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными» отводится 3 часа. Данная тема не является для учащихся новой. Из 7 класса они умеют решать системы линейных уравнений, знают различные способы решения систем. Из 8 класса учащиеся знакомы с системой уравнений, в которых одно уравнение линейное, а другое второй степени или оба уравнения второй степени. Поэтому начать первый урок по теме целесообразно с повторения данного материала, рассматривая это на конкретных примерах. Затем решить методом подстановки систему уравнений: .

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Уравнения в курсе математики средней школы»
методическая разработка по алгебре по теме

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Скачать:

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Предварительный просмотр:

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

Четина Таисия Филипповна

МОУ «СОШ № 64» города Перми

1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………. 5

1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5

1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….…. 9

1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9

1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9

2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

2.2 Разложение на множители………………………………………14

2.3 Линейные уравнения с двумя переменными…………………. 15

2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17

2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21

2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26

2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27

3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29

3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32

3.3 Показательные уравнения……………………………………….34

3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35

3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38

3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов : слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу : « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

Добавили – 20 слив.

Записываем решение задачи:

Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим и решим уравнение.

Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах  вх)∙с=d, (ах  вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать . Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

Например , дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

При изучении темы «Проценты » обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач :

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4

Девочек – 40% — 20 чел.

Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего : 100% — 220 км.

1 день: ? % — 33 км.

Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

х=15; 15% пройдено в первый день.

Эти задачи решаем и по действиям.

К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.

1.3 После изучения темы «Модуль » мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10

х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ

Ответ:  5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ

Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ

х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ

1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ах  b)(сх  d)=0 , то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Видео:Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

Введение.

В России, в настоящее время, идёт становление новой системы образования, ориентированной на вхождение в мировое образовательное пространство. Происходят существенные изменения в педагогической теории и практике учебно-воспитательного процесса. Содержание образования обогащается новыми процессуальными умениями, развитием способностей оперировать информацией, творчески решать педагогические проблемы.

Изменения, происходящие в нашем обществе, предъявляют совсем иные, нежели раннее, требования не только к учителям, но и к подрастающему поколению, которое в недалеком будущем станет активным компонентом государства и ведущей силой в его дальнейшем развитии. Известная формула «Каково общество – такова и школа» думаю, не нуждается в каких-либо подробных комментариях, так как все образовательные структуры любого государства всегда выполняли его социальный заказ и обеспечивали подготовку специалистов необходимого уровня, качества и в требуемой сфере деятельности. Однако у этой формулы есть диалектическое продолжение: «Какова школа – таково и общество». Его можно понимать следующим образом. Школа является мощным фактором социализации индивидуальности человека. Именно в ней на протяжении 9 – 11 лет обучения формируются значимые ценные ориентации для дальнейшей жизни, приобретается личный опыт жизнедеятельности, апробируются и совершенствуются виды и способы поведения для достижения поставленных целей. Образно говоря, школа учит жить. Какую же личность мы хотели бы видеть после получения ею аттестата зрелости? Конечно же, творческую, умеющую видеть и решать жизненно и профессионально важные проблемы. Реформирование системы образования в первую очередь нацелено именно на развитие такой личности, что отмечается в требованиях к системе российского образования, формулируемых в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года».».Эти идеи отражены и в Федеральном Законе «Об образовании». Основная задача образовательной политики — это использование социально – экономических, педагогических, материально – технических условий для формирования и развития личности конкурентоспособного, культурного, социально – нравственного зрелого человека. Анализ ситуации показывает, что сложившаяся в течение десятилетий система образования пока не в состоянии полностью удовлетворить запросы общества и возрастающие потребности людей. Возникает необходимость обозначить основное требование современного педагогического процесса: повышение качества обучения и изучения учебных предметов (в том числе и математики в средней школе).

Мы считаем, что роль учителя в современном педагогическом процессе по-прежнему остается значимой. В своей профессиональной деятельности мы ведем поиск ответов не только на вопросы «чему учить?», «зачем учить?», «как учить?», но и на вопрос «как учить результативно?». Анализируя работы отечественных и зарубежных авторов (Г.К.Селевко, А.Г.Селевко, Д.Г.Левитеса, К.Ф. Гейдебрандта, В.И. Боголюбова, В.П. Беспалько и др.) можно сделать вывод о том, что педагогика в своем традиционном виде медленно трансформируется и все больше внимания уделяет современным технологиям обучения. Среди частных педагогических технологий наибольшей популярностью пользуются технологии совершенствования общеучебных умений, которые позволяют быстро наращивать скорость чтения, письма и вычислений до оптимальных значений без ущерба для качества этих умений. Одной из таких технологий является технология, разработанная В.Н. Зайцевым, элементы которой успешно используются учителями нашей школы вот уже несколько лет. Для реализации любого подхода необходимо остановиться на подготовке целей педагогической деятельности. Потеря целей в педагогическом процессе — одна из самых распространенных причин его неэффективности, работать без цели все равно, что действовать без мысли. В решении этой проблемы нам помогла технология В.П. Беспалько, согласно которой диагностичное задание цели обучения заключается в выборе уровня усвоения, который соотносится с моделью ученика. Названные нами выше технологии, тем не менее, имеют свои минусы. А именно, в меньшей степени эффективно развитие познавательной активности обучающихся. И здесь нам на помощь пришли личностно – ориентированные развивающие педагогические технологии. К этим технологиям относятся, например, такие как: технологии коллективной мыследеятельности (ТКМД) (А.Г.Ривин, В.К.Дьяченко); система развивающего обучения Л.В.Занкова; технология формирования эвристической деятельности (В.Н.Введенский); проблемного обучения (М. Фридман, В. И. Маху и др.), блочно – модульного обучения (М.А.Чошанов, П.Я. Юцявичене и др.) и другие. За время многолетней работы в школе мы пришли к выводу, что необходимо осуществлять комплексный подход к применению педагогических технологий, позволяющих решить противоречия между опытом, накопленным педагогической наукой и недостаточным проникновением этого опыта в практику образования. Моделируя комплекс педтехнологий по принципу совместимости и взаимодополняемости, каждый преподаватель может повысить качество обучения. Как показал опыт, при изучении систем уравнений наиболее эффективными являются проблемное обучение и средства блочно-модульной технологии.

Таким образом, результатом творческой деятельности стало создание работы по теме «Методика изучения систем линейных уравнений в средней школе с использованием технологий развивающего обучения». В этой работе мы провели краткий анализ современного состояния данной темы в школьных учебниках федерального комплекта, разработали свою методику изучения рассматриваемой темы на уроках и занятиях элективного курса на основе проблемного обучения и блочно-модульной технологии. Необходимость разработки данной методики было продиктовано рядом объективных причин. Изучению этой темы в программе средней школы отводится минимум часов, что не соответствует объему необходимого для усвоения материала. Однако очень много алгебраических задач сводятся к умению составлять и решать уравнения и системы уравнений.

Отметим, что является объектом, предметом, и гипотезой исследования. Объект – учебно-воспитательный процесс при изучении систем линейных уравнений в средней школе. Предмет – основные принципы и методология проблемного обучения, блочно-модульной технологии в рамках изучения темы «Системы линейных уравнений». Гипотеза: При изучении темы «Системы линейных уравнений » качество обучения повышается, если педагог применяет проблемное обучение и блочно-модульную технологию.

Цель работы: показать эффективность проблемного обучения и блочно-модульной технологии при изучении систем линейных уравнений в 8классе.

В исследовании решались следующие задачи:

1. Изучить состояние проблемы на современном этапе теории и практики обучения математике.
2. Определить исходные положения, основные принципы проблемного обучения и блочно-модульной технологии.
3. Выявить основные формы и методы реализации блочно-модульной технологии при проблемном обучении.
4. Разработать методику изучения систем линейных уравнений в контексте проблемного обучения средствами блочно-модульной технологии.
5. Проверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Методы исследования: анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, наблюдение, анкетирование, моделирование, эксперимент, статистическая обработка данных, метод экспертных судей.

Видео:Дифференциальные уравнения, Ремизов А. О., лекция 2, 17.02.2024Скачать

ГЛАВА 1.Теоретические основы и методические особенности изучения темы «Системы линейных уравнений» в средней школе с использованием технологий развивающего обучения.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

1.11. Основные принципы и методология преподавания.

В последнее время большое внимание уделяется проблемному обучению, которое позволяет быстро и эффективно овладеть учебным материалом, а также способствует творческому развитию личности учащегося. Проблемное обучение, как известно, возникшее в начале XX века (Дж. Брунер, К.Дункер, Дж.Дьюи, Г.Пойа и др.), получило достаточно полное отражение в работах зарубежных (В. Оконь) и отечественных исследователей (A.B.Брушлинский, A.A.Вербицкий, Т.А.Ильина, Т.В.Кудрявцев, В.Т.Кудрявцев, И.Я.Лернер, A.M.Матюшкин, М.И.Махмутов и др.) путем разработки его теоретических основ. В своих исследованиях ученые определили проблемную ситуацию как начало процесса мышления и рассмотрели этапы этого процесса (С.Л. Рубинштейн), исследовали роль проблемной ситуации в мышлении и обучении (A.M. Матюшкин), разработали типы проблемных ситуаций (A.B. Брушлинский, Т.В. Кудрявцев, В.Т.Кудрявцев, A.M.Матюшкин, М.И.Махмутов), классификацию проблемных задач (В.Оконь), систему проблемных ситуаций, проблем и проблемных задач (И.Я.Лернер), выявили уровни проблемности в обучении (В.А. Крутецкий, Т.В. Кудрявцев) и многие другие аспекты этой проблемы.

О проблемном обучении известно давно. Истоки такого обучения можно найти в далеком прошлом. Так, можно сослаться на высказывание Квинтилиана (ок.35- 95 гг.) в его философско-педагогическом труде «Наставление в ораторском искусстве»: «Ребенок должен бороться за то, чтобы достичь успеха в учении, но следует делать так, чтобы он очень хотел его достичь». При желании можно сослаться и на Сократа, учившего еще раньше Квинтилиана (469- 399 гг. до н.э.), который использовал в обучении метод наводящих вопросов, с помощью которых вел ученика от одного «открытия истины» к другому. Идею активного обучения через постановку проблемы развивали такие педагоги и философы, как Я.А.Коменский, Ж.Ж.Руссо, И.Г.Песталоцци. Опыт организации проблемного обучения накапливался в мировой педагогике на протяжении многих десятилетий. В начале 60-х гг. группа ученых под руководством известного американского психолога А.Осборна провела анализ обширного исследовательского материала и сформулировала обобщенные черты подхода к обучению на основе решения проблем.

Исходные идеи проблемного обучения:

1. Развитие авторской позиции ребенка в образовательном процессе.
2. Безоценочный характер реакции на высказывания учащихся в ходе проблемного обучения.
3. Целостная включенность ребенка в образовательный процесс, связанная и с рациональным познанием, и с интуитивной, часто неосознаваемой эмоционально-личностной сферой.

Под проблемным обучением (problem-based learning) понимается обучение, предусматривающее создание на уроке проблемных ситуаций и обсуждение возможных подходов к их решению, в ходе которого учащиеся учатся применять ранее усвоенные знания и приобретенные навыки и умения и овладевают опытом (способами) творческой деятельности. Наиболее полное определение понятия проблемное обучение дает М.И. Махмутов.

Проблемная ситуация – совокупность условий (речевых и неречевых), стимулирующих учащихся на совершение действия, заданного содержанием ситуации.

В проблемной ситуации мы различаем три разных компонента:

а) потребность учащегося в новом знании или способе действия (“хочу узнать…, научиться…”);

б) неизвестное знание, которое учащийся должен усвоить по проекту педагогических целей;

в) известные знания и сформированные умения (могу сам, без педагога), усвоенные в ходе предшествующей учебы.

Проблемную ситуацию можно создать на основе материала:

а) из истории науки и промышленности;

б) описаний ситуаций профессиональной деятельности;

в) альтернативных методов решения профессиональных задач.

Проблемные ситуации могут быть различными по содержанию неизвестного, по уровню проблемности, по виду рассогласования информации, по другим методическим особенностям (Рис.1.).

Рис.1.

Условиями успешности обучения являются:

• проблематизация учебного материала (знания возникают в результате удивления и любопытства);
• активность ребенка (знания должны усваиваться легко);
• связь обучения с жизнью ребенка, игрой, трудом.

Модель организации учебного процесса можно представить как

“ОБУЧЕНИЕ через ОТКРЫТИЕ”

Модель организации учебного процесса строится на реализации принципа проблемности в обучении.

Принцип проблемности реализуется:

• как в содержании учебного предмета;
• так и в процессе развертывания этого содержания в учебном процессе.

Методы обучения – проблемные:

а) проблемного изложения;

Формы организации учебного пространства коллективные:

а) парное взаимодействие;

б) микро групповое взаимодействие;

в) групповое взаимодействие;

г) межгрупповое взаимодействие.

Методические приемы, которые я использую для создания проблемных ситуаций:

• подвожу учащихся к противоречию и предлагаю им самим найти способ его разрешения;
• излагаю различные точки зрения на один и тот же вопрос;
• предлагаю классу рассмотреть задачу с различных позиций;
• делаю сравнения, обобщения, выводы из ситуации, сопоставляю факты;
• ставлю конкретные вопросы

Этапы решения проблемы

Учащиеся обсуждают, Учащиеся пытаются понять,

что они уже знают. что они еще не знают и

что им нужно узнать и

чтобы решить проблему.

Результативность своей работы можно оценить с помощью критериев:

а) наличие у ученика положительного мотива к деятельности в проблемной ситуации (“Хочу разобраться, хочу попробовать свои силы, хочу убедиться смогу ли разрешить эту ситуацию…);

б) наличие у учащихся положительных изменений в эмоционально — волевой сфере (“Испытываю радость, удовольствие от деятельности, мне это интересно, могу с усилием воли концентрировать свое внимание…”);

в) переживание учащимися субъективного открытия (“Я сам получил этот результат, я сам справился с этой проблемой, я вывел закон…”);

г) осознание учеником усвоения нового как личностной ценности (“Лично мне это нужно, мне важно научиться решать эти ситуации, мне будут эти знания нужны… ”);

д) овладение обобщенным способом подхода к решению проблемных ситуаций: анализом фактов, выдвижением гипотез для их объяснения, проверкой их правильности и получением результата деятельности.

Творческая деятельность ученика, направленная на творческое понимание усваиваемого материала и порождение новых способов действия, ее развития зависит от наличия трех составляющих мышления:

— высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, аналогии, классификации;

— высокий уровень активности, проявляющийся в выдвижении множества гипотез, вариантов решений, нестандартных идей;

— высокий уровень организованности и целенаправленности мышления,

проявляющихся в выделении существенного в явлениях, осознании собственных способов мышления.

Таким образом, задача учителя сводится к формированию указанных компонентов мышления.

Цель проблемного обучения: содействовать развитию у учащихся критического мышления, опыта и инструментария учебно-исследовательской деятельности, ролевого и имитационного моделирования, возможности творчески осваивать новый опыт; поиску и определению учащимися собственных личностных смыслов и ценностных отношений.

Проблемное обучение может быть использовано на различных этапах учебного процесса. Наиболее часто на уроках математики оно используется при изучении нового материала. Проблемное обучение может быть использовано на этапе формирования умений и навыков. В результате проверки на практике сделанных выводов, учениками открывается новая проблема, т.е. формирование умений и навыков переходит в изучение нового.

На схеме показано изменение взаимодействия педагога (П), учащихся и содержания образования (С) при переходе от традиционного обучения к инновационному.

Ограничения:

1. Необходимо больше времени на изучение учебного материала в сравнении с традиционным обучением.
2. Возможна слабая отработка практических умений и навыков учащихся.

Следовательно необходимы дополнительные формы и методы обучения, способствующие отработке практических умений и навыков обучающихся без затраты дополнительного времени. Изучив методическую и научную литературу, накопленный опыт работы учителей, проведя исследование, мы пришли к выводу, что в этом случае наиболее эффективно использование элементов блочно-модульной технологии.

Примеры адаптации теоретического и практического опыта блочно-модульного подхода к обучению в современных условиях мы находим в работах О.Ю.Бурцевой, С.Я.Морозова, Н.Ф.Талызиной, Т.И. Шамовой, В.А.Шибанова. Проблему блочного и модульного подхода к обучению на основе научно-обоснованного построения структуры и содержания исследовали ряд ученых: Н.В. Борисова, В.А.Ермоленко, К.Г. Кязимов, П.А.Юцявичене, М.А.Чошанов; отдельные положения концепции модульного подхода к проектированию учебно-программной документации разработали Т.Т.Новикова, О.А.Павлова и др.Теория модульного обучения, принципы разработки модулей подробно изложены в научных трудах кандидата педагогических наук, доцентом В.С.Збаровским и кандидатом педагогических наук Л.П. Голощёкиной.

Основной целью блочно – модульной технологии является развитие критического мышления учащихся, их рефлексивных способностей, активизация самостоятельной работы учащихся на протяжении всего периода обучения.

Реализация данной цели позволит:

• повысить мотивацию изучения математики;
• повысить качество знаний;
• повысить уровень образовательного процесса в целом.

Рис.4. Схема технологии блочно-модульного обучения.

Исходные научные идеи.

Технология блочно-модульного обучения основана на трех основных принципах.

Принцип системного квантования ориентирует на «сжатие» учебной информации (обобщение, укрупнение, систематизация).

Принцип модульности предполагает фиксирование учебной информации и учебных действий школьников в виде модулей.

Принцип проблемности — целенаправленное создание учебных ситуаций на поиск ошибок.

Выделяются следующие группы ошибок:

• гносеологические (ошибки познавательного характера, совершенные в процессе эволюции знания);
• методические (ошибки преподавания, связанные с нарушением психологических особенностей восприятия, памяти, мышления в процессе обучения);
• учебные ошибки (сгруппированы в специальные таблицы по каждому модулю).

Блоковая форма организации учебных занятий, как утверждает Н.В. Шкарбан, «расширяет возможности использования различных методов обучения, повышает информационную емкость уроков, обеспечивает многообразие видов учебной деятельности учащихся».

Модуль состоит из 12 взаимосвязанных блоков.

Блок «вход» — контрольный. Актуализация опорных знаний и способов действий является своеобразным «пропуском» в проблемный модуль.

Как правило, используются тестовые задания.

Исторический блок — краткий экскурс, раскрывающий генезис (происхождение) понятия, теоремы, задачи. Анализ возникающих при их решении затруднений и ошибок. Постановка историко-научных проблем.

Блок актуализации — опорные знания и способы действия, необходимые для усвоения нового материала, представленного в проблемном модуле.

Экспериментальный блок — описание учебного эксперимента, лабораторной работы для вывода формулировок, экспериментальных формул.

Проблемный блок — постановка укрупненной проблемы, на решение которой и направлен проблемный модуль. Возможно объединение проблемного и исторического блоков.

Блок обобщения — первичное системное представление содержания проблемного модуля. Структурно может быть оформлен в виде блок-схемы, опорных конспектов, алгоритмов, символической записи и т.п.

Теоретический (основной) блок содержит основной учебный материал, расположенный в определенном порядке: дидактическая цель; формулировка проблемы (задачи); обоснование гипотезы; решение проблемы; контрольные тестовые задания.

Блок генерализации — отражение решения укрупненной проблемы и конечное обобщение содержания проблемного модуля.

Блок применения — решение историко-научной проблемы, система задач и упражнений.

Блок стыковки — совмещение пройденного материала с содержанием смежных учебных дисциплин.

Блок углубления — учебный материал повышенной сложности для учащихся, проявляющих особый интерес к предмету.

Блок «выход» — контроль результатов обучения по модулю. Учащийся, не выполнивший то или иное требование блока «выход», возвращается к тому

учебному элементу проблемного модуля, в котором были допущены ошибки.

Для успешного применения модульного обучения рекомендуется использовать несколько правил:

— перед каждым модулем проводить входной контроль знаний и умений учащихся, чтобы иметь информацию об уровне готовности к работе по новому модулю. При необходимости проводится соответствующая коррекция знаний; обязательно осуществляется текущий и промежуточный контроль в конце каждого учебного элемента (чаще это мягкий контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, сверка с образцом и т.д.). После завершения работы с модулем осуществляется выходной контроль. Текущий и промежуточный контроль имеет своей целью выявления пробелов в усвоении для их устранения сразу, а выходной контроль должен показать уровень модуля и тоже обязательно с доработкой. Таким образом, каждый ученик вместе с учителем осуществляет управление учением;

— для успешной работы ученика с модулем важным требованием является представление учебного содержания. Оно должно быть таким, чтобы ученик эффективно его усваивал. Желательно, чтобы учитель как бы беседовал с учеником, активизировал его на рассуждения, поиск, догадку, подбадривал, ориентировал, ориентировал на успех.

Для реализации этого правила большое значение имеет структура модуля.

Структура модуля.

Структура модуля состоит из числа его учебных элементов плюс три:

УЭ-0 — в нем записываются цели модуля,

УЭ — предпоследним — в нем дается резюме (ими обобщение),

УЭ — последний — выходной контроль.

Модуль может иметь следующую форму:

Учебный материал с указанием заданий

Руководство по усвоению учебного содержания

Для учителя важно иметь общие критерии к формированию содержания модуля:

• используя модули, можно осуществлять внутрипредметные и межпредметные связи, интегрировать учебное содержание, формируя его в логике содержания учебного предмета;
• другой критерий связан с необходимостью осуществлять дифференциацию учебного содержания. Нижним пределом будет уровень обязательной подготовки. Другой уровень — выше обязательного.
• важным критерием построения модуля является структурирование деятельности ученика в логике этапов усвоения знаний: восприятие, понимание, осмысление, запоминание, применение, обобщение, систематизация. И здесь есть большая возможность осуществить проблемность в обучении;
• в модуле должна быть возможность для повторения основного содержания. Эта возможность реализуется через учебный элемент «резюме». Хорошо, если обобщение сделано не только словесно, но и в форме таблиц сравнительных характеристик, графиков, диаграмм и т.д.

Главным критерием эффективности использования блочного и модульного подходов является результативность работы.

Блочно – модульная технология обучения “обеспечивает каждому учащемуся достижение поставленных дидактических задач, представляет учащимся самостоятельный выбор индивидуального темпа продвижения по программе и саморегуляции своих учебных достижениях (максимальная индивидуализация продвижения в обучении)”.

Система уроков на основе блочного подхода может быть представлена в виде схемы.

Обучение ведется по принципу постепенного накопления знаний, переход к следующему модулю осуществляется после полного усвоения предыдущего, причем каждым учащимся индивидуально. Уроки по блочно-модульной технологии вызывают у учащихся гораздо меньше напряжение, тревогу, беспокойство, страх, утомляемость. Степень понимания изучаемого материала гораздо выше, чем на традиционных уроках. Все это позволяет сохранять уравновешенное психическое состояние.

Опыт работы по данной технологии показал ее преимущества:

• возможность многоуровневой подготовки (что определено структурой блока);
• создание условий для развития коммуникативных навыков и навыков общения учащихся, тесного контакта с преподавателем через индивидуальный подход;
• создание условий осознанного мотивационного изучения учебных дисциплин;
• уменьшение стрессовых ситуаций в период сдачи зачётов или экзаменов.

В модульное обучение очень хорошо вписывается вся система методов, приемов и форм организации учебно-познавательной деятельности учащихся. Словом модули можно использовать в любой системе обучения и тем самым усиливать ее качество и эффективность. Наиболее удачным является применение модулей в системе проблемного обучения при изучении систем уравнений.

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

1.12. Системы линейных уравнений в школьном курсе математики и в математике как науке.

1.12.1. Краткая историческая справка.

Среди сотни задач, содержащих в египетских папирусах, подавляющее большинство связано с повседневной жизнью и относится к распределению хлеба, зерна, скота, к измерению полей. Многие из них решены методами арифметики .Однако имеется задачи , в которых по – существу решались линейные уравнения.

В современной записи они выглядят так

х+ах=в, или х+ах+вх=с

Буквенные обозначения, которые мы используем, вошли в математику лишь в Европе XVI века. До этого времени ученые всех стран и народов в течении многих столетий решали уравнения с числовыми коэффициентами, т.е. вместо букв а, в, с уравнения содержали какие- либо числа.

1.12.2. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных ( Метод Гаусса)

Современная алгебра, как наука, представляет собой обширный раздел математики, состоящий из большого числа дисциплин (теория групп, колец, полей, линейная алгебра и т.д.). Предметом изучения современной алгебры являются операции, обладающие некоторыми, вполне определенными свойствами, и множества, над элементами которых установлены эти операции (кольца, поля, группы). Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных ( Метод Гаусса)

Исторически первым наиболее распространенным точным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую ( вида треугольника или трапеции) систему.

Определение: Ступенчатой системой (или системой ступенчатого вида) называется система линейных уравнений вида

Если r=n , то система называется треугольной. Ясно, что в этом случае она будет определенной. Если же r n, то r неизвестных х ,х ,…,х могут быть выражены через n-r остальных неизвестных, называемых «свободными» неизвестными или параметрами. В этом случае ступенчатая система будет неопределенной, она имеет бесконечно много решений, зависящих от n-r параметров. Неизвестные х ,х ,…,х при этом называют главными.

Опишем метод Гаусса в общем виде, т.е. покажем, как данную систему линейных уравнений с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.

Пусть имеем систему линейных уравнений 1 записанную в общем виде.

m – число уравнений, n- число неизвестных, а R, i=I,m, j=I,n b R

Можно считать а =0. В противном случае необходимо перенумеровать строки или столбцы так, чтобы в левом верхнем углу коэффициент был отличен от нуля.

Исключим неизвестную х начиная со второго уравнения. Для этого первое уравнение умножим на и прибавим ко второму уравнению; затем первое уравнение умножим на и прибавим к третьему уравнению и т.д. наконец, первое уравнение умножим на и прибавим к последнему уравнению. В результате получим систему вида 2.

В итоге исключили переменную х . Заметим, что число уравненийв системе 2 может разве лишь уменьшиться, т.к. если в результате применения элементарных преобразований встретиться уравнение вида

0х +0х+…+0х =0 ( Тождественный нуль), то его можно отбросить, при этом получим равносильную систему. Аналогичные рассуждения применим к остаточной части системы 2 и исключим неизвестную х

Предположим , что а = 0 и проведем аналогичные преобразования с остаточной частью системы и исключим переменную х и т.д.

Процесс исключения неизвестных продолжаем до тех пор, пока не получим систему ступенчатого вида, т.е. вида трапеции или треугольника.

Запишем ступенчатую систему в общем виде 3 ( для удобства переименуем коэффициенты при неизвестных и свободные члены)

Замечание 1: Если в результате применения элементарных преобразований появилось уравнение вида, 0х+0х+…+0х=b, где b=0, то система 3 несовместна, а, следовательно, и равносильная система 1- тоже несовместна.

Замечание 2: Если в результате применения элементарных преобразований появилось уравнение вида 0х+0х+…+0х=0, то его нужно отбросить – поэтому число r уравнений в системе 3 может быть меньше, чем в системе 1.

Заметим, что по построению системы 3 диагональные элементы

с =0,i=I,r. В системе 3 могут быть две ситуации:

1. Если r=n, где r- число ступеней в системе 3, а n- число неизвестных, то система 3 будет ступенчатой треугольного вида. Решаем систему 3 « с конца». Из последнего уравнения находим х , затем подставляем найденное значение для х , в предпоследнее уравнение – находим х , и т.д. Из первого уравнения находим х , Система 3 , а значит, и система 1 имеет единственное решение : n- мерный арифметический вектор ( с ,с ,…,с )
2. Если r n, то система 3 имеет вид трапеции. Тогда переменные х ,х ,…,х переносятся вправо и принимаются за параметры. После чего система приобретает треугольный вид и ее решаем « с конца». Решения будут зависеть от (n-r) параметров . Перенесенные х ,х ,…,х — независимые переменные или . Переменные х ,х ,…,х зависимые переменные, они выражаются через (n-r) параметров. В этом случае система 3 , а значит, и система1 имеет бесчисленное множество решений, зависящих от ( n-r) параметров.

По методу Гаусса

А) Система имеет единственное решение, если r=n

В) Система имеет бесконечно много частных решений , зависящих от (n-r) параметров, если r n, где n- число неизвестных, r – число ступеней.

С)Система не имеет решений, если встречаются противоречивые уравнения.

1.12.3. Особенности преподавания в 7 – 9 классах.

Как показали исследования психологов, отношение обучающихся к учению зависит от того, насколько учитель ориентируется в преподавании, поэтому знания учителя не должны ограничиваться только школьным материалом. Но учитель также должен учитывать возрастные и индивидуальные особенности учащихся. Например, форма изложения материала, описанная в пункте 1.2.2. не приемлема в средней школе. Что же должен знать учитель об особенностях преподавания в 7-9 классах?

В старшем подростковом возрасте (14– 15 лет) ведущая деятельность – это общение, где главным мотивом поведения подростка является стремление найти свое место среди сверстников. Оценки товарищей приобретают первостепенное значение, нежели оценки поведения или отдельных действий подростка учителем. В этом возрасте старший подросток максимально подвержен влиянию группы сверстников и ее ценности становятся его ценностями. В общении и совместной деятельности происходит бурное усвоение социальных норм и проецирование их на свою личность.

Специфическое преобразование претерпевает и процесс учения. Освоение мышления в понятиях дает возможность проникать в сущность предметов и явлений, понимать закономерности между ними. Однако отсутствие житейского опыта приводит к перестройке мотивационно-познавательной сферы, возникает интерес по отношению к определенному учебному предмету, который позднее может оказаться ложным в силу опять же-таки отсутствия опоры на непосредственный личный опыт. В связи с этими явлениями центральными новообразованиями можно назвать абстрактное мышление, самосознание, закрепление половой идентификации, появление чувства «взрослости».

Кризис старшего подросткового возраста выражается в следующих новообразованиях: дедуктивное мышление, переоценка ценностей, эффект неадекватности. Причем последнее новообразование достаточно болезненно ощущается старшими подростками и может проявляться не только в скрытых переживаниях, но и в агрессивной внешней форме.

В итоге сказанного следует, что надо тактично помогать старшему подростку, чтобы у него сформировалось правильное, объективное представление о себе. Следует четко сформулировать требования к ответам учащихся: для хорошего и удовлетворительного ответа недостаточно простого воспроизведения предлагаемой информации, необходимо требовать проявления самостоятельных и разнообразных навыков интеллектуальной работы. Специальной педагогической и методической задачей должно стать формирование у школьников адекватной самооценки в учебной деятельности, способствующей развитию правильного отношения к собственным успехам и неудачам. Большое значение в этом плане имеет формирование правильного отношения подростков к своим учебным ошибкам. Ученик должен усвоить, что ошибки в какой- то мере неизбежны в ходе нормальной познавательной деятельности и могут помочь глубже понять изучаемый материал.

1.12.4. Различные подходы к изучению темы «Системы линейных уравнений» в учебниках.

Тему «Системы линейных уравнений» нельзя отнести к легко усваиваемым. Ее традиционное изучение сосредоточено в рамках курса 7 класса, что позволяет полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда умений и навыков, но чистого времени на изучение темы отведено немного. Прежде всего, отметим, что при изложении данной темы реализуются многие общие методические особенности, характерные для курса в целом. Проведем сравнительный анализ подходов к изучению систем линейных уравнеий в различных учебниках

Учебники по курсу алгебры для 7-9 классов под редакцией Г. В. Дорофеева являются непосредственным продолжением учебников математики для 5-6 классов под ред. Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. Все они представляют собой целостную систему, построенную на единых психолого-педагогических и методических принципах.

Как и в 5 — 6 классах, по каждому классу предлагается учебный комплект: учебник, дидактические материалы, рабочая тетрадь, при этом каждое пособие несет свою функциональную нагрузку и имеет свое место в учебном процессе. Этот комплект дополняется сборником контрольных и проверочных работ для 7-9 классов, реализующим современные взгляды на контроль, а также по классными методическими пособиями. Система, представленная в комплекте, обеспечена мультимедийным сопровождением, являющимся органической составной частью комплекта. Оно позволяет на качественно ином уровне реализовать методические идеи учебников, усилить такие ведущие для данной системы формы учебной деятельности, как наблюдение, эксперимент, исследование.

В то же время учебник по каждому классу является основным и, в определенном смысле, самодостаточным пособием, позволяющим организовывать полноценный учебный процесс. Остальные составляющие комплекта учитель может использовать (или не использовать) по своему усмотрению.

Концепция курса, реализованная в учебниках, основывается на следующих положениях:

-повышение развивающего потенциала школьной математики, интеллектуальное развитие учащихся и, прежде всего, таких его компонентов, как интеллектуальная восприимчивость, способность к усвоению новой информации, подвижность, гибкость, независимость мышления;

-усиление общекультурной составляющей курса, внимание к практико-ориентированному знанию, акцент на формирование умения применять полученные знания в реальных ситуациях;

-обеспечение условий для получения каждым школьником математической подготовки, соответствующей его интересам, склонностям и способностям.

Содержание курса отражает перспективные направления развития школьного математического образования и полностью соответствует новому стандарту школьного математического образования. Здесь продолжается развитие вычислительной культуры школьников в ее современном понимании, активно формируется алгебраический аппарат, причем

учащиеся овладевают широким и практически значимым кругом умений. При введении буквенного исчисления пересмотрено соотношение алгебраического и функционального подходов в пользу первого, что существенно упрощает трудный для учащихся материал и ускоряв овладение техникой преобразований. Функциональную линию отличает ярко выраженная прикладная направленность, а также постоянная взаимосвязь аналитического и графического аспектов; графические представления по мере развития естественным образом встраиваются в другие разделы курса. Последовательно проводится новая для нашей школы содержательно-методическая линия, включающая комбинаторику, элементы теории вероятностей и статистику, которая органично сочетается традиционными вопросами курса и существенно усиливает его практическое и прикладное звучание.

Содержание курса развивается «по спирали», что позволяет возвращаться к знакомому материалу на новом уровне, формировать системные знания; при этом последовательно реализуется принцип «разделения трудностей».

Важнейшей методической особенностью учебников являете реализация уровневой дифференциации. Учебники в целом содержат достаточный объем материала для работы с учащимися разного уровня способностей, что позволяет учителю строить учебный процесс с учетом реального уровня класса, группы учащихся, конкретного ученика. Упражнения и задачи к пунктам разделены на уровни А и Б и представлены в широком диапазоне сложности. Кроме того, каждая глава содержит специальный пункт «Для тех, кому интересно», выходящий за рамки круга обязательных вопросов, позволяющий углубить знания, познакомиться с новыми приемами решения задач. Одновременно по каждой главе явно указывается «нижняя планка» усвоения материала, достижение которой достаточно для продвижения по курсу.

К другим методическим особенностям учебников относятся:

-мотивированное и доступное изложение теоретических сведений;

-целенаправленное обучение приемам и способам рассуждений, создание условий для формирования навыков исследовательской деятельности;

-личностно-ориентированный стиль изложения, широко

использование диалога «учебник — ученик», привлечение современных сюжетов в теории и задачном материале;

Методический аппарат обеспечения усвоения материала в учебниках предусматривает включение в систему упражнений советов, указаний, образцов решения, использование интересных для учащихся форм заданий -с выбором ответа, задач-исследований, исторических задач.

В плане преемственных связей с другими курсами математики данная система учебников является открытой. В работу по ней можно включиться не только в 5-ом, но ив 7-ом классе, при этом учащиеся окажутся в комфортной ситуации «второго прохода» некоторых сложных вопросов и смогут лучше усвоить их. Учебники 7-9 классов можно использовать в сочетании с любым из существующих учебников геометрии, причем практика показывает, что подготовка, полученная учащимися в 5 — 6 классах, позволяет вывести преподавание геометрии в 7 классе на новый уровень.

В настоящее время ведется работа над завершением данной линии учебников для старшего звена, уже имеется учебник для 10 класса, ориентированный на профильный уровень содержания образования, и находится в производстве учебник 11 класса. В то же время объем математической подготовки и уровень развития, обеспечиваемый курсом к концу 9 класса, позволяет ориентировать учащихся на любой отвечающий их интересам профиль, а учителю — выбирать любой из существующих учебников.

Ниже приводится более подробная характеристика содержания по каждому из учебников данной серии.

Характеристика содержания учебника 7 класса.

Отбор содержания и выбор методических подходов осуществлены с учетом возможностей и особенностей восприятия учащихся 12-13 лет. Это нашло отражение как в отказе от рассмотрения на этом этапе некоторых сложных теоретических понятий (функция, тождество, равносильность уравнений), так и в наполнении курса материалом, практически значимым, более интересным и доступным для детей данного возраста.

В соответствии с общей концепцией курса, согласно которой раздвигаются временные рамки и увеличивается удельный вес арифметической составляющей, в содержание 7 класса включен блок арифметических вопросов. Здесь внимание уделяется дальнейшему развитию вычислительной культуры школьников, обучению различным приемам сравнения дробей, выполнения действий с рациональными числами, вычислениям с процентами. С 7 класса при решении задач с реальными данными начинает использоваться калькулятор. Рассматриваются такие практически значимые вопросы, как прямая и обратная пропорциональности, изучение которых в 6 классе (как это делалось традиционно) не может быть организовано на необходимом уровне и, в связи с этим, осуществляется чрезвычайно формально. Как и в 5 — 6 классах, определенное внимание уделяется арифметическим (а фактически, логическим) способам решения задач как средству формирования приемов рассуждений, анализа и сопоставления данных, и в конечном итоге, развития мышления учащихся.

Акцент здесь делается также на рассмотрение зависимостей между реальными величинами, в том числе, на работу с размерностями.

К 7 классу отнесено начало систематического изучения буквенного исчисления. Алгебраический материал изучается в два прохода. В первом из них появление буквенных равенств мотивировано опытом работы с числами, осознанием и обобщением приемов вычислений. Свойства арифметических действий на этом этапе становятся для учащихся законами преобразований буквенных выражений, при этом список постулируемых законов определяется педагогической целесообразностью. Целью второго прохода является формирование умений выполнять преобразования целых выражений.

Развитие формально-оперативного аппарата делает естественным переход к алгебраическому методу решения задач, что одновременно служит мотивом для овладения способами решения уравнений. Основное внимание в 7 классе уделяется линейным уравнениям. Кроме того, рассматриваются уравнения, для решения которых используется разложение на множители.

К алгебраическим фрагментам курса примыкает блок, связанный с работой на координатной плоскости. Его целью является дальнейшее практическое освоение координатной плоскости формирование первичных представлений о графиках, развитие умений анализировать и интерпретировать графики реальных зависимостей. Особенностью изложения материала в этом разделе является организация весьма разнообразной практической деятельности (в том числе по построению графиков кусочно-заданных зависимостей), основанной на небольшом числе доступных пониманию теоретических фактах.

Получает дальнейшее развитие вероятностно-статистическая линия. Здесь вводятся статистические характеристики ряда распределений: среднее арифметическое, мода, размах. Продолжается формирование представлений о вероятности случайного события и построении вероятностной модели. Для этого выбран статистический подход к понятию вероятности — через эксперимент со случайными исходами. При решении комбинаторных задач усиливается роль логических рассуждений, базу для которых составляет опыт, приобретенный в процессе многократного использования метода полного перебора. Решаются задачи на основе комбинаторного правила умножения, вводится формула для подсчета числа перестановок.

В учебнике Ю.Н.Макарычева и др. (издательство «Просвещение») в 7-м классе системы линейных уравнений изучаются после темы « Формулы сокращенного умножения», на которую по программе отведено 19 часов. Система упражнений в учебнике расширена, выделены три уровня сложности. В конце учебника имеются задачи повышенной трудности, есть материал по историческим сведениям. Предлагаются следующие методы решения систем линейных уравнений : подстановка, метод сложения и графический. Учебник содержит много задач на составление систем уравнений.

Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича (издательство «Мнемозина») является функционально-графическая линия. Последовательность изложения некоторых вопросов знакома учителям по учебникам А.Н. Колмогорова. Системы линейных уравнений изучаются в 7 классе. Автор свой учебник считает пособием для неспешного домашнего чтения. В книгах для 7–9-х классов он делает много отступлений и замечаний. Особенностью учебника является то, что системы линейных уравнений изучаются непосредственно после темы : « Линейная функция» Изданы также учебники для углубленного изучения математики, содержание этих учебников расширено за счет включения дробно-линейной функции, теории делимости, уравнений высших степеней, иррациональных уравнений и неравенств, корня степени n и других вопросов..

Учителя математики нашей школы ведут преподавание по учебникам Г.В. Дорофеева. Выбирая учебник для работы, надо хорошо знать его особенности, на что он нацелен, кроме «выполнения программы». В учебнике ключевыми положениями концепции курса алгебры являются:

• математика в школе – не наука, а учебный предмет;
• математика – предмет скорее гуманитарный, чем естественнонаучный, предмет, основная ценность которого состоит в его общекультурной значимости;
• стержень курса – математический язык и «мягкое» математическое моделирование;
• приоритет в школе отдается функционально-графической линии.

Надо знать «сильные» стороны учебника и способы компенсации его «слабых» сторон, не драматизируя само наличие недостатков. Одна из сильных сторон учебника – использование заданий развивающего характера.

Видео:Урок 4. Уравнения и системы уравнений. Алгебра ОГЭ . Вебинар | МатематикаСкачать

1.13. Методико-педагогические проблемы при изучении систем линейных уравнений в средней школе.

В совокупности все рассмотренные выше причины (количество часов на изучение данной темы по базисному плану, состояние учебной литературы, возрастные и психологические особенности подростков и т.д.) порождают ряд проблем. Каковы же эти проблемы?

Уравнения, как правило, вызывают затруднения, поэтому требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. Большинство ошибок связано с формальным и поверхностным усвоением учащимися основных понятий и методов решения уравнений.

В некоторых случаях трудности могут возникнуть из-за слабых знаний по ранее изученным темам . Перечислим типичные ошибки, допускаемые учащимися при решении уравнений и систем уравнений: неправильно найден неизвестный компонент уравнения, неумение производить действия с отрицательными числами, не подходящий выбранный способ решения системы , найденное решение системы не соответствует условию задачи и т.д. Другой трудностью является хроническая нехватка времени, отводимого программой на изучение уравнений и систем уравнений.

На протяжении нескольких лет мною проводилось анкетирование по выявлению у обучающихся трудностей и пробелов в знаниях по рассматриваемой теме, отношения к математике и мотивов её изучения. Предлагались анкеты, по их результатам составлялись диаграммы, в которых было показано следующее: повышение интереса к математике в процессе обучения, эмоциональное отношение к процессу изучения математики, уровень испытываемых трудностей в усвоении математического материала, уровень знаний. Приведем пример одной из таких анкет.

1. Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие? Получены ли новые знания и умения?
2. Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.
3. Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?
4. Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?
5. Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?

Существует несколько хороших пособий по решению уравнений и систем уравнений, содержащих большое количество разноуровнего тренировочного материала с подробными решениями, в том числе и для самостоятельной работы, предназначенных для углубленного изучения школьного курса математики. Эти пособия могут быть использованы учителями математики для подготовки к урокам и организации дополнительных занятий со школьниками (авторы пособий: Л.О.Денищева, Л.В. Кузнецова , М.К. Потапов, С.Н. Олехник). Методические же разработки в основном созданы силами учителей, носят частный характер, могут применяться в рамках обмена опытом.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

1.14. Применение методических разработок на практике.

C уравнениями учащиеся знакомятся еще в начальной школе, но с системами уравнений в 8 классах. После изучения темы “ Квадратные уравнения”. Затем на протяжении всего школьного курса алгебры 9–11 кл. мы продолжаем решать с учащимися системы уравнений, постепенно добавляя новые типы после изучения соответствующего материала в учебнике. В 8 классе на изучение систем уравнений выделяю 19 часов . Куда входят такие темы как: уравнения с двумя переменными, линейное уравнение с двумя переменными и его график, система уравнений, решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными, графическая интерпретация, решение текстовых задач составлением систем уравнений.

1.14.1. Методика изучения систем линейных уравнений в курсе алгебры 8 класса.

Итак, первое знакомство обучающихся с системами линейных уравнений происходит при изучении темы №4 «Системы линейных уравнений» (19 час) в 8 классе.

Эффективности преподавания можно добиться, используя элементы блочно-модульной технологии.

Блок 4

М1 М2 М3 М4 М5 М6 М7

Рис.9. (Приложение1 «Структура модуля 7»).

Модуль7 – системы линейных уравнений

Информационный цикл Практический цикл Практический цикл

(Самопогружение) (отработка навыков

и проверка знаний)

На первом уроке (информационный цикл) рассматривается весь теоретический материал, решаются упражнения. На втором уроке (практический цикл, самопогружение), ставится цель, выделяются опорные и, планируется деятельность учителя и ученика. Ученик работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений. К понятию системы уравнений с двумя переменными учащихся подводит задача об определении координат точки пересечения прямых.

Желательно на стенде «Сегодня на уроке» при изучении метода подстановки оставить такую запись:

Алгоритм решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

1. Выразить у через х из первого уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х , полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений ( х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шагах.

На третьем уроке (практический цикл, отработка навыков и проверка знаний) необходимо проведение самостоятельной работы обучающего характера и проверочной работы.

Продемонстрируем методику изучения систем линейных уравнений на разных этапах уроков фрагментально, т.е. не на примере одного урока, а при рассмотрении эпизодов нескольких уроков.

Введение нового понятия. При первичном ознакомлении с новым учебным материалом (с применением проблемного обучения) следует: а) создать проблемную ситуацию; б) включить учащихся в проблемную ситуацию и сформировать учебную цель; в) решить проблему; г) проанализировать, обобщить и оценить работу по решению проблемы и осуществлению учебной цели. Каждый ученик должен иметь право и фактически участвовать в постановке частных целей учебной работы, в планировании этой работы или принимать участие в их обсуждении, если цели и планы задаются извне. Рассмотрим методику введения понятия систем линейных уравнений на уроке. Формирование понятия содержит два этапа: чувственный (состоящий в образовании ощущений, восприятий и представлений) и логический (переход от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования).

Тип урока (на котором вводится понятие) и применение педагогической технологии: изучение и первичное закрепление новых знаний, модульная технология.

Интегрирующие цели модуля:

• Усвоить определение системы уравнений.
• Уметь решать простые системы линейных уравнений (графически, методом подстановки и сложения).
• Развивать учебные умения и навыки в самостоятельной работе с учебником, умение классифицировать, обобщать и делать выводы.
• Способствовать развитию логического, критического мышлений.

Схема ввода понятия:

Блок актуализации® Блок «вход»® Исторический блок

📹 Видео

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Закончить учёбу чтобы сдать себя в рабы!? На что мы тратим школьное время!?Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Системы уравнений 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать