- Решение уравнений, сводящихся к квадратным
- Биквадратные уравнения
- Метод разложения на множители
- Метод замены переменной
- Выделение полного квадрата
- Примеры
- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: трехчленные уравнения и уравнения вида (ax + b)(ax + b + c)(ax + + b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
- Трехчленные уравнения
- Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
- Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
- Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах
- Уравнение 1
- Уравнение 2
- Уравнение 3
- 📺 Видео
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D gt 0$, $z_ = frac<-b pm sqrt> $. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.
Если D = 0,$z_0 = -frac$. Проверить условие $z ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = pm sqrt$.
Шаг 4. Работа завершена.
Шаг 1. $z = x^2 ge 0, z^2+7z-30 = 0$
$z_1 = -10 lt 0, z_2 = 3 gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ = pm sqrt$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
- множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
- множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
- вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
- группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
- формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
- метод неопределённых коэффициентов;
- выделение полного квадрата и т.п.
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = frac$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное quad сложное quad уравнение iff <left< begin Новая quad переменная quad (урав. quad связи quad со quad старой quad переменной \ Исходное quad урав. quad в quad «упрощ.» quad виде end right.>$
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 iff <left< begin z = x^2 ge 0 \ az^2+bz+c = 0 end right.> $$
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax+b sqrt+c = 0 iff <left< begin z = sqrt ge 0 \ az^2+bz+c = 0 end right.> $$
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^+bx^n+c = 0 iff <left< begin z = x^n \ az^2+bz+c = 0 end right.> , n in Bbb Q $$
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Раскроем скобки:$ x^2-x = frac$. Сделаем замену:
$$ z = frac Rightarrow z(z-2) = 24 Rightarrow z^2-2z-24 = 0 Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -4 \ z_2 = 6 end right.$$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ left[ begin x^2-x = -4 \ x^2-x = 6 end right. Rightarrow left[ begin x^2-x+4 = 0 \ x^2-x-6 = 0 end right. Rightarrow left[ begin D lt 0, x in varnothing \ (x-3)(x+2) = 0 end right. Rightarrow left[ begin x_1 = -2 \ x_2 = 3 end right. $$
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ = a Biggl(x+frac Biggr)^2 — frac = a Biggl(x+ frac Biggr)^2- frac, D = b^2-4ac $$
Нами выделен полный квадрат $(x+frac)^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D ge 0$.
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ left[ begin x^2+2-sqrt = 0 \ x^2+2+sqrt = 0 end right. Rightarrow left[ begin x^2 = sqrt -2 gt 0 \ x^2 = -(2+sqrt) lt 0 end right. Rightarrow x_1,2 = pm sqrt<sqrt-2> $$
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 iff <left< begin z = x^2 ge 0 \ 2z^2+7z-4 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = frac = left[ begin z_1 = -4 lt 0 \ z_2 = frac gt 0 end right. $$
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 iff <left< begin z = (x+3)^2 ge 0 \ z^2-10z+24 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = 4 \ z_2 = 6 end right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin (x+3)^2 = 4 \ (x+3)^2 = 6 end right. Rightarrow left[ begin x+3 = pm sqrt \ x+3 = pm sqrt end right. Rightarrow left[ begin x_ = -3 pm 2 \ x_ = -3 pm sqrt end right. Rightarrow left[ begin x_1 = -5 \ x_2 = -1 \ x_ = -3 pm sqrt end right. $$
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
Делаем замену: $x+4 sqrt-60 = 0 iff <left< begin z = sqrt ge 0 \ z^2+4z-60 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -10 \ z_2 = 6 end right.$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 iff <left< begin z = (x-1)^3 \ z^2-7z-8 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -1 \ z_2 = 8 end right.$
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin (x-1)^3 = -1 \ (x-1)^3 = 8 end right. Rightarrow left[ begin x-1 = -1 \ x-1 = 2 end right. Rightarrow left[ begin x_1 = 0 \ x_2 = 3 end right. $$
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -6 \ z_2 = 7 end right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin x^2+6x = -6 \ x^2+6x = 7 end right. Rightarrow left[ begin x^2+6x+6 = 0 \ x^2+6x-7=0 end right. Rightarrow left[ begin D = 12, x = frac<-6 pm 2 sqrt> \ (x+7)(x-1) = 0 end right. Rightarrow left[ begin x_ = -3 pm sqrt \ x_3 = -7 \ x_4 = 1 end right. $$
Делаем замену: $ frac + frac = 2 iff left[ begin z = x^2+3 ge 3 \ frac + frac = 2 end right.$
Решаем уравнение относительно z:
$$ frac + frac = 2 Rightarrow frac = frac Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = frac = left[ begin z_1 = — frac lt 3 \ z_2 = 4 gt 3 end right. $$
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x_ = pm 1$$
Пример 4*. Решите уравнения:
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a =
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
Замена переменных $z = x+a_$:
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 iff <left< begin t = z^2 ge 0 \ t^2-10t-936 = 0 end right.> $
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 cdot 936 = 3844 = 62^2, t = frac = left[ begin t_1 = -26 lt 0 \ t_2 = 36 gt 0 end right. $$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = pm sqrt = pm sqrt = pm 6 $$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = pm 6-4 = left[ begin x_1 = -10 \ x_2 = 2 end right. $$
$$ z- frac =2,1 |times z (z neq 0) $$
$$ z^2-2,1z-1 = 0 Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = frac = left[ begin z_1 = -0,4 \ z_2 = 2,5 end right. $$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin frac = -0,4 \ frac = 2,5 end right. Rightarrow left[ begin x^2+1 = -0,4x \x^2+1 = 2,5x end right. Rightarrow left[ begin x^2+0,4x+1 = 0 \ x^2-2,5x+1 = 0 end right. $$
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $Rightarrow left[ begin x_1 = frac \ x_2 = 2 end right.$
Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида
(ax + b)(ax + b + c)(ax +
+ b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
 | Трёхчленные уравнения |
| Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии |
| Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени |
| Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени |
| Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
Видео:Уравнения, сводящиеся к квадратным. Нестандартные замены. Урок 6.Скачать
Трехчленные уравнения
Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида
| a f 2 (x)+ b f (x) + c = 0, | (1) |
а также уравнения вида
 | (2) |
где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.
Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим
| y = f (x), | (3) |
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :
| ay 2 + by + c = 0 . | (4) |
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Покажем, как это осуществляется на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
| (x 2 – 2x) 2 – – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0 . | (5) |
Решение . Если обозначить
| y = x 2 – 2x , | (6) |
то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение
| y 2 – 2y – 3 = 0 . | (7) |
В первом случае из равенства (6) получаем:
Во втором случае из равенства (6) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
 | (8) |
Решение . Если обозначить
 , | (9) |
то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
| 2y 2 – 3 y – 2 = 0 . | (10) |
В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (9) получаем:
Ответ : 
Пример 3 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
 | (12) |
то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
| y 2 – 5y – 6 = 0 . | (13) |
В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (12) получаем:
Ответ : 
Пример 4 . Решить биквадратное уравнение
| x 4 – x 2 – 12 = 0 . | (14) |
Решение . Если обозначить
| y = x 2 , | (15) |
то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение
| y 2 – y – 12 = 0 . | (16) |
В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (15) получаем:
Пример 5 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
| y = x 2 – 3x, | (18) |
уравнение (17) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
| y 2 + 2y – 8 = 0 . | (19) |
В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (18) получаем:
Ответ : 
Пример 6 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
 , | (21) |
уравнение (20) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
| 3y 2 – 2y – 1 = 0 . | (22) |
В первом случае из равенства (21) получаем уравнение
Во втором случае из равенства (21) получаем:
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
| (ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d , | (23) |
где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b , а разность равна c .
Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.
| y = ax + b. | (24) |
Тогда уравнение (23) примет вид:
| y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d . | (25) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:
| [y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d . | (26) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:
| [y 2 + 3cy][y 2 + + 3cy + 2c 2 ] = d . | (27) |
Если теперь в уравнении (27) обозначить
| z = y 2 + 3cy , | (28) |
то уравнение (27) станеи квадратным уравнением
| z 2 + 2c 2 z – d = 0 . | (29) |
Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .
Пример 7 . Решить уравнение
| (2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 . | (30) |
Решение .Если обозначить
| y = 2x + 3, | (31) |
уравнение (30) превращается в уравнение
| y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 . | (32) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):
| [y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 . | (33) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:
| [y 2 + 6y][y 2 + + 6y + 8] = 384 . | (34) |
Если теперь обозначить
| z = y 2 + 6y , | (35) |
то уравнение (34) станет квадратным уравнением
| z 2 + 8 z – 384 = 0 . | (36) |
В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:
которое корней не имеет.
Во втором случае из равенства (35) получаем:
В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:
Во втором случае из равенства (31) получаем:
Ответ : 
Видео:Уравнения, сводящиеся к квадратным | Квадратный трёхчлен #4 | Ботай со мной #023 | Борис ТрушинСкачать
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.
Видео:Уравнения, сводящиеся к квадратным. Биквадратное уравнениеСкачать
Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах
Уравнение 1
Решить уравнение:
1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.
(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
вводим новую переменную: пусть 2 x =y;
y 2 + 2 y -3 =0.
Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Возвращаемся к переменной х:
1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).
2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
2 x = 2 0 ;
Уравнение 2
2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.
(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;
(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.
0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
y 2 — 5 y+ 4 =0;
Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2= 5 , y1+y2= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:
1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
0,5 2x = 0,5 0 ;
2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х
2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:
Уравнение 3
Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.
Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.
📺 Видео
9 класс. Алгебра. Уравнения, сводящиеся к квадратнымСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Уравнение четвертой степениСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Уравнение 6 степени | Профильная математикаСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать
Решение уравнений, сводящихся к квадратным. §23 алгебра 8 классСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать
Урок 99 Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям (8 урок)Скачать
Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | НаучпопСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным. Видеоурок 31. Алгебра 10 классСкачать
Решение биквадратных уравнений. Практическая часть. 2ч. 8 класс.Скачать
