Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Во многих случаях получаются априорные оценки точности расчетов и числа итераций при решении возникающих систем сеточных уравнений . С другой стороны, системы сеточных уравнений , возникающие при решении уравнений методами сеток, имеют большую размерность и плохо обусловлены. Для решения таких систем разработаны специальные итерационные методы .

6.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема «крест». Устойчивость схемы «крест»

Будем рассматривать двухмерное уравнение Пуассона

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

в единичном квадрате Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольникес краевыми условиями первого рода на границе расчетной области Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

( Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике— заданная на границе функция ).

В случае прямоугольной области граничные условия удобно записать в следующем виде:

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Видео:УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условийСкачать

УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условий

Для простоты выкладок введем равномерную расчетную сетку с узлами m, yl> , m, l = 0, 1, . , M с равным количеством шагов по каждому пространственному направлению, сеточную область D — совокупность всех узлов сетки, включая граничные, и сеточную функцию < uml >. В этом случае шаги по координатам предполагаются равными. В случае неравных шагов по каждому направлению полученные результаты не изменятся, а запись уравнений станет более громоздкой.

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Выбираем простейший пятиточечный шаблон разностной схемы «крест» . На этом шаблоне аппроксимирующее разностное уравнение легко выписать. Для этого производные заменим вторыми разностями:

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

где h — шаг по координатам, или в операторной форме

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Эту же разностную схему можно записать в каноническом виде для разностных схем для эллиптических уравнений:

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Такую каноническую запись не следует путать с канонической формой записи итерационного метода, которая встретится ниже.

Такая схема обладает вторым порядком аппроксимации по обеим координатам. Это легко показать, применяя разложение в ряд Тейлора функции — проекции точного решения на сетку — вплоть до членов четвертого порядка включительно. Проведем такое разложение для одного из операторов, стоящих в данном разностном уравнении:

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Видео:7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать

7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

Здесь учтено разложение проекции точного решения в ряд Тейлора

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

и аналогичное разложение для um — 1.

Для рассматриваемого двухмерного уравнения получим выражение для главного члена невязки

Краевые задачи для уравнений лапласа и пуассона в прямоугольнике

Рассмотрим устойчивость полученной схемы. Отметим, что методы исследования на устойчивость , применяемые для эволюционных (зависящих от времени) уравнений, здесь не работают. Действовать приходится на основе определения устойчивости.

Сформулируем и докажем две леммы, которые облегчат процедуру доказательства устойчивости разностной схемы.


источники:

📺 Видео

9. Уравнение ПуассонаСкачать

9. Уравнение Пуассона

Решение волнового уравнения в прямоугольникеСкачать

Решение волнового уравнения в прямоугольнике

Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

Задача Дирихле для круга. Уравнение Лапласа

OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙСкачать

OTAROVA  JAMILA   МЕТОД  ФУРЬЕ  РЕШЕНИЯ  КРАЕВОЙ  ЗАДАЧИ  ДЛЯ  УРАВНЕНИЯ  ЛАПЛАСА  В  ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

Краевая задача для уравнений Лапласа и Пуассона на R^2Скачать

Краевая задача для уравнений Лапласа и Пуассона на R^2

7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения Пуассона

УМФ, 08.12, уравнения Лапласа и Пуассона для кругаСкачать

УМФ, 08.12, уравнения Лапласа и Пуассона для круга

6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать

6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце

7.6 Задача 5. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

7.6 Задача 5. Краевая задача для уравнения Пуассона

7.3 Задача 2. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

7.3 Задача 2. Краевая задача для уравнения Пуассона

7.5 Задача 4. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

7.5 Задача 4. Краевая задача для уравнения Пуассона

Формула ПуассонаСкачать

Формула Пуассона

7.9 Задача 8. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

7.9 Задача 8. Краевая задача для уравнения Пуассона

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в круге

Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 10Скачать

Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 10

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1Скачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1

Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать

Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1
Поделиться или сохранить к себе: