Уравнение цепной линии иоганна бернулли

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Видео:10. Уравнения БернуллиСкачать

Цепная линия. Катеноид

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле.

Уравнение в декартовых координатах:

(ch — гиперболический косинус).

Цепная линия при различных значениях параметра:

Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения.

Электропровода, свободно свисающие. Роса на паутине.

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не изгиба.

Арка в Сент-Луисе (Gateway Arch), также известная под именем «Врата на запад»

Она была спроектирована Ээро Саариненом в 1947 году. Её высота 192 метра в самой высокой точке, ширина основания также 192 метра. Таким образом арка является самым высоким памятником на территории США. Её строительство было закончено 28 октября 1965 года.

В районе вершины арки находится смотровая площадка, из которой открывается вид на Миссисипи. В ясный день видимость достигает 48 километров.

Конструкция арки не позволила применить обычные модели лифтов. Несколько лифтостроительных компаний пытались подобрать подходящий вариант, но не преуспели. Тогда Сааринен нанял инженера Ричарда Баузера. Ему дали всего две недели на разработку своего варианта, но он, как ни странно, успел.

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основная нагрузка распределена в пролёте моста, а не в тросах.

Видео:Задача о цепной линии | Дифференциальные уравненияСкачать

Сравнение цепной линии и параболы

Цепная линия — черный пунктир, красная — парабола.

Видео:Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Свойства

Независимо от выбранного горизонтального интервала отношение площади под цепной линией к ее длине равно a.

Цепная линия — единственная плоская кривая (кроме горизонтальной линии) с этим свойством.

Центроид площади под графиком цепной линии — is the midpoint of the perpendicular segment connecting the centroid of the curve itself and the x-axis.

Сумма сил должна быть равна нулю.

Видео:Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Связь с другими кривыми

When a parabola is rolled along a straight line, the roulette curve traced by its focus is a catenary.

The envelope of the directrix of the parabola is also a catenary.

The involute from the vertex, that is the roulette formed traced by a point starting at the vertex when a line is rolled on a catenary, is the tractrix.

Видео:Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Цепная линия ⁠

. Дру­гой спо­соб начер­тить искомую пара­болу на призме состоит в сле­дующем. Вобьём в стену два гвоздя на оди­на­ко­вой высоте над гори­зон­том и на таком рас­сто­я­нии друг от друга, чтобы оно рав­ня­лось двой­ной ширине прямо­уголь­ника, на кото­ром жела­тельно постро­ить пара­болу; между одним и другим гвоз­дём под­ве­сим тон­кую цепочку, кото­рая свеши­ва­лась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низ­кая точка её нахо­ди­лась от уровня гвоздя на рас­сто­я­нии, рав­ном длине призмы. Цепочка эта, сви­сая, рас­по­ложится в виде пара­болы, так что, отме­тив её след на стене пунк­ти­ром, мы полу­чим пол­ную пара­болу, рас­се­ка­емую попо­лам перпен­ди­ку­ля­ром, про­ве­дён­ным через сере­дину линии, соеди­няющей оба гвоздя.

Гали­лео Гали­лей. «Беседы и матема­ти­че­ские дока­за­тельства…». 1638.

Однако мэтр оши­бался. Между пара­бо­лой и линией про­висшей цепи будет небольшое раз­ли­чие. Лишь через пол­века Иоган­ном Бер­нулли, Готф­ри­дом Лейб­ницем и Хри­сти­а­ном Гюйген­сом было выве­дено урав­не­ние «цеп­ной линии». В нём участ­вует параметр, изме­няя кото­рый можно полу­чать раз­лич­ные кри­вые про­ви­са­ния цепи. Воз­ник­но­ве­нию самого назва­ния «цеп­ная линия» мы обя­заны Гюйгенсу.

По этой линии про­вис­нет не только цепь, но и любая другая одно­род­ная нерас­тяжимая нить под действием силы тяже­сти. Эту кри­вую вы могли, наблю­дать, напри­мер, посещая музей.

Пере­вер­нём нашу кар­тину.

Если неко­то­рым обра­зом подо­брать параметр в урав­не­нии, то центр квад­рата, катящегося без про­скаль­зы­ва­ния по дуге цеп­ной линии, будет двигаться ровно по прямой!

Про­сле­дим за тра­ек­то­рией движе­ния одной из вершин квад­рата. Эта кри­вая нигде не пере­се­ка­ется с цеп­ной линией, а зна­чит, повозку, катящуюся на квад­рат­ных колё­сах, можно сде­лать! При этом рас­сто­я­ние между осями повозки не обя­зано быть крат­ным ширине горба цеп­ной линии — колёса могут нахо­диться в раз­ных фазах.

На квад­рат­ных колё­сах ездить мы научи­лись. Ока­зы­ва­ется, что можно ездить и на колё­сах, имеющих вид любого пра­виль­ного много­уголь­ника. Дорога только должна быть не совсем ров­ной — в виде цеп­ной линии со зна­че­нием параметра, зави­сящим от коли­че­ства углов. При при­ближе­нии пра­виль­ного много­уголь­ника к окруж­но­сти и соот­вет­ствующем изме­не­нии параметра арки цеп­ной линии ста­но­вятся всё ниже, а гори­зон­таль­ная длина участка, необ­хо­димая для одного обо­рота много­уголь­ника, ста­но­вится всё ближе к длине окруж­но­сти. Такая вот эво­люция колеса, кото­рое, в отли­чие от пра­виль­ных много­уголь­ни­ков, едущих по цеп­ной линии, умеет пово­ра­чи­вать.

Натя­нем на два обруча, рас­по­ложен­ных в парал­лель­ных плос­ко­стях, мыль­ную плёнку. Мыль­ная плёнка — уди­ви­тель­ный объект. Она лег­кая, внут­рен­ние силы гораздо силь­нее, чем сила тяже­сти, и вслед­ствие этого плёнка все­гда при­нимает вид поверх­но­сти, имеющей минималь­ную площадь при дан­ных гра­нич­ных усло­виях.

Как рас­по­ложится мыль­ная плёнка, натя­ну­тая на обручи? Ока­зы­ва­ется, это будет поверх­ность, обра­зо­ван­ная враще­нием цеп­ной линии! Если изме­нять рас­сто­я­ние между плос­ко­стями обру­чей, то поверх­ность тоже будет меняться, но все­гда профиль её будет в виде цеп­ной линии дан­ной длины, под­вешен­ной на соот­вет­ственно рас­по­ложен­ные стол­бики. Дока­зал это в 1744 году Лео­нард Эйлер в сочи­не­нии «Метод нахож­де­ния кри­вых линий, обла­дающих свойствами мак­симума или минимума», а саму поверх­ность назвал кате­ноид (лат. catena — цепь; греч. έιδος — вид).

Лите­ра­тура

Гали­лей Г. Беседы и матема­ти­че­ские дока­за­тельства, касающи­еся двух новых отрас­лей науки, отно­сящихся к меха­нике и мест­ному движе­нию синьора Гали­лео Гали­лея Лин­чео, фило­софа и пер­вого матема­тика свет­лейшего вели­кого герцога тос­кан­ского. С при­ложе­нием о цен­трах тяже­сти раз­лич­ных тел. — М.—Л.: Госу­дар­ствен­ное тех­нико-тео­ре­ти­че­ское изда­тельство, 1934. — С. 273—274.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Курсовая работа на тем: цепная линия

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

В качестве темы исследовательской работы мной была выбрана следующая: «Цепная линия». Кривая цепная линия очень интересна для изучения, однако не так уж просто найти литературу посвященную ей.

Исследованием этой линии занимались ученые очень давно. Однако даже в наше время она используется при решении ряда задач не только в математике, но и физике, архитектуре и многих других дисциплин. По моему мнения, данная тема является интересной и актуальной.

Изучением цепной линии занимались такие ученые, как Галилео Галилей, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Иоганн Бернули и др.

Целью данной исследовательской работы является описание основных свойств цепной линии.

Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Проанализировать научную и учебную литературу по теме исследования с целью выделения основных понятий и утверждений;

2. Систематизировать и обобщить материал по теме исследования с целью выделения групп свойств цепной линии;

3. Доказать необходимые утверждения в теме исследования;

4. Установить связь темы исследования и курса дифференциальной геометрии;

5. Разработать компьютерную презентацию на тему: «Цепная линия».

Основным методом исследования стал теоретический анализ

литературы в рамках исследования;

Практическая значимость определяется возможностью использования результатов данного исследования в учебном процессе в рамках дисциплин «Геометрия» и «Дифференциальная геометрия».

В книге Галилея “Беседы и математические доказательства…”, напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: “Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы(рис. 1), так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя”.[2]

Рис.1
Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры.
Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли — Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба — Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа — производной и интегралом.
Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией.
Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга — то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.

2. Понятие цепной линии и её уравнение

Определение 1. Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести.
Цепная линия по форме напоминает параболу.

Так считалось долгое время. В начале 17 века Галилео Галилей высказал сомнение, что висящая цепь в действительности является параболой. Однако строгое доказательство и точный вывод были получены лишь полвека спустя − после того, как Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали основы математического анализа.

Решение задачи о цепной линии было опубликовано в 1691 году Христианам Гюйгенсом , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Иоганном Бернулли .

Ниже мы рассмотрим вывод уравнения цепной линии и некоторые его вариации.

Пусть тяжелая однородная нить подвешена в точках А, В , которые могут находиться на разной высоте (рис.1.2).

Рассмотрим равновесие произвольного малого элемента нити длиной Δ s .

На этот элемент действуют распределенная сила тяжести , где − объемная плотность материала нити, − ускорение свободного падения, A − площадь поперечного сечения нити, и силы натяжения T ( x ) и T ( x+ Δ x ), соответственно, вточках x и ( x+ Δ x ).

Условия равновесия выделенного элемента длиной Δ s в проекциях на оси Ox и Oy записываются в виде:

Из первого уравнения видно, что горизонтальная компонента силы натяжения T ( x ) всегда постоянна:

Переходя во втором уравнении к дифференциалам, можно записать его в виде:

Поскольку , то получаем

Учтем, что , так что уравнение равновесия записывается в дифференциальном виде как

Элемент длины Δ s можно выразить по формуле

В результате получаем дифференциальное уравнение цепной линии :

Это уравнение допускает понижение порядка. Обозначив y’ = z , представим его в виде уравнения первого порядка:

Последнее уравнение решается методом разделения переменных.

Здесь мы обозначили через 1/ a .

Касательная к цепной линии в нижней точке параллельна оси Ox . Следовательно,

Отсюда определим константу C ₁ :

Итак, мы имеем следующее уравнение:

Умножим обе части данного уравнения на сопряженное выражение

Складывая с предыдущим уравнением, находим выражение для z = y’ :

Интегрируем еще раз и получаем окончательное красивое выражение для формы цепной линии:

Итак, цепная линия описывается гиперболическим косинусом . Ее форма однозначно определяется параметром , зависимость от которого показана на рис.1.3.

3. Свойства цепной линии

1. Длина дуги (приложение 1) цепной линии от ее вершины до некоторой точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке.

1.Длина s дугицепной линии, отсчитываемой от вершины А, равна проекции ММ′ ординаты РМ на касательную МТ .( рис .3)

2. S== MM′= ((1) или s = a.

3. С ординатой РМ=у дуга связана соотношение. 4. Последнее вытекает из уравнения цепной линии и (1) и

легко прочитывается из треугольника РМ′М , где РМ = у , ММ′ = s и РМ′ = a (по основному свойству трактрисы).

2. Радиус кривизны (приложение 1) в произвольной точке цепной линии равен длине нормали в этой точке.

1. Радиус кривизны МК = R цепной линии равен отрезку MD нормали от точки М до директрисы Х′Х и выражается формулой

3. Если цепная линия катится по прямой, то центр кривизны, соответствующий точке касания, перемещается по параболе.

1. Определяя площадь, ограниченную цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс, будем иметь:

4. Площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.

1. Площадь S «криволинейной трапеции» OAMP ( OA = a — ордината вершины, РМ — ордината конца М дуги s = ) равна площади прямоугольника со сторонами a , s так что

5. Сумма кривизн цепной линии в точках, касательные в которых взаимно перпендикулярны, является для каждой цепной линии величиной постоянной.

1. Пусть -точки цепной линии, касательные в которых взаимно перпендикулярны. Определяя их угловые коэффициенты, имеем

2.В силу перпендикулярности касательных (2),

где — длины дуг, отсчитываемые от вершины цепной линии до точек Подставляя эти выражения в равенство (2) получаем,

3. Далее, если равенство (2) привести к виду

то на основании R = a будем иметь .

6. Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.

4. Исследование цепной линии, заданной параметрически, методом дифференциальной геометрии

Любая линия в дифференциальной геометрии рассматривается в пространстве, может быть задана векторным уравнение от одного скалярного аргумента, неявного уравнения вида F ( x , y )=0, пересечением двух поверхностей, , полярным уравнением.

Метод дифференциальной геометрии позволяет исследовать линию на предмет:

определение элементов сопровождающих линии трехгранника;

определение кривизны и кручения;

написание натурального уравнения линии;

вычисление длины дуги линии;

Удобнее метод дифференциальной геометрии применять к параметрическим уравнениям, линии которых непосредственно следует из векторного уравнения от одного скалярного аргумента.

Исследуем цепную линию методом дифференциальной геометрии.

от неявного уравнения перейдем к параметрическим;

3) найдем базисные векторы, сопровождающего трехгранника кривой;

4) напишем уравнение элементов сопровождающего трехгранника кривой:

уравнение соприкасающейся плоскости;

уравнение нормальной плоскости;

уравнение спрямляющейся плоскости;

5) найдем кривизну и кручение цепной линии в произвольной точке;

6) напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации.

Итак, уравнение цепной линии имеет вид

— параметрическое уравнение цепной линии.

Линия лежит в плоскости XOY , z =0 .

1.Определим, какая параметризация: естественная или произвольная.

Найдем производные по t :

2.Найдем векторы первой, второй и третьей производной.

3.Найдем базисные векторы сопровождающего трехгранника:

единичный вектор касательной.

— единичный вектор бинормали.

единичный вектор главной нормали.

4.Напишем уравнения элементов сопровождающего трехгранника:

a ) Уравнение касательной (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

b ) Уравнение главной нормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

c ) Уравнение бинормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

e )Уравнение соприкасающейся плоскости:

Так как z =0 , плоскость OXY — соприкасающаяся плоскость.

f ) Уравнение нормальной плоскости (приложение 1)

g ) Уравнение спрямляющей плоскости:

5.Найдем кривизну k (приложение 1) и кручение (приложение 1) :

6.Напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации:

Таким образом, результаты исследования свойств цепной линии методами дифференциальной геометрии позволили доказать следующие свойства цепной линии как плоской линии:

Теорема 1. Соприкасающаяся плоскость плоской линии совпадает с плоскостью линии. (см. уравнение соприкасающейся плоскости цепной линии п.4( e )).

Теорема 2. Главная нормаль плоской линии лежит в плоскости линии. (см. уравнение главной нормали цепной линии п.4( b )).

Теорема 3. Кручение плоской линии во всех точках равна нулю.(см. кручение цепной линии п.5)

Докажем теорему, обратную теореме 3.

Теорема 4 . Если во всех точках гладкой линии кручение равно нулю, то линия плоская.

1. Пусть в каждой точке линии γ, заданной уравнениями , ее кручение равно нулю.

2. Из последней формулы Френе следует, что где не зависит от переменной s . Тогда из тождества , отсюда или в координатах: , где , – координаты.

3. Таким образом, все точки γ лежат в плоскости, заданной уравнением . Это означает, что γ – плоская линия.

Замечание. Для плоской линии имеем х = 0 , поэтому формулы Френе принимают вид:

Результаты исследования свойств цепной линии можно отобразить в чертеже.

Oxy соприкасающаяся плоскость

Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипив городе Сент-Луисе стоит импозантная арка (GatewayArch) высотой в 630 футов, что соответствует 192 м, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии. Сент-Луис в свое время соединил относительно обжитые земли к востоку от Миссисипи с дикими бескрайними пространствами Запада.

Эта арка была спроектирована одним из самых известных архитекторов США Эро Саариненом (Eero Saarinen, 1910–1961) в сотрудничестве с математиком и инженером Ганнскарлом Банделем ( Hannskarl Bandel , 1925–1993). В каком-то смысле их судьбы схожи: и Сааринен, и Бандель родились за пределами Америки — первый в Финляндии , второй — в Германии . Потом оба пересекли океан: первый — отправляясь в 1934 году учиться, а второй — уже после войны, в поисках работы. Тут каждый из них нашел свою удачу, а оба они — друг друга.

По подсказке Банделя Сааринен выбрал для своей арки форму цепной линии, высота которой равнялась ширине у основания. Получилось красиво, хотя конструкция до какой-то степени противоречила интуиции. Ведь цепочка, будучи предоставленной сама себе, стремится занять такое положение в пространстве, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной, то есть центр тяжести располагался предельно низко. При переворачивании низкий центр тяжести окажется высоким, а минимум энергии обернется максимумом.

Противоречие тут кажущееся. В задачу архитектора вовсе не входит достижение энергетического минимума конструкции — нужно, чтобы она была устойчивой. И хотя, безусловно, минимуму потенциальной энергии соответствует положение устойчивого равновесия, это положение не единственное. Еще одно положение равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии, что мы и наблюдаем при перевороте цепной линии, а также при обобщении метода, использованного Гауди.

Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил. Как известно, если удается получить информацию о силах, то картинка всегда оказывается более подробной и ясной, чем та, которую можно получить, занимаясь только энергиями. У подвешенной цепочки на каждое отдельное звено действуют три силы: сила тяжести и сила упругих деформаций со стороны двух ближайших соседей. Равновесие достигается в том случае, когда сумма всех трех сил равна нулю.

Подвижность цепочки гарантирует, что упругие силы на концах каждого звена лишь растягивают его, то есть всегда направлены по касательной к линии.

Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной.

Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.

На каждое звено цепи действует по три силы: натяжение со стороны соседей и сила тяжести. При уменьшении размеров звена,

сила тяжести стремится к нулю, а силы натяжения к нулю не стремится, они просто становятся параллельными друг другу.

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста ближе к параболе , чем к цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи. [4]

🔥 Видео

Уравнение цепной линииСкачать

Закон БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Урок 134. Применения уравнения Бернулли (ч.1)Скачать

Уравнение БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли. Диаграмма Бернулли.Скачать

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать

Уравнение Бернулли и его приложения | Гидродинамика, ГидравликаСкачать

Формула БернуллиСкачать

Якута А. А. - Механика - Гидростатика. Уравнение Бернулли. Формула ПуайзеляСкачать

Лекция 14-2. Высшая математика. Сибиряков Б.П. Цепная линия."Скачать

Уравнения Бернулли. Дифференциальны уравненияСкачать