Уравнение теплового баланса для фазовых переходов

m = ρ V =10 3 · 5 · 10 − 3 м 3 = 5 к г

Внимание! Равенство V (л) = m (кг) справедливо только для воды.

Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0

c в m в 1 ( t − t в 1 ) + c в m в 2 ( t − 0 ) + λ m л + c в m л ( t − 0 ) = 0

c в m в ( t − t в ) + c л m л ( 0 − t л ) + λ m л + c в m л ( t − 0 ) = 0

c т m т ( 100 − t т ) + c в m в ( 100 − t в ) + r m п = 0

− r m п + c в m в ( 100 − t в ) = 0

− r m п + c в m п ( t − t к и п ) + λ m л + c в m л ( t − t п л ) = 0

Пример №2. В кастрюлю, где находится вода объемом 2 л при температуре 25 о С, долили 3 л кипятка. Какая температура воды установилась?

Количество теплоты, отданное кипятком, равно количеству теплоты, принятому более прохладной водой. Поэтому:

c m 1 ( t − t 0 ) = − c m 2 ( t − t к и п )

m 1 ( t − t 0 ) = − m 2 ( t − t к и п )

m 1 t + m 2 t = m 1 t 0 + m 2 t к и п

( m 1 + m 2 ) t = m 1 t 0 + m 2 t к и п

t = m 1 t 0 + m 2 t к и п m 1 + m 2 . .

t = 2 · 25 + 3 · 100 2 + 3 . . = 350 5 . . = 70 ( ° C )

Видео:Формы записи уравнения теплового балансаСкачать

Взаимные превращения механической и внутренней энергии

Если в тексте задачи указан процент одного вида энергии, перешедший в другой, то он указывается в виде десятичной дроби перед этой энергией, которой тело обладало вначале.

Частные случаи закона сохранения энергии

m v 2 2 . . = c m Δ t

0 , 5 ( m v 2 0 2 . . − m v 2 2 . . ) = c m Δ t

m v 2 2 . . = c m Δ t + λ m

0 , 6 m g h = c m Δ t + r m

q m т о п = m р g h

0 , 25 q m т о п m с v 2 2 . .

Пример №3. Свинцовая дробинка, летящая со скоростью 100 м/с, попадает в доску и входит в нее. 52% кинетической энергии дробинки идет на ее нагревание. На сколько градусов нагрелась дробинка? Удельная теплоемкость свинца 130 Дж/(кг∙К).

Запишем закон сохранения энергии для этого случая:

0 , 52 m v 2 2 . . = c m Δ t

Δ t = 0 , 52 v 2 2 c . . = 0 , 52 · 100 2 2 · 130 . . = 20 ( К )

Примеры КПД

Q п о л е з н = c m Δ T

Q п о л е з н = c m Δ T + r m

( п р о и з в е д е н и е м о щ н о с т и н а в р е м я )

η = c m Δ T P t . . 100 %

Q п о л е з н = c m Δ T

Q з а т р = q m т о п

η = c m Δ T q m т о п . . 100 %

A п о л е з н = N t = N s v . .

Q з а т р = q m т о п

η = c m Δ T v q m т о п . . 100

E п о л е з н = m v 2 2 . .

Q з а т р = q m п о р

η = m v 2 2 q m п о р . . 100

Внимание! Если в задаче указано время, в течение которого происходит один тепловой процесс, а спрашивают о времени протекания другого, то считайте, что мощность нагревателя или холодильника постоянна:

Q 1 t 1 . . = Q 2 t 2 . .

Пример №4. Для нагревания на электроплитке некоторого количества воды от 20 до 100 о С потребовалась 21 минута. Сколько времени после этого необходимо для полного испарения воды? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж (кг∙К), удельная теплота парообразования 2,24 МДж/кг.

Будем считать, что мощность электроплитки постоянна. Поэтому:

Q 1 t 1 . . = Q 2 t 2 . .

Количество теплоты, сообщенное воде при нагревании:

Q 1 = с m ( t 2 − t 1 )

Количество теплоты, которое нужно сообщить, чтобы вода полностью испарилась:

с m ( t 2 − t 1 ) t 1 . . = r m t 2 . .

Кусок льда, имеющий температуру 0°С, помещён в калориметр с электронагревателем. Чтобы превратить этот лёд в воду с температурой 12°С, требуется количество теплоты 80 кДж. Какая температура установится внутри калориметра, если лёд получит от нагревателя количество теплоты 60 кДж? Теплоёмкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Составим уравнение теплового баланса для первого случая:

Q 1 = λ m + c m t 1

Внимание! Вместо разности температур используется значение только конечной температуры, так как начальная температура равна 0.

Найдем массу льда из уравнения теплового баланса для первого случая. Учтем что:

Чтобы расплавить кусок льда массой 0,5 кг, нужно затратить следующее количество теплоты:

Лед не расплавится весь, так как ему будет сообщено лишь 60 кДж теплоты. Поэтому в калориметре температура будет равна 0 о С.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Внимательно прочитайте текст задания и выберите верный ответ из списка

На рисунке представлены графики зависимости температуры t двух тел одинаковой массы от сообщённого им количества теплоты Q. Первоначально тела находились в твёрдом агрегатном состоянии.

Используя данные графиков, выберите из предложенного перечня два верных утверждения и укажите их номера. Ответ: а) Температура плавления первого тела в 1,5 раза больше, чем второго. б) Тела имеют одинаковую удельную теплоёмкость в твёрдом агрегатном состоянии. в) Удельная теплоёмкость второго тела в твёрдом агрегатном состоянии в 3 раза больше, чем первого. г) Оба тела имеют одинаковую удельную теплоту плавления. д) Тела имеют одинаковую удельную теплоёмкость в жидком агрегатном состоянии.

Алгоритм решения

1. Проанализировать каждое из утверждений.
2. Проверить истинность утверждений с помощью графика.
3. Выбрать и записать верные утверждения.

Решение

Проверим первое утверждение, согласно которому, температура плавления первого тела в 1,5 раза больше, чем второго.

Если это было бы так, то количество клеток до горизонтального участка графика 1 относилось к количеству клеток до горизонтального участка графика 2 как 3 к 2. Но мы видим, что до 1 графика 4 клетки, до 1 — 2. Следовательно, температура плавления первого тела в 2 раза больше, чем второго.

Первое утверждение неверно.

Проверим второе утверждение, согласно которому тела имеют одинаковую удельную теплоёмкость в твёрдом агрегатном состоянии.

Если бы это было так, то соответствующие участки графиков совпадали бы. Только в таком случае температура тел увеличивалась на одну и ту же температуру при получении одного и того же количества теплоты. Но мы видим, что это не так.

Второе утверждение неверно.

Проверим третье утверждение, согласно которому удельная теплоёмкость второго тела в твёрдом агрегатном состоянии в 3 раза больше, чем первого.

Если это было бы так, то первое тело при сообщении телам одинакового количества теплоты нагревалось бы втрое быстрее второго. И это действительно так, потому что температура второго во время нагревания в твердом состоянии увеличилась только на 1 клетку, в то время как температура первого тела — на 2 клетки.

Третье утверждение верно.

Проверим четвертое утверждение, согласно которому оба тела имеют одинаковую удельную теплоту плавления.

Если это было бы так, то протяженность горизонтальных участков обоих графиков была бы одинаковой. Но это не так. Протяженность этого участка для тела 1 составляет 3 клетки, для тела 2 — 2 клетки.

Четвертое утверждение верно.

Проверим пятое утверждение, согласно которому тела имеют одинаковую удельную теплоёмкость в жидком агрегатном состоянии.

Если бы это было так, то соответствующие участки графиков были параллельными. Только при таком условии при повышении температуры на одно и то же количество градусов тела бы получли одинаковое количество теплоты. И это действительно так.

Пятое утверждение верно.

Вывод: верным утверждения «в» и «д».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В сосуде лежит кусок льда. Температура льда t 1 = 0 «> t ₁ = 0 °C. Если сообщить ему количество теплоты Q = 50 «> Q = 50 кДж, то 3/4 льда растает. Какое количество теплоты q надо после этого сообщить содержимому сосуда дополнительно, чтобы весь лёд растаял и образовавшаяся вода нагрелась до температуры t 2 = 20 «> t ₂ = 20 °C? Тепловыми потерями на нагрев сосуда пренебречь.

Видео:Физика 10 класс. Агрегатные (фазовые) переходы.Скачать

Уравнение теплового баланса. Пособие Самарина

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Лицей естественных наук г. Кирова

Видео:Урок 127 (осн). Задачи на уравнение теплового баланса - 1Скачать

Решение задач на теплообмен

Видео:Уравнение теплового баланса, термодинамика в изопроцессах | Физика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

с использованием уравнения теплового баланса

Печатается по решению редакционно-издательского совета Лицея естественных наук г. Кирова

Рецензент: К.А. Коханов, кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры дидактики физики Вятского государственного гуманитарного университета, заместитель заведующего кафедрой дидактики физики.

Видео:C-шки по физике #3 Уравнение теплового балансаСкачать

С 17 Самарин Г.Г. Решение задач на теплообмен с использованием уравнения теплового баланса: Методические рекомендации. – Киров: Издательство Лицея естественных наук, 2002. – 35 с.

Пособие рекомендовано учащимся, желающим получить практические навыки в решении задач на теплообмен, и может быть полезным для учителей и абитуриентов.

© Лицей естественных наук, 2002

© Г.Г. Самарин, 2002

При соприкосновении тел, имеющих разные температуры, между этими телами происходит теплообмен. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, это объясняется так: молекулы более нагретого тела имеют большую кинетическую энергию, чем молекулы тела, менее нагретого. При «столкновениях» молекул соприкасающихся тел происходит процесс выравнивания их средних кинетических энергий. Молекулы более нагретого тела теряют часть своей кинетической энергии, при этом нагретое тело будет остывать. Кинетическая энергия молекул холодного тела возрастает, поэтому температура этого тела будет увеличиваться. В конечном итоге кинетические энергии молекул обоих тел сравняются, и температуры тел станут одинаковыми. На этом теплообмен прекращается.

Энергию, которую тело получает или отдаёт в процессе теплообмена, называют количеством теплоты ( Q ).

Количество теплоты, как и все другие виды энергии, измеряется в системе СИ в Джоулях: [ Q ] = Дж. 

Нагревание или охлаждение

При нагревании или охлаждении тела количество теплоты, поглощаемое или выделяемое им, рассчитывается по формуле:

где m – масса тела, кг;

с – удельная теплоёмкость вещества, из которого состоит тело,

или .

Удельная теплоёмкость вещества – это количество теплоты, которое нужно сообщить одному килограмму данного вещества, чтобы увеличить его температуру на 1  С (или это количество теплоты, которое выделяет один килограмм данного вещества, остывая на 1  С).

Например, С_воды = 4200, С_{льда, водяного пара} = 2100, С_свинца = 140, С_меди = 380, С_{железа, стали} = 460, С_{алюминия} = 920.

Значения удельных теплоемкостей других веществ можно найти в справочниках, а также в школьном учебнике или задачнике.

При нагревании тела его внутренняя энергия увеличивается. Это требует притока энергии к телу от других тел. Значит, оно поглощает некоторое количество теплоты, принимая его от других тел, участвующих в теплообмене.

При охлаждении тела его внутренняя энергия уменьшается. Поэтому остывающее тело отдаёт кому-либо некоторое количество теплоты.

Обычно конечную температуру, установившуюся в результате теплообмена, обозначают греческой буквой  (тэта).

В формуле (1) произведение cm для каждого конкретного тела есть величина постоянная. Её называют теплоёмкостью тела и обозначают С:

Размерность теплоемкости: [С] = . Теплоемкость тела показывает, сколько энергии нужно подвести к данному телу, чтобы нагреть его на 1  С (или сколько энергии выделяет это тело, остывая на 1  С).

Теплообмен между телами, имеющими одинаковые температуры, не происходит, даже если контактируют вещества, находящиеся в разных агрегатных состояниях. Например, при температуре плавления (0  С) лёд и вода могут находиться бесконечно долго, при этом количество льда и количество воды останутся неизменными. Аналогично ведут себя пар и жидкость, находящиеся при температуре кипения. Теплообмен между ними не происходит.

Плавление или кристаллизация

Если при нагревании тела его температура достигнет температуры плавления, то начинает происходить процесс перехода этого вещества из твердого состояния в жидкое. При этом идут изменения в расположении и характере взаимодействия молекул. Температура при плавлении не изменяется. Это означает, что средние кинетические энергии молекул жидкости и твердого тела при температуре плавления одинаковы. Однако внутренняя энергия тела при плавлении возрастает за счет увеличения энергии взаимодействия молекул. Количество теплоты, поглощаемое телом при плавлении, рассчитывается по формуле

где m – масса тела, кг;

 – удельная теплота плавления, .

При кристаллизации, наоборот, внутренняя энергия тела уменьшается на величину Q =  m , и эта теплота данным телом выделяется. Она поглощается другими телами, участвующими в теплообмене.

Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму данного вещества, взятого при температуре плавления, чтобы полностью превратить его при этой температуре в жидкость (или сколько энергии выделяет 1 кг жидкости, взятой при температуре кристаллизации, если вся она при этой температуре полностью превратится в твёрдое тело).

Удельную теплоту плавления любого вещества можно найти в справочниках. Для льда же  = 3,4  10 5 .

Температура плавления у каждого вещества своя. Её также можно найти в справочниках. Важно подчеркнуть, что температура плавления вещества равна температуре кристаллизации этого же вещества. У льда t _пл = 0  С.

Кипение или конденсация

При достижении жидкостью температуры кипения начинает происходить другой фазовый переход – кипение, при котором расстояния между молекулами значительно увеличиваются, а силы взаимодействия молекул уменьшаются. Вся подводимая к жидкости теплота идет на разрыв связей между молекулами. При конденсации пара в жидкость, наоборот, расстояния между молекулами значительно сокращаются, а силы взаимодействия молекул увеличиваются. Для кипения жидкости энергию к жидкости нужно подводить, при конденсации пара энергия выделяется. Количество теплоты, поглощаемое при кипении или выделяемое при конденсации, рассчитывается по формуле:

где m – масса тела, кг;

L – удельная теплота парообразования, .

Удельная теплота парообразования показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму жидкости, взятой при температуре кипения, чтобы при этой температуре полностью превратить её в пар (для конденсации: сколько энергии выделяет один килограмм пара, взятого при температуре конденсации, полностью превращаясь в жидкость).

При одинаковом давлении температура кипения и температура конденсации одного и того же вещества одинаковы.

Температуры кипения и удельные теплоты парообразования также можно найти в справочниках. Для воды же они соответственно равны: t _кип = 100  С, L = 2,3  10 6 (при нормальном атмосферном давлении).

Уравнение теплового баланса

Тела, участвующие в теплообмене, представляют собой термодинамическую систему. Термодинамическая система называется теплоизолированной, если она не получает энергию извне и не отдаёт её; теплообмен происходит только между телами, входящими в эту систему. Для любой теплоизолированной системы тел справедливо следующее утверждение: количество теплоты, отданное одними телами, равно количеству теплоты, принимаемому другими телами.

Это утверждение описывает частный случай закона сохранения и превращения энергии в применении к процессу теплообмена. А формула (5) является одним из видов уравнения теплового баланса.

При решении задач с помощью данного вида уравнения теплового баланса в формуле (1) в качестве t ₂ следует брать большую температуру, а в качестве t ₁ – меньшую. Тогда разность ( t ₂ – t ₁) будет положительна и всё произведение cm ( t ₂– t ₁) также будет положительным. Все теплоты, отданные и полученные, будут положительными.

Уравнение теплового баланса можно записать и в таком виде:

Где n – количество тел системы.

Алгебраическая сумма всех количеств теплоты (поглощенных и выделенных) в теплоизолированной системе равна нулю.

Q ₁, Q ₂, …, Q _n – это теплоты, поглощаемые или выделяемые участниками теплообмена. Очевидно, что в этом случае какие-то теплоты должны быть положительны, а какие-то – отрицательны. При записи уравнения теплового баланса в виде (6) всегда t ₂ – конечная температура, а t ₁ – начальная.

Если тело нагревается, то разность ( t ₂ – t ₁) положительна и все произведение cm ( t ₂ – t ₁) положительно. То есть Q > 0 тогда, когда теплота к данному телу подводится.

А если t ₂ t ₁ (тело остывает), то разность ( t ₂ – t ₁) отрицательна, то есть Q Q > 0; если тело выделяет энергию (кристаллизация, конденсация), то Q  С. В воду опускают свинцовую деталь массой 2 кг, имеющую температуру 90  С. До какой температуры нагреется вода? Потерями теплоты пренебречь. 

m ₁ = 0,1 кг

с ₁ = 380 Дж/(кг  0 С)

с ₂ =4200 Дж/(кг  0 С)

с ₃ = 140 Дж/(кг  0 С)

 – ?

Вода и калориметр находились в тепловом равновесии, поэтому они имели одинаковую температуру: t ₁ = t ₂ = 20  С.

При опускании в воду с температурой 20  С свинцового тела с температурой 90  С между водой и свинцом будет происходить теплообмен. Свинец будет остывать, а вода — нагреваться. В этом же процессе участвует и калориметр, который, как и вода, будет тоже нагреваться.

Изменение температур тел с течением времени удобно изображать на графике зависимости t (  ).

Отрезок АВ соответствует графику изменения температуры свинцового тела. Стрелка, идущая от него, показывает, что, остывая, свинец выделяет энергию Q ₃.

Два параллельных отрезка СВ соответствуют графикам изменения температур калориметра и воды. Стрелки, идущие к ним, показывают, что для нагревания калориметра и воды требуется энергия Q ₁ и Q ₂, которую они поглощают.

Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (5):

 =

Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (6):

 = = 24 (  С)

Ответ: Вода нагреется до 24  С.

Предлагаю читателю самостоятельно сделать проверку размерности.

Видео:Закон сохранения превращения энергии в тепловых процессах. 8 класс.Скачать

Задача 2

Т
ри пластины: медную, имеющую массу m ₁ = 1 кг и температуру t ₁ = 100  С, железную ( m ₂ = 1,2 кг, t ₂ = 150  С) и алюминиевую ( m ₃ = 0,8 кг, t ₃ = 80  С) сложили вплотную (см рис). Какую температуру будут иметь пластины, когда теплообмен прекратится? Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.

с ₁ = 380 Дж/(кг  0 С)

с ₂ = 460 Дж/(кг  0 С)

с ₃ = 920 Дж/(кг  0 С)

Решение

Решим задачу с помощью уравнения теплового баланса в виде (5).

1. Не трудно догадаться, что в результате теплообмена самая горячая пластина остынет, а самая холодная  нагреется. Итак, мы знаем, что будет происходить с железной и алюминиевой пластинами: железная будет остывать, алюминиевая – нагреваться.

Мысленно соединим сначала эти две пластины и найдём температуру t , которой они при этом достигнут:

t =

t =

2. Теперь медная пластина вступает в теплообмен с железной и алюминиевой. Медная будет нагреваться от температуры t ₁ до температуры  , а железная и алюминиевая – остывать от температуры t до температуры  . Тогда:

Q ₁ = Q ₂‘+ Q ₃‘_,

 =

3. Решим задачу, применив уравнение теплового баланса в виде (6):

 = = 108 (  С)

Ответ: Пластины будут иметь температуру 108  С.

Как видим, второй способ оказался и в данном случае более рациональным. Однако, первый способ зачастую оказывается более понятным, особенно при наличии фазовых переходов. Поэтому в дальнейшем автор будет придерживаться первого способа решения задач. Желательно, чтобы читатель пробовал решать их и вторым способом.

Видео:Количество теплоты | Физика 10 класс #40 | ИнфоурокСкачать

Задача 3

В железном ведре массой 1,2 кг находится 5 кг воды при температуре 20  С. Сколько льда температурой –10  С надо положить в ведро, чтобы температура воды понизилась до 12  С? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

с ₁ =460 Дж/(кг  0 С)

с ₂ =4200 Дж/(кг  0 С)

с ₃ =2100 Дж/(кг  0 С)

t ₄ = 0 о С

Известна конечная температура, Значит, анализ ситуации довольно прост: вода и ведро будут остывать, не испытывая фазовых переходов, отдавая теплоты Q ₁ и Q ₂, а лёд сначала будет нагреваться до температуры плавления t ₄, поглощая теплоту Q ₃, затем плавиться,

поглощая теплоту Q ₄, а затем вода, образовавшаяся из льда, будет нагреваться до конечной температуры  , поглощая теплоту Q ₅.

Так как иных участников теплообмена нет, то можно так записать уравнение теплового баланса:

Ответ: Потребуется 0,4 кг льда.

Видео:Теплообмен. Уравнение теплового баланса 8-10 класс | Физика TutorOnlineСкачать

Задача 4

В алюминиевую кастрюлю массой 200 г, содержащую 3 кг воды при 20  С, поместили стальную деталь массой 0,5 кг, нагретую до 500  С. При этом часть воды выкипела, а оставшаяся вода нагрелась до 22  С. Сколько воды выкипело?

m ₁ = 3 кг

L = 2,3  10 6 Дж/кг

Стальная деталь, не претерпевая фазовых переходов, остыла от 500  С до 22  С, выделив при этом количество теплоты

2. Часть воды массой m ₀ нагрелась до температуры кипения (100 о С) и выкипела. При этом была поглощена теплота

3. Оставшаяся в кастрюле вода массой ( m ₁  m ₀ ) и сама кастрюля массой m ₂ нагрелись от 20 0 С до 22  С. При этом была поглощена теплота

4. Так как потерь тепла нет, то записываем уравнение теплового баланса:

5. Решая это уравнение, находим m ₀:

m ₀ = ,

m ₀ =

Ответ: Выкипело 32 г воды.

Видео:10 класс, 10 урок, Уравнение теплового баланса без учета изменения агрегатного состояния веществаСкачать

Задача 5

Комок мокрого снега массой 400 г опустили в медный таз массой 500 г, содержащий 2 кг воды при температуре 20  С. После установления теплового равновесия температура воды в тазу стала 10  С. Сколько воды было в комке снега?

m ₃ = 0,4 кг

с₁ = 380 Дж/(кг  0 С)

1. Медный таз и вода находятся в тепловом равновесии. Поэтому 20  С – их общая температура. При остывании от 20  С до 10  С ни медь, ни вода фазовых превращений не испытывают. При этом они отдают суммарную теплоту:

2. Мокрый снег – это снег, содержащий воду. Значит, снег и вода находятся в тепловом равновесии. Это возможно только при температуре фазового перехода, то есть при 0  С.

Итак, начальная температура мокрого снега 0  С.

3. На пути к температуре 10  С снег массой m ₃ — m _в будет сначала таять. Для этого требуется теплота Q ₃ =  ( m ₃  m _в ). А затем вся вода массой m ₃ будет нагреваться от 0  С до 10  С. Для этого ей надо получить количество теплоты Q ₄ = c ₂ m ₃ (   t ₃ ).

4. Так как нет потерь тепла, то можно написать уравнение теплового баланса:

5. Решая это уравнение, находим m _в:

m _в =

m _в =

Ответ: В комке мокрого снега было 0,2 кг воды.

Видео:Урок 176. Задачи на уравнение теплового балансаСкачать

Задача 6

В холодную воду массой 2 кг, имеющую температуру 10  С, находящуюся в кастрюле, влили 3 кг горячей воды при температуре 80  С. До какой температуры нагреется холодная вода, если известно, что 25% теплоты, отданной горячей водой, пошло на нагревание кастрюли? Какова теплоемкость кастрюли?

Так как 25% теплоты отданы кастрюле, то 75% теплоты пошло на нагревание холодной воды. Значит, можно говорить о КПД процесса нагревания холодной воды:

 ₂ = (  ₂ = 0,75)

Здесь Q _полез — теплота, идущая на нагревание холодной воды: Q _полез = c ₁ m ₁ (   t ₁ );

Q _затр — теплота, отданная горячей водой: Q _затр = c ₂ m ₂ (t ₂   ).

Удельные теплоты с₁ холодной и с₂ горячей воды равны.

 ₂ =   ₂ m ₂ (t ₂   ) = m ₁ (   t ₂ ),

 =

 =

Так как 25% теплоты, отданной горячей водой, пошло на нагревание кастрюли, то можно говорить и о КПД процесса нагревания кастрюли:

,

откуда:

Ответ: Холодная вода нагреется до температуры 47  С. Теплоемкость кастрюли 2809 Дж/ 0 С.

Задача 7

Сколько керосина нужно сжечь, чтобы превратить в пар 1 кг льда, взятого при температуре  40  С? КПД нагревательного устройства равен 60%, удельная теплота сгорания керосина 46 МДж/кг.

m ₁ = 1 кг

L = 2,3  10 6 Дж/кг

 = 0,6 (60%)
q = 46  10 6 Дж/кг

1. Изобразим на графике t (  ) процессы: нагревание льда, плавление льда, нагревание получившейся из льда воды, кипение этой воды. Для осуществления каждого из этих процессов необходим подвод теплоты. Теплоту выделяет керосин в процессе сгорания (на графике не показано).

2. Применим формулу КПД нагревателя:

 = .

Получаем:  = ,

откуда: m ₂ = .

m _{2 =}

Ответ: Нужно сжечь 114 г керосина.

Сколько водяного пара, имеющего температуру 120  С, надо впустить в калориметр, содержащий 800 г льда при температуре  20  С, чтобы температура образовавшейся воды оказалась 20  С? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

m ₁ = 0,8 кг

Решение

1. Так как теплоемкостью калориметра можно пренебречь, то систему лед — пар можно считать теплоизолированной: теплообмен происходит только между паром и льдом.

2. Получают теплоту тела:

лёд, нагреваясь от –20 0 С до температуры плавления: Q ₁ = c ₁ m ₁(0  t ₁);

лёд, превращаясь в воду при температуре плавления: Q ₂ =  m ₁;

вода, образовавшаяся из льда, нагреваясь от 0  С до 20  С: Q ₃ = с₃ m ₁(   0).

3. Отдают теплоту тела:

пар, остывая от 120  С до температуры конденсации: Q ₄ = c ₂ m ₂( t ₂  100);

пар, превращаясь в воду при 100  С: Q ₅ = Lm ₂;

вода, образовавшаяся из пара, остывая от 100  С до 20  С: Q ₆ = c ₃ m ₂(100   ).

4. Других участников теплообмена нет, поэтому записываем уравнение теплового баланса:

Ответ: Потребуется 140 г водяного пара.

Часто при решении задач можно встретиться со следующей проблемой. В теплообмене участвуют вещества, находящиеся в различных агрегатных состояниях, и конечная температура теплообмена не известна. Тогда уравнение теплового баланса сразу написать не удастся, так как его вид зависит от того, в каких агрегатных состояниях будут находиться конечные продукты. В этом случае последовательность решения задачи немного изменяется. Сначала нужно сделать предварительные расчеты: сколько теплоты выделит или поглотит каждое вещество в предполагаемом процессе, сравнить эти теплоты и сделать вывод о том, в каких агрегатных состояниях будут находиться продукты теплообмена. И только после этого можно записывать уравнение теплового баланса. Такие задачи значительно сложнее задач, в которых конечная температура известна. Рассмотрим ряд таких задач.

Задача 9

В калориметр, содержащий воду массой 0,5 кг при температуре 25  С, впускают водяной пар массой 50 г при температуре 120  С. Какая температура установится в калориметре, если его теплоёмкость 1200 Дж/ о С?

с ₁ =4200 Дж/(кг  0 С)

c ₂ =2100 Дж/(кг  0 С)

L = 2,3  10 6 Дж/кг

1. Если в конечном итоге весь пар остынет от 120  С до 100  С, затем сконденсируется в воду, затем образовавшаяся из

пара вода остынет от 100  С до  , то в калориметре будет находиться вода при температуре  , а уравнение теплового баланса примет вид:

.

2. Если пар остынет от 120  С до 100  С, а сконденсируется не весь, то в калориметре будет находиться смесь воды и пара при температуре 100  С, а уравнение теплового баланса будет таким:

_{Здесь m}  _{— масса сконденсировавшегося пара.}

3. Пар может остыть от 120  С до 100  С, а вода и калориметр уже нагреются до 100  С, и при этом часть воды даже выкипит. В калориметре будет смесь пара и воды при температуре 100  С.

Уравнение теплового баланса будет иметь вид:

, где m  — масса превратившейся в пар воды.

Каким из трёх уравнений пользоваться?

C делаем предварительные расчёты. Вычислим:

а) сколько теплоты нужно для того, чтобы нагреть воду и калориметр от 25  С до 100  С:

Q ₁ = c ₁ m ₁ (100  t ₁ ) + C(100  t ₁ ) = 4200  0,5  75+1200  75 = 247500 ( Дж ).

б) сколько теплоты выделится, если весь пар остынет от 120  С до 100  С: Q ₂ = c ₂ m ₂( t ₂  100) =2100  0,05  20 = 2100 (Дж).

в) сколько теплоты выделится, если весь пар сконденсируется в воду при температуре 100  С:

Q ₃ = Lm ₂ = 2300000  0,05 = 115000 ( Дж ).

Выделяющаяся теплота Q ₂ + Q ₃ = 2100 Дж + 115000 Дж = 117100 Дж при охлаждении пара и его конденсации меньше теплоты, которая требуется для нагревания «холодной» воды и калориметра. Значит, чтобы вода вместе с калориметром смогла нагреться до 100  С, ей нужно больше энергии, чем может отдать пар, остывая и конденсируясь. Поэтому 117100 Дж пар отдаст, став при этом «горячей» водой при 100  С, а «холодная» вода при этом до 100  С ещё не нагреется. Тогда в калориметре будут одновременно находиться сконденсировавшаяся из пара вода при 100  С и подогретая «холодная» вода. В результате дальнейшего теплообмена «горячая» вода остынет, а «холодная» нагреется. И в итоге в калориметре будет вода, температура которой ниже 100 0 С, но выше 25 0 С.

Уравнение теплового баланса будет иметь вид (1):

Ответ: В калориметре установится температура 63  С.

В калориметре находится вода массой 0,8 кг при температуре 20  С. В воду опустили 2 кг льда при температуре  30  С. Что будет в калориметре после того, как теплообмен прекратится? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

m ₁ = 0,8 кг

с ₁ =4200 Дж/(кг  0 С)

c ₂ =2100 Дж/(кг  0 С)

Рассмотрим варианты решения:

1. Вода остынет от 20  С до 0  С, затем эта вода замёрзнет и станет льдом при температуре 0  С, затем лёд, образовавшийся из воды, остынет до температуры  (см. график).

А опущенный в воду лёд только нагреется от температуры  30  С до температуры  . В калориметре будет находиться лёд при температуре  .

Уравнение теплового баланса запишется так:

 , m _в , m _л – ?

2. Вода остынет от 20  С до 0  С, часть её замёрзнет и станет льдом при 0  С, остальная – останется водой при 0  С. Лёд при этом нагреется от  30  С до 0  С (см. график). И тогда в калориметре будет находиться смесь воды со льдом при температуре 0  С. Уравнение теплового баланса запишется так:

c ₁ m ₁( t ₁  0) +  m  = c ₂ m ₂(   t ₂), где m   масса превратившейся в лед воды.

3. Вода остынет от 20  С до 0  С. Лёд при этом нагреется от  30  С до 0  С, затем частично или полностью расплавится и станет водой при 0  С. В калориметре будет смесь воды и льда при температуре 0  С. Уравнение теплового баланса запишется так:

c ₁ m ₁( t ₁  0) = c ₂ m ₂(0  t ₂) +  m  , где m   масса превратившегося в воду льда.

4. Лёд нагреется от  30  С до 0  С, расплавится, и образовавшаяся из льда вода нагреется от 0  С до температуры  . А вода массой m ₁ при этом остынет от 20  С до температуры  . Тогда в калориметре будет находиться вода при температуре  . Уравнение теплового баланса запишется так:

Проведем численный анализ ситуации. Сколько теплоты:

а) выделит вода при остывании от 20  С до 0  С:

Q ₁ = c ₁ m ₁ (t ₁  0) = 4200  0,8  20 = 67200 ( Дж );

б) выделит вода при превращении в лед при 0  С:

Q ₂ =  m ₁ = 340000  0,8 = 272000 (Дж);

в) нужно получить льду, чтобы нагреться от  30  С до 0  С:

Q ₃ = c ₂ m ₂ (0  t ₂ ) = 2100  2  30 = 126000 ( Дж );

г) нужно получить льду, чтобы полностью расплавиться при температуре 0  С:

Q ₄ =  m ₂ = 340000  2 = 680000 (Дж).

Получаем: чтобы весь лёд нагрелся от  30  С до 0  С, ему нужно передать 126000 Дж теплоты, а вода при этом, остывая от 20  С до 0  С, может дать только 67200 Дж. Значит, лёд эти 67200 Дж у воды «возьмет», но ему ещё не будет хватать Q  = 126000 Дж  67200 Дж = 58800 Дж, чтобы нагреться до 0  С. Он их «возьмёт» у превращающейся в лед воды (если бы вода полностью превратилась в лед, то она бы выделила 272000 Дж, а это больше, чем «нужно» льду):

Q  =  m   m  = Q  /  = 58800/340000  0,2 (кг), где

m   это масса воды, обратившейся в лёд при температуре 0  С.

Как только лёд нагреется до 0  С, теплообмен между льдом и водой прекратится, так как они будут иметь одинаковые температуры.

Итак, получили: вода остынет до 0  С, часть её (а именно m  = 0,2 кг) замёрзнет и станет льдом при 0  С, а лёд нагреется до 0  С. И в результате в калориметре будет находиться смесь воды и льда при 0  С. При этом масса воды будет равна:

m _в = m ₁  m  = 0,8 кг  0,2 кг = 0,6 кг,

а масса льда равна: m _л = m ₂ + m  = 2 кг + 0,2 кг = 2,2 кг.

Ответ: В калориметре при 0  С находится смесь воды (0,6 кг) и льда (2,2 кг).

В калориметр, содержащий 1 кг льда при  20  С, впускают 200 г водяного пара при 120  С. Что будет в калориметре, когда теплообмен прекратится? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

L = 2,3  10 6 Дж/кг

1. Вычислим, сколько теплоты нужно получить льду, чтобы нагреться от  20  С до 0  С:

Q ₁  = c ₁ m ₁ (0  t ₁ ) = 2100  1  20 = 42000 ( Дж );

2. Вычислим, сколько теплоты нужно получить льду, чтобы при 0  С растаять:

Q ₁  =  m ₁ = 340000  1 = 340000 (Дж);

3. Вычислим, сколько теплоты нужно получить воде, образующейся из льда, чтобы нагреться от 0  С до 100  С:

Q ₁  = c ₃ m ₁(100  0) = 4200  1  100 = 420000 (Дж);

4. Найдем, сколько теплоты выделит пар, остывая от 120  С до 100  С:

Q ₂  = c ₂ m ₂ (t ₂  100) = 2100  0,2  20 = 8400 ( Дж );

5. Найдем, сколько теплоты выделит пар, конденсируясь в воду при 100  С:

Q ₂  = Lm ₂ = 2300000  0,2 = 460000 ( Дж );

6. Рассчитаем, сколько теплоты может выделить вода, образовавшаяся из пара, остывая от 100  С до 0  С:

Q ₂  = c ₃ m ₃(100  0) = 4200  0,2  100 = 84000 (Дж).

Проведем анализ ситуации:

а) льду надо получить 42000 Дж, чтобы нагреться от  20  С до 0  С, а пар, остывая от 120  С до 100  С, может отдать только 8400 Дж. Значит, лёд «возьмёт» у пара 8400 Дж, но ещё не нагреется до 0  С. Льду не достает еще 42000 Дж – 8400 Дж = 33600 Дж, чтобы нагреться до 0  С;

б) недостающая энергия может быть получена от конденсации пара. Пар будет конденсироваться при 100  С и выделит при этом 460000 Дж. Лёд за счёт этого сначала нагреется до 0  С, а затем будет плавиться. Для этого ему нужна энергия: 33600 Дж + 340000 Дж = 373600 Дж. Это меньше, чем выделит пар, превращаясь в воду;

в) значит, лед растает и станет водой при 0  С. А у пара еще «останется» 460000 Дж – 373600 Дж = 86400 (Дж). Но этого не хватит, чтобы вода, образующаяся из льда, нагрелась до 100  С. Но на сколько-то она все же нагреется. Поэтому можно сделать вывод: в калориметре будет находиться только вода. Она будет состоять из воды, образованной из льда, и воды, образованной из пара. Её масса: m _в = m ₁ + m ₂ = 1,2 кг.

Конечную температуру воды  будем искать из уравнения теплового баланса:

Используем результаты сделанных ранее вычислений:

 = .

Ответ: В калориметре будет находиться 1,2 кг воды при температуре 17  С.

Иногда в задачах говорится о веществах, находящихся при указанных температурах в таких агрегатных состояниях, которые не соответствуют указанной температуре. Например, перегретая жидкость – жидкость, находящаяся при температуре выше температуры кипения (при обычном давлении); переохлаждённая жидкость – жидкость, находящаяся при температуре ниже температуры замерзания, но остающаяся ещё жидкостью. Такое возможно в условиях, когда нет центров парообразования или центров кристаллизации. При малейшем возмущении эти вещества самопроизвольно и очень быстро переходят в то агрегатное состояние, которое соответствует указанной температуре. В таких веществах энергия, необходимая для того или иного процесса, заключена в самом веществе. При решении подобных задач строить графики нет необходимости.

Колбу , содержащую 120 г перегретой воды при температуре 118  С и нормальном атмосферном давлении, слегка встряхивают, отчего происходит бурное вскипание воды. Сколько воды останется в колбе? Теплоёмкостью колбы и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

с = 4200 Дж/(кг  0 С)

L = 2,3  10 6 Дж/кг

Обозначим: m ₁ – масса выкипевшей воды.

Q ₁ = Lm ₁ – энергия, необходимая для превращения в пар воды массой m ₁. Этот переход обычно происходит при 100  С. а вся вода находится при температуре 118  С.

Значит, вся вода остывает до 100  С, выделяя при этом теплоту Q ₂ = cm ( t ₁  t ₂). Эта теплота и поглощается выкипающей водой.

Уравнение теплового баланса: Q ₁ = Q ₂

Lm ₁ = cm(t ₁  t ₂ )  m ₁ = m

m – m ₁ = m – m = m(1 – ) =

= 0,12(1  ) = 0,116 (кг) = 116 (г)

Ответ: В колбе останется 116 г воды.

Пробирку, содержащую 100 г воды, переохлаждённой до температуры  10  С, слегка встряхивают, отчего вода превращается в лёд с температурой 0  С. Какова масса образовавшегося льда? Теплоёмкость пробирки мала.

с =4200 Дж/(кг  0 С)

Вся вода нагревается от  10  С до 0  С, получая энергию Q за счёт того, что часть воды при этом превращается в лёд с температурой 0  С и выделяет при этом энергию Q₁.

Получается, что вся вода нагревается за счет теплоты, выделяющейся при кристаллизации своей части. Поэтому:

m ₁ = ;

m ₁ = .

Ответ: Масса образовавшегося льда равна 12 г.

Задачи для самостоятельного решения

Для приготовления ванны ёмкостью 100 л смешали холодную воду, имеющую температуру 12  С, и горячую, имеющую температуру 72  С. Сколько той и другой воды надо взять, чтобы температура воды в ванне была 36  С? 

Когда в 2 кг воды, находящейся в калориметре при 20  С, опустили алюминиевое тело массой 0,8 кг, имеющее температуру 100  С, температура воды поднялась до 25  С. Определить теплоёмкость калориметра.

В 2 кг воды, имеющей температуру 20  С, опустили сначала медное тело массой 2 кг, имеющее температуру 80  С. После того, как температура перестала меняться, в воду опустили железное тело массой 3 кг, имеющее температуру  20  С. Какой после этого стала температура воды? Теплоёмкостью сосуда пренебречь.

После опускания в воду, имеющую температуру 100  С, тела с температурой 20  С, установилась общая температура 80  С. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в нее опустить ещё два таких же тела, имеющих температуру 20  С?

В чайник налили воду при температуре 20 0 С и поставили на электроплитку. Через 13 минут вода закипела. Через какое время половина воды выкипит?

Для того, чтобы на спиртовом нагревателе, с КПД 70%, нагреть до кипения 1,4 кг воды и половину ее превратить в пар, израсходовали 100 г спирта. Какова начальная температура воды? Удельная теплота сгорания спирта 29  10 6 Дж/кг.

В калориметре находится лёд массой 500 г при температуре 0  С. В калориметр впускают водяной пар температурой 100  С. Сколько воды окажется в калориметре, когда весь лёд растает, а температура образовавшейся воды будет равна 0  С?

В калориметр, содержащий 400 г воды и 200 г льда при 0  С, впустили водяной пар с температурой 100  С. Сколько пара было впущено в калориметр, если в калориметре установилась температура 20  С? Теплоёмкость калориметра 1000 Дж/ 0 С.

В сосуд теплоёмкостью 1000 Дж/ 0 С, содержащий 5 кг воды при температуре 20  С, положили лёд, имеющий температуру  40  С. Температура образовавшейся смеси оказалась равна  2  С. Сколько льда было положено в сосуд?

В алюминиевом калориметре массой 200 г находится кусок льда с температурой  20  С. В калориметр впустили водяной пар, имеющий температуру 100  С. Когда температура калориметра стала равна 20  С, измерили массу его содержимого. Она оказалась равной 400 г. Найти массу льда, находящегося в калориметре, и массу сконденсировавшегося пара.

В калориметр, содержащий 3 кг воды при температуре 20  С, опустили 2 кг льда, имеющего температуру  10  С. Что будет в калориметре, когда теплообмен прекратится? Теплоемкостью калориметра пренебречь.

В калориметр, содержащий 1 кг льда и 800 г воды при 0  С впускают 100 г водяного пара при 100  С. Что будет в калориметре, когда теплообмен прекратится? Теплоемкостью калориметра пренебречь.

В калориметре находится вода массой 600 г при температуре 5  С. К ней долили ещё 300 г воды с температурой 10  С и положили 600 г льда с температурой  60  С. Что будет в калориметре после того, как теплообмен прекратится? Теплоемкостью калориметра пренебречь.

В теплоизолированном медном сосуде массой 400 г находятся 2 кг льда при температуре  10  С. В сосуд помещают 400 г водяного пара при температуре 110  С. Что будет в сосуде после того, как теплообмен прекратится?

В колбе находятся 200 г воды при температуре 0  С. Откачиванием паров всю воду в колбе заморозили. Сколько получилось льда?

Ответы и решения

60 л холодной и 40 л горячей воды.

t ₁ = 12  С

Q ₁ = cm ₁(   t ₁) – теплота, которую получит холодная вода, нагреваясь от 12  С до 36  С;

Q ₂ = c ( m  m ₁)( t ₂   ) – теплота, которую отдаст горячая вода, остывая от 72  С до 36  С,

V ₁ = V  ;

V ₁ = 100  = 60 (л),

V ₂ = V  V ₁ = 100 – 60 = 40 (л).

2. 2640 .

m ₁ = 2 кг

с ₁ =4200 Дж/(кг  0 С)

с ₂ = 920 Дж/(кг  0 С)

Q ₂ – теплота, отданная алюминиевым телом;

Q ₁ – теплота, полученная водой,

Q  теплота, полученная калориметром.

C _к = .

C _к = = 2640 (Дж/ 0 С)

c ₁ =4200 Дж/(кг  0 С)

c ₂ = 380 Дж/(кг  0 С)

c ₃ = 460 Дж/(кг  0 С)

Здесь удобнее пользоваться уравнением теплового баланса в виде (6), так как при решении этим способом последовательность опускания в воду тел не важна:

 = .

С₁– теплоёмкость воды;

С₂– теплоёмкость тела;

При опускании в воду с температурой t ₁ первого тела:

При опускании в воду с температурой t ₂ сразу трех тел:

Делим уравнение (1) на уравнение (2) и получаем:

,

Решая это уравнение, находим, что : t ₄  53  С.