Уравнение теплопроводности одно и многослойной стенки

Под теплопередачей через стенку понимают процесс передачи теплоты между двумя средами через непроницаемую стенку любой геометрической формы в стационарном и нестационарном режимах теплообмена. Стенка может быть многослойной.

Рассмотрим стационарный режим теплопередачи через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки при котором теплопередача — величина постоянная и температурное поле не изменяется во времени и зависит только от координаты. В этом случае при условии постоянства теплофизических свойств тела температура в плоской стенке изменяется линейно, а в цилиндрической — по логарифмическому закону, т.е.

Q = const и T = f(x) — линейная (при плоской стенке) или логарифмическая функция (при круглой стенке).

Согласно второму закону термодинамики процесс теплопередачи идет от среды с большей температурой к среде с меньшей температурой.

Теплопередача через непроницаемую стенку включает в себя следующие процессы:

1. теплоотдачу от горячей среды к стенке;
2. теплопроводность внутри стенки;
3. теплоотдачу от стенки к холодной среде.

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q [Вт] — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток [Вт]; F — площадь стенки [м 2 ].

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

λ/δ; [Вт/м 2 *К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м 2. К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Видео:Теплопроводность цилиндрической стенкиСкачать

Распределение температуры в плоской стенке

Рассмотрим изменение температуры в нашей стене. Так как у нас тепловой поток постоянный, то dT/dx = const=C₁; T=C₁х+С₂ (1). Определим С₁ и С₂ через граничные условия.

При х=0 T=T₁, подставим в уравнение (1) и получим T₁=С₂.
При х=δ T=T₂, подставим в уравнение (1) и получим T₂=С₁*δ+С₂, T₂=С₁*δ+T₁, получим: С₁=(Т₂-T₁)/δ. Теперь подставим в уравнение (1) найденные С₁ и С₂, получим следующее распределение температуры в нашей стене:

Если нам нужно узнать на какой глубине стены Т=То, то формула преобразуется в следующий вид:

Видео:Теплопроводность плоской стенкиСкачать

Теплопроводность через многослойную стенку

Если у нас есть стенка из нескольких (n) слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ_i и разной толщиной δ_i.

Термическое сопротивление стенки считается так:

Для теплового потока формула будет иметь вид:

Температура на границе слоя вычисляется по следующей формуле:

Например, если нужно вычислить температуру между 3-м и 4-м слоем, формула будет такая:

Эквивалентная теплопроводность многослойной стенки:

Видео:Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать

Теплопередача через плоскую стенку в граничащую среду (граничные условия третьего рода)

Теплопередача — это более сложный процесс теплообмена между жидкими и газообразными средами, разделенными твердой стенкой. Теплопередача включает в себя и процесс теплопроводности, и процесс теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи α, Вт/(м 2 ·К) — это количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и окружающей средой, равной одному градусу.

Коэффициент теплопередачи k, Вт/(м 2 ·К), характеризует тепловой поток, проходящий через единицу площади поверхности стенки при разности температуры сред, равной одному градусу:

q = k * (T_{возд.внутри} — T_{возд.снаружи}); Вт/м 2

Коэффициент теплопередачи для n слойной стенки:

Термические сопротивления теплоотдаче на внешних поверхностях стенки будут равны:

Тогда общее термическое сопротивление теплопередаче будет равно:

Температуры на поверхности стенки можно определить по формулам:

Видео:Видео лекция.Теплопроводность через плоскую стенкуСкачать

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (граничные условия первого рода)

Теплообменные аппараты в большинстве случаев имеют не плоские, а цилиндрические поверхности, например рекуператоры типа «труба в трубе», кожухотрубные водонагреватели и т.д. Поэтому возникает необходимость рассмотрения основных принципов расчета цилиндрических поверхностей.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Подставим значения граничные значение и вспомним, что разность логарифмов равна логарифму отношению аргументов, получим:

Распределение температур внутри однородной цилиндрической стенки подчиняется логарифмическому закону, и уравнение температурной кривой имеет вид:

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины трубы L, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.

Видео:6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

Однослойную и многослойную стенки (теплопередача)

Перенос теплоты от одной подвижной среды (горячей) к другой (холодной) через однослойную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.

Примерами теплопередачи могут служить: передача теплоты от греющей воды к воздуху помещения через стенки нагревательных батарей центрального отопления, передача теплоты от дымовых газов к воде через стенки кипятильных труб в паровых кот­лах, передача теплоты от конденсирующе­гося пара к воде через стенки труб конден­сатора, передача теплоты от раскаленных газов к воде через стенку цилиндра двига­теля внутреннего сгорания и т. д. Во всех рассматриваемых случаях стенка служит проводником теплоты и изготавливается из материала с высокой теплопровод­ностью.

В других случаях, когда требуется уменьшить потери теплоты, стенка должна быть изолятором и изготавливаться из материала с хорошими теплоизоляционными свойствами. Стенки встречаются самой разно­образной формы: в виде плоских или ребристых листов, в виде пуч­ка цилиндрических, ребристых или игольчатых труб, в виде ша­ровых поверхностей и т. д.

Теплопередача представляет собой весьма сложный процесс, в котором тепло передается всеми способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.

Действительно, при наличии стенки процесс теплопередачи скла­дывается из трех звеньев (рис. 3.1).

t

Q

x

Первое звено – перенос теп­лоты конвекцией от горячей среды к стенке. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью и часто – лучеиспусканием.

Вто­рое звено – перенос теплоты теплопроводностью через стенку. При распространении теплоты в пористых телах теплопроводность связана с конвекцией и излучением в порах.

Третье звено – пе­ренос теплоты конвекцией от второй поверхности стенки к холодной среде. В этой передаче теплоты конвекция также сопровождается теплопроводностью и часто излучением.

Количество теплоты, переданной горячей средой стенке путем конвективного теплообмена, определяется по уравнению Ньютона – Рихмана:

, (3.1)

где – коэффициент теплоотдачи от горячей среды с постоянной температурой

t к поверхности стенки, учитывающий все виды теплообмена;

F – расчётная поверхность плоской стенки, м .

Тепловой поток, переданный теплопроводностью через плоскую стенку, определяется по уравнению

. (3.2)

Тепловой поток, переданный от второй поверхности стенки к хо­лодной среде, определяется по той же формуле конвективного теп­лообмена Ньютона – Рихмана:

, (3.3)

где – коэффициент теплоотдачи от второй поверхности стенки к холодной

среде с постоянной температурой .

Величины Q в уравнениях (3.1), (3.2) и (3.3) одинаковы. Сколько теплоты воспринимает стенка при стационарном режиме, столько же она и отдает.

Рассматривая совместно эти три уравнения переноса теплоты, получаем формулу для определения теплового потока, переданного от одной подвижной среды к другой через стенку поверхности F:

, Вт, (3.4)

или плотности теплового потока:

, Вт/м . (3.5)

В уравнениях (3.4) и (3.5) величина обозначается буквой k и называется коэффициентом теплопередачи:

, Вт/м град. (3.6)

Числовое значение коэффициента теплопередачи выражает ко­личество теплоты, проходящей через единицу поверхности стенки в единицу времени от горячей к холодной среде при разности темпе­ратур между ними в 1°.

Полученные уравнения (3.4) и (3.5) называют уравнениями теплопере­дачи.

Для определения коэффициента k требуется предварительное определение коэффициентов теплоотдачи и , которые в большинстве случаев являются величинами сложны­ми, так как учитывают передачу тепла одновременно конвекцией и излучением.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи:

, (м град)/Вт, (3.7)

называется полным термическим сопротивлением теплопередачи через однослойную плоскую стенку.

Здесь и – термические сопротивления теплоотдачи;

– термическое сопротивление стенки.

В случае передачи теплоты через многослойную плоскую стенку в знаменателе формул (3.4) и (3.5) нужно поставить сумму термических сопротивлений всех слоев, и тогда полное термическое сопротивление теплопередачи определяется по формуле

, (м град)/Вт, (3.8)

а коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку определяется по формуле

, Вт/м град. (3.9)

Температуры на поверхностях плоской стенки определяют в зависимости от исходных данных с помощью следующих зависимостей:

, (3.10)

. (3.11)

Видео:Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Тема 12.Теплопередача

Видео:Передача тепла теплопроводностьюСкачать

12.1. Теплопередача через плоскую стенку

Теплопередачей называется передача теплоты от горячего теплоносителя к холодному теплоносителю через стенку, разделяющую эти теплоносители.

Примерами теплопередачи являются: передача теплоты от греющей воды нагревательных элементов (отопительных систем) к воздуху помещения; передача теплоты от дымовых газов к воде через стенки кипятильных труб в паровых котлах; передача теплоты от раскаленных газов к охлаждающей воде (жидкости) через стенку цилиндра двигателя внутреннего сгорания; передача теплоты от внутреннего воздуха помещения к наружному воздуху и т. д. При этом ограждающая стенка является проводником теплоты, через которую теплота передается теплопроводностью, а от стенки к окружающей среде конвекцией и излучением. Поэтому процесс теплопередачи является сложным процессом теплообмена.

При передаче теплоты от стенки к окружающей среде в основном преобладает конвективный теплообмен, поэтому будут рассматриваться такие задачи.

1). Теплопередача через плоскую стенку.

Рассмотрим однослойную плоскую стенку толщиной d и теплопроводностью l (рис12.1).

Температура горячей жидкости (среды) t ‘ _ж, холодной жидкости (среды) t » _ж.

Количество теплоты, переданной от горячей жидкости (среды) к стенке по закону Ньютона-Рихмана имеет вид:

где a ₁ – коэффициент теплоотдачи от горячей среды с температурой t ‘ _ж к поверхности стенки• с температурой t₁;

F – расчетная поверхность плоской стенки.

Тепловой поток, переданный через стенку определяется по уравнению:

Тепловой поток от второй поверхности стенки к холодной среде определяется по формуле:

где a ₂ – коэффициент теплоотдачи от второй поверхности стенки к холодной среде с температурой t » _ж.

Решая эти три уравнения получаем:

где К = 1 / (1/ a ₁ + / l + 1/ a ₂) – коэффициент теплопередачи, (12.5)

R₀ = 1/К = (1/ a ₁ + d / l + 1/ a ₂) – полное термическое сопротивление теплопередачи через однослойную плоскую стенку. (12.6)

1/ a ₁, 1/ a ₂ – термические сопротивления теплоотдачи поверхностей стенки;

d / l — термическое сопротивление стенки.

Для многослойной плоской стенки полное термическое сопротивление будет определяться по следующей формуле:

📽️ Видео

Тепловая задача - Многослойная плоская стенкаСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

Теплопередача через плоскую стенкуСкачать

Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)Скачать

12.1 Как остывает кирпич (уравнение теплопроводности)Скачать

Вывод уравнения теплопроводностиСкачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в ExcelСкачать

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать

Теплотехнический расчет стеныСкачать

Уравнение теплопроводности в кольцеСкачать

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать