Уравнение теплопроводности одно и многослойной стенки

Под теплопередачей через стенку понимают процесс передачи теплоты между двумя средами через непроницаемую стенку любой геометрической формы в стационарном и нестационарном режимах теплообмена. Стенка может быть многослойной.

Рассмотрим стационарный режим теплопередачи через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки при котором теплопередача — величина постоянная и температурное поле не изменяется во времени и зависит только от координаты. В этом случае при условии постоянства теплофизических свойств тела температура в плоской стенке изменяется линейно, а в цилиндрической — по логарифмическому закону, т.е.

Q = const и T = f(x) — линейная (при плоской стенке) или логарифмическая функция (при круглой стенке).

Согласно второму закону термодинамики процесс теплопередачи идет от среды с большей температурой к среде с меньшей температурой.

Теплопередача через непроницаемую стенку включает в себя следующие процессы:

1. теплоотдачу от горячей среды к стенке;
2. теплопроводность внутри стенки;
3. теплоотдачу от стенки к холодной среде.

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q [Вт] — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток [Вт]; F — площадь стенки [м 2 ].

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

λ/δ; [Вт/м 2 *К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м 2. К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Видео:Теплопроводность плоской стенкиСкачать

Распределение температуры в плоской стенке

Рассмотрим изменение температуры в нашей стене. Так как у нас тепловой поток постоянный, то dT/dx = const=C₁; T=C₁х+С₂ (1). Определим С₁ и С₂ через граничные условия.

При х=0 T=T₁, подставим в уравнение (1) и получим T₁=С₂.
При х=δ T=T₂, подставим в уравнение (1) и получим T₂=С₁*δ+С₂, T₂=С₁*δ+T₁, получим: С₁=(Т₂-T₁)/δ. Теперь подставим в уравнение (1) найденные С₁ и С₂, получим следующее распределение температуры в нашей стене:

Если нам нужно узнать на какой глубине стены Т=То, то формула преобразуется в следующий вид:

Видео:Теплопроводность цилиндрической стенкиСкачать

Теплопроводность через многослойную стенку

Если у нас есть стенка из нескольких (n) слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ_i и разной толщиной δ_i.

Термическое сопротивление стенки считается так:

Для теплового потока формула будет иметь вид:

Температура на границе слоя вычисляется по следующей формуле:

Например, если нужно вычислить температуру между 3-м и 4-м слоем, формула будет такая:

Эквивалентная теплопроводность многослойной стенки:

Видео:6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

Теплопередача через плоскую стенку в граничащую среду (граничные условия третьего рода)

Теплопередача — это более сложный процесс теплообмена между жидкими и газообразными средами, разделенными твердой стенкой. Теплопередача включает в себя и процесс теплопроводности, и процесс теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи α, Вт/(м 2 ·К) — это количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и окружающей средой, равной одному градусу.

Коэффициент теплопередачи k, Вт/(м 2 ·К), характеризует тепловой поток, проходящий через единицу площади поверхности стенки при разности температуры сред, равной одному градусу:

q = k * (T_{возд.внутри} — T_{возд.снаружи}); Вт/м 2

Коэффициент теплопередачи для n слойной стенки:

Термические сопротивления теплоотдаче на внешних поверхностях стенки будут равны:

Тогда общее термическое сопротивление теплопередаче будет равно:

Температуры на поверхности стенки можно определить по формулам:

Видео:Видео лекция.Теплопроводность через плоскую стенкуСкачать

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (граничные условия первого рода)

Теплообменные аппараты в большинстве случаев имеют не плоские, а цилиндрические поверхности, например рекуператоры типа «труба в трубе», кожухотрубные водонагреватели и т.д. Поэтому возникает необходимость рассмотрения основных принципов расчета цилиндрических поверхностей.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Подставим значения граничные значение и вспомним, что разность логарифмов равна логарифму отношению аргументов, получим:

Распределение температур внутри однородной цилиндрической стенки подчиняется логарифмическому закону, и уравнение температурной кривой имеет вид:

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины трубы L, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.

Видео:Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать

Однослойную и многослойную стенки (теплопередача)

Перенос теплоты от одной подвижной среды (горячей) к другой (холодной) через однослойную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.

Примерами теплопередачи могут служить: передача теплоты от греющей воды к воздуху помещения через стенки нагревательных батарей центрального отопления, передача теплоты от дымовых газов к воде через стенки кипятильных труб в паровых кот­лах, передача теплоты от конденсирующе­гося пара к воде через стенки труб конден­сатора, передача теплоты от раскаленных газов к воде через стенку цилиндра двига­теля внутреннего сгорания и т. д. Во всех рассматриваемых случаях стенка служит проводником теплоты и изготавливается из материала с высокой теплопровод­ностью.

В других случаях, когда требуется уменьшить потери теплоты, стенка должна быть изолятором и изготавливаться из материала с хорошими теплоизоляционными свойствами. Стенки встречаются самой разно­образной формы: в виде плоских или ребристых листов, в виде пуч­ка цилиндрических, ребристых или игольчатых труб, в виде ша­ровых поверхностей и т. д.

Теплопередача представляет собой весьма сложный процесс, в котором тепло передается всеми способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.

Действительно, при наличии стенки процесс теплопередачи скла­дывается из трех звеньев (рис. 3.1).

t

Q

x

Первое звено – перенос теп­лоты конвекцией от горячей среды к стенке. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью и часто – лучеиспусканием.

Вто­рое звено – перенос теплоты теплопроводностью через стенку. При распространении теплоты в пористых телах теплопроводность связана с конвекцией и излучением в порах.

Третье звено – пе­ренос теплоты конвекцией от второй поверхности стенки к холодной среде. В этой передаче теплоты конвекция также сопровождается теплопроводностью и часто излучением.

Количество теплоты, переданной горячей средой стенке путем конвективного теплообмена, определяется по уравнению Ньютона – Рихмана:

, (3.1)

где – коэффициент теплоотдачи от горячей среды с постоянной температурой

t к поверхности стенки, учитывающий все виды теплообмена;

F – расчётная поверхность плоской стенки, м .

Тепловой поток, переданный теплопроводностью через плоскую стенку, определяется по уравнению

. (3.2)

Тепловой поток, переданный от второй поверхности стенки к хо­лодной среде, определяется по той же формуле конвективного теп­лообмена Ньютона – Рихмана:

, (3.3)

где – коэффициент теплоотдачи от второй поверхности стенки к холодной

среде с постоянной температурой .

Величины Q в уравнениях (3.1), (3.2) и (3.3) одинаковы. Сколько теплоты воспринимает стенка при стационарном режиме, столько же она и отдает.

Рассматривая совместно эти три уравнения переноса теплоты, получаем формулу для определения теплового потока, переданного от одной подвижной среды к другой через стенку поверхности F:

, Вт, (3.4)

или плотности теплового потока:

, Вт/м . (3.5)

В уравнениях (3.4) и (3.5) величина обозначается буквой k и называется коэффициентом теплопередачи:

, Вт/м град. (3.6)

Числовое значение коэффициента теплопередачи выражает ко­личество теплоты, проходящей через единицу поверхности стенки в единицу времени от горячей к холодной среде при разности темпе­ратур между ними в 1°.

Полученные уравнения (3.4) и (3.5) называют уравнениями теплопере­дачи.

Для определения коэффициента k требуется предварительное определение коэффициентов теплоотдачи и , которые в большинстве случаев являются величинами сложны­ми, так как учитывают передачу тепла одновременно конвекцией и излучением.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи:

, (м град)/Вт, (3.7)

называется полным термическим сопротивлением теплопередачи через однослойную плоскую стенку.

Здесь и – термические сопротивления теплоотдачи;

– термическое сопротивление стенки.

В случае передачи теплоты через многослойную плоскую стенку в знаменателе формул (3.4) и (3.5) нужно поставить сумму термических сопротивлений всех слоев, и тогда полное термическое сопротивление теплопередачи определяется по формуле

, (м град)/Вт, (3.8)

а коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку определяется по формуле

, Вт/м град. (3.9)

Температуры на поверхностях плоской стенки определяют в зависимости от исходных данных с помощью следующих зависимостей:

, (3.10)

. (3.11)

Видео:Передача тепла теплопроводностьюСкачать

Тема 12.Теплопередача

Видео:Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

12.1. Теплопередача через плоскую стенку

Теплопередачей называется передача теплоты от горячего теплоносителя к холодному теплоносителю через стенку, разделяющую эти теплоносители.

Примерами теплопередачи являются: передача теплоты от греющей воды нагревательных элементов (отопительных систем) к воздуху помещения; передача теплоты от дымовых газов к воде через стенки кипятильных труб в паровых котлах; передача теплоты от раскаленных газов к охлаждающей воде (жидкости) через стенку цилиндра двигателя внутреннего сгорания; передача теплоты от внутреннего воздуха помещения к наружному воздуху и т. д. При этом ограждающая стенка является проводником теплоты, через которую теплота передается теплопроводностью, а от стенки к окружающей среде конвекцией и излучением. Поэтому процесс теплопередачи является сложным процессом теплообмена.

При передаче теплоты от стенки к окружающей среде в основном преобладает конвективный теплообмен, поэтому будут рассматриваться такие задачи.

1). Теплопередача через плоскую стенку.

Рассмотрим однослойную плоскую стенку толщиной d и теплопроводностью l (рис12.1).

Температура горячей жидкости (среды) t ‘ _ж, холодной жидкости (среды) t » _ж.

Количество теплоты, переданной от горячей жидкости (среды) к стенке по закону Ньютона-Рихмана имеет вид:

где a ₁ – коэффициент теплоотдачи от горячей среды с температурой t ‘ _ж к поверхности стенки• с температурой t₁;

F – расчетная поверхность плоской стенки.

Тепловой поток, переданный через стенку определяется по уравнению:

Тепловой поток от второй поверхности стенки к холодной среде определяется по формуле:

где a ₂ – коэффициент теплоотдачи от второй поверхности стенки к холодной среде с температурой t » _ж.

Решая эти три уравнения получаем:

где К = 1 / (1/ a ₁ + / l + 1/ a ₂) – коэффициент теплопередачи, (12.5)

R₀ = 1/К = (1/ a ₁ + d / l + 1/ a ₂) – полное термическое сопротивление теплопередачи через однослойную плоскую стенку. (12.6)

1/ a ₁, 1/ a ₂ – термические сопротивления теплоотдачи поверхностей стенки;

d / l — термическое сопротивление стенки.

Для многослойной плоской стенки полное термическое сопротивление будет определяться по следующей формуле:

🔥 Видео

Тепловая задача - Многослойная плоская стенкаСкачать

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)Скачать

Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Теплопередача через плоскую стенкуСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

12.1 Как остывает кирпич (уравнение теплопроводности)Скачать

Теплотехнический расчет стеныСкачать

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в ExcelСкачать

Вывод уравнения теплопроводностиСкачать

Уравнение теплопроводности в кольцеСкачать

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать