Как решить квадратное уравнение матрицы

Видео:Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Как решить квадратное уравнение матрицы

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Как решить квадратное уравнение матрицыПриводим матричное уравнение к упрощённому виду

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Видео:§28 Матричные уравненияСкачать

§28 Матричные уравнения

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

  1. Делим единицу на определитель матрицы A.
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Как решить квадратное уравнение матрицыТретье действие: получаем обратную матрицу

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Как решить квадратное уравнение матрицыРешаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Как решить квадратное уравнение матрицыПроверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Видео:Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4Скачать

Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида AX = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу Как решить квадратное уравнение матрицыслева:

Как решить квадратное уравнение матрицы.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: Как решить квадратное уравнение матрицы, поэтому

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Так как E — единичная матрица, то EX = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Как решить квадратное уравнение матрицы,

Как решить квадратное уравнение матрицы,

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как Как решить квадратное уравнение матрицы. Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Решение. Данное уравнение имеет вид AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Как решить квадратное уравнение матрицы, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Как решить квадратное уравнение матрицы

Пример 2. Решить матричное уравнение

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Пример 3. Решить матричное уравнение

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Как решить квадратное уравнение матрицы, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим неизвестную матрицу:

Как решить квадратное уравнение матрицы

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Решение. Это уравнение первого вида: AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Как решить квадратное уравнение матрицы, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Как решить квадратное уравнение матрицы

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим неизвестную матрицу:

Как решить квадратное уравнение матрицы

Пример 5. Решить матричное уравнение

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Как решить квадратное уравнение матрицы, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим неизвестную матрицу:

Как решить квадратное уравнение матрицы

Пример 6. Решить матричное уравнение

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Решение. Данное уравнение имеет вид AXB = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде Как решить квадратное уравнение матрицы. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Как решить квадратное уравнение матрицы

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Находим матрицу, обратную матрице B :

Как решить квадратное уравнение матрицы.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения

С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица $$A$$ невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу $$X$$ . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу $A^$ слева:

$$A^ A X=A^ B Rightarrow E X=A^ B Rightarrow$$ $$X=A^ B$$

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Примеры решения систем уравнений

Задание. Найти решение СЛАУ $left<begin 5 x_+2 x_=7 \ 2 x_+x_=9 endright.$ матричным методом.

$$X=left(begin x_ \ x_ endright)=A^ B=left(begin 1 & -2 \ -2 & 5 endright) cdotleft(begin 7 \ 9 endright)=$$ $$=left(begin -11 \ 31 endright) Rightarrowleft(begin x_ \ x_ endright)=left(begin -11 \ 31 endright)$$

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_=-11, x_=31$

Ответ. $x_=-11, x_=31$

Как решить квадратное уравнение матрицы

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $left<begin 2 x_+x_+x_=2 \ x_-x_=-2 \ 3 x_-x_+2 x_=2 endright.$

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

где $A=left(begin 2 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 3 & -1 & 2 endright)$ — матрица системы, $X=left(beginx_ \ x_ \ x_endright)$ — столбец неизвестных, $X=left(begin x_ \ x_ \ x_ endright)$ — столбец правых частей. Тогда $X=A^ B$

Найдем обратную матрицу $X=A^$ к матрице $A$ с помощью союзной матрицы:

Здесь $Delta=|A|$ — lt a href=»formules_6_11.php» title=»Методы вычисления определителей матрицы: теоремы и примеры нахождения»>определитель матрицы $A$ ; матрица $tilde$ — союзная матрица, она получена из исходной матрицы $A$ заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем $A$ , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы $A$ :

Определитель матрицы $A$

$$Delta=left|begin 2 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 3 & -1 & 2 endright|=2 cdot(-1) cdot 2+1 cdot(-1) cdot 1+1 cdot 0 cdot 3-$$ $$-3 cdot(-1) cdot 1-(-1) cdot 0 cdot 2-1 cdot 1 cdot 2=-4 neq 0$$

🎥 Видео

Как находить обратную матрицу - bezbotvyСкачать

Как находить обратную матрицу - bezbotvy

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Решите уравнение ➜ Определитель третьего порядка равен нулюСкачать

Решите уравнение ➜ Определитель третьего порядка равен нулю

Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать

Лекция 8. Решение матричных уравнений

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетитор
Поделиться или сохранить к себе: