Уравнение слуцкого с начальным запасом (5 видео)

Потребление с учетом начального запаса

Факторный анализ взаимосвязи «цена-спрос» имеет специфику в случаях, когда доход (или его часть) представлен в натуральной форме – в форме начального запаса благ. Помимо традиционных эффектов замещения и дохода, на спрос при изменении цены товара воздействует также эффект начального запаса. Он влияет на спрос в направлении, противоположном действию обычного эффекта дохода.

Предположим, что у потребителя имеетсяначальный запас двух товаров, который обозначим через (X₀,Y₀). Он показывает, сколько товаров имеется у потребителя до вступления на рынок. В этой связи проведем разграничение междуваловым спросом потребителя и егочистым спросом. Валовой спрос на товар есть то количество товара, которое потребитель в итоге фактически приобретет. Чистый спрос на товар есть разность между тем, что потребитель приобретет в итоге (валовой спрос), и начальным товарным запасом.

Если обозначить валовой спрос на товары через (X₁,Y₁), то чистый спрос на них будет равен (X₁ – X₀,Y₁ – Y₀). величина валового спроса обычно положительна, величина чистого спроса может быть и положительной, и отрицательной. Если величина чистого спроса на товар отрицательна, это означает, что потребитель хочет потребить меньше товара, чем имеет; иными словами, он хочет предложить товар рынку. Отрицательная величина чистого спроса – это просто величина предложения.

Стоимость товарного набора, который он приобретает, должна быть равна стоимости товарного набора, с которым он выходит рынок. Бюджетное ограничение принимает следующий вид:

Если величина (Х₁ – X₀) положительна, то данный потребитель являетсячистым покупателем иличистым потребителем товара X; если она отрицательна, то он являетсячистым продавцом иличистым поставщиком товара X (аналогичные рассуждения действительны и для товара Y). Следовательно, стоимость того, что потребитель покупает, должна быть равна стоимости того, что он продает

При заданных ценах стоимость запаса и, следовательно, денежный доход потребителя оказываются заданными. Задавая цены, тем самым получаем точно такое же уравнение бюджетной линии, как и ранее, т.е. без учета начального запаса. Следовательно, наклон бюджетной линии, как и прежде, должен быть P_X/P_Y. Набор начального запаса всегда находится на бюджетной линии, следовательно, бюджетная линия имеет наклон P_X/P_Y и проходит через точку начального запаса. Это изображено на рис. 1.10, где показан пример оптимального потребительского набора – набор (X₁,Y₁). Он удовлетворяет условию оптимальности, состоящему в том, что предельная норма замещения равна отношению цен.

Рисунок 1.10 – Бюджетная линия при наличии начального запаса благ

Бюджетная линия сдвигается влево (рис. 1.11а). То же самое происходит при сокращении денежного дохода. Следовательно, при начальном запасе (X’₀,Y’₀) благосостояние потребителя ниже, чем при исходном начальном запасе, поскольку возможности его потребления сократились, и характер изменения спроса потребителя на каждый товар будет зависеть от того, является ли этот товар нормальным товаром или товаром низшей категории.

Например, если товар X – нормальный товар и начальный запас потребителя изменяется таким образом, что его стоимость сокращается, то спрос потребителя на товар X будет уменьшаться.

Случай возрастания стоимости начального запаса представлен на рис. 1.11б. Если происходит параллельный сдвиг бюджетной линии вправо, благосостояние потребителя должно возрасти. Оптимальный выбор потребителя при новом бюджетном множестве должен предпочитаться его оптимальному выбору при исходном начальном запасе.

а)

б)

Рисунок 1.11 – Изменение начального запаса при постоянных ценах

Известно, что при снижении цены товара X бюджетная линия становится более пологой. Поскольку набор начального запаса всегда доступен, это означает, что бюджетная линия должна повернуться вокруг точки начального запаса, как показано на рис. 1.12.

Рисунок 1.12 – Изменение бюджетной линии при начальном запасе благ

В этом случае потребитель первоначально выступает продавцом товара X и остается им после снижения цены. В представленном графически случае потребитель после изменения цены оказывается на более низкой кривой безразличия, чем раньше, и его благосостояние понижается. Но если при снижении цены продаваемого потребителем товара потребитель решает стать покупателем этого товара, в этом случае благосостояние потребителя может и повыситься, и понизиться.

Когда потребитель выступает чистым покупателем товара, все происходит наоборот: если потребитель является чистым покупателем товара, цена этого товара возрастает, а потребитель решает остаться покупателем, то его благосостояние ухудшится. Но если рост цены побудит потребителя стать продавцом, может произойти и то, и другое – его благосостояние также может и повыситься, и понизиться.

Количественное разграничение эффектов также осуществляется посредством уравнения Слуцкого с учетом начального запаса, которое имеет вид:

( )

где – эффект начального запаса;

Х₁ – объем потребления товара Х;

Х₀ – начальный запас товара Х;

– совокупный эффект дохода и начального запаса.

Если начальный запас блага больше, чем валовый спрос (объем потребления X₁), индивид является чистым продавцом блага X.В данном случае совокупный эффект дохода и начального запаса действует в направлении, противоположном эффекту замещения. Если при этом чистое предложение блага X (разница между начальным запасом и валовым спросом) велико, то даже для нормальных благ, не являющихся товарами Гиффена, может наблюдаться прямая зависимость между ценой и объемом потребления.

Если начальный запас меньше валового спроса (индивид является чистым покупателем товара и разница между Х₀ и X₁ характеризуется как чистый спрос), совокупный эффект начального запаса и дохода по нормальным благам действует в одном направлении с эффектом замещения, но в направлении, противоположном изменению цен.

В случае наличия начального запаса благ уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности имеет вид:

где S_X₀ – доля начального запаса товара Х в доходе потребителя;

S_Х – доля конечного потребления товара Х в доходе (расходах) потребителя.

В целом компонент отражает совокупное влияние эффектов дохода и начального запаса на эластичность спроса ε_р. Влияние эффекта начального запаса отражается как .

Видео:Вывод уравнения СлуцкогоСкачать

Глава 9 — КУПЛЯ И ПРОДАЖА

В простой модели потребительского выбора, рассмотренной в предыдущих главах, доход потребителя был задан. В реальной жизни люди зарабатывают доход посредством продажи того, чем владеют: продуктов своего труда, накопленных активов или, чаще всего, собственного труда. В настоящей главе мы исследуем то, как надо изменить ранее представленную модель, чтобы описать поведение такого рода.

9.1. Чистый спрос и валовой спрос

Как и ранее, ограничимся двухтоварной моделью. Теперь мы предполагаем, что в исходном пункте у потребителя имеется начальный запас двух товаров, который обозначим через ( w ₁ , w ₂ ). Он показывает, сколько товаров имеется у потребителя до вступления на рынок. Представьте себе фермера, отправляющегося на рынок с w ₁ единицами моркови и w ₂ единицами картофеля. Фермер изучает рыночные цены и решает, сколько указанных товаров он хочет купить и продать.

Проведем разграничение между валовым спросом потребителя и его чистым спросом. Валовой спрос на товар есть то количество товара, которое потребитель в итоге фактически потребит: он показывает, сколько каждого товара потребитель принесет домой с рынка. Чистый спрос на товар есть разность между тем, что потребитель потребит в итоге (валовой спрос), и начальным товарным запасом. Чистый спрос на товар — это просто купленное или проданное количество товара.

Если обозначить валовой спрос на товары через ( x ₁ , x₂ ), то чистый спрос на них будет равен ( x ₁ — w ₁ , x ₂ — w ₂ ). Обратите внимание, что в то время, как величина валового спроса обычно положительна, величина чистого спроса может быть и положительной, и отрицательной. Если величина чистого спроса на товар 1 отрицательна, это означает, что потребитель хочет потребить меньше товара 1, чем имеет; иными словами, он хочет предложить товар 1 рынку. Отрицательная величина чистого спроса — это просто величина предложения.

Для целей экономического анализа большее значение имеет валовой спрос, поскольку именно он в конечном счете интересует потребителя. Но чистый спрос есть то, что реально демонстрируется рынком, и поэтому он ближе к тому, что понимает под спросом и предложением неспециалист.

9.2. Бюджетное ограничение

В первую очередь нам надо рассмотреть то, какой вид принимает теперь бюджетное ограничение. Что ограничивает конечное потребление потребителя? Стоимость товарного набора, который он приносит домой, должна быть равна стоимости товарного набора, с которым он пришел на рынок. Или, алгебраически:

Мы могли бы выразить уравнение данной бюджетной линии и через валовой и чистый спрос, представив его в виде

Если величина (x₁ — w ₁ ) положительна, мы говорим, что данный потребитель является чистым покупателем или чистым потребителем товара 1; если она отрицательна, мы говорим, что он является чистым продавцом или чистым поставщиком товара 1. Таким образом, в приведенном выше уравнении утверждается, что стоимость того, что потребитель покупает, должна быть равна стоимости того, что он продает, и это представляется вполне разумным.

Мы могли бы также представить бюджетную линию с учетом начального запаса и в виде, сходном с описанным нами ранее. Теперь для этого потребуются два уравнения:

При заданных ценах стоимость запаса и, следовательно, денежный доход потребителя также оказываются заданными.

Каков графический вид данной бюджетной линии? Задавая цены, мы тем самым задаем денежный доход и получаем точно такое же уравнение бюджетной линии, как и раньше. Следовательно, наклон бюджетной линии, как и прежде, должен быть задан отношением —p₁/p₂ , поэтому единственной проблемой является определение местоположения линии.

Местоположение линии можно определить, воспользовавшись следующим простым наблюдением: набор начального запаса всегда находится на бюджетной линии. Иными словами, одно из значений (x₁, x₂ ), удовлетворяющих уравнению бюджетной линии, есть x₁ = w ₁ и x₂ = w ₂ . Набор начального запаса всегда доступен потребителю, поскольку сумма, которую он может израсходовать, в точности равна стоимости запаса.

Сведение этих фактов воедино показывает, что бюджетная линия имеет наклон —p₁/p₂ и проходит через точку начального запаса. Это изображено на рис.9.1.

Бюджетная линия . Бюджетная линия проходит через точку начального запаса и имеет наклон — p ₁ /p₂ .

Если задано такое бюджетное ограничение, потребитель, как и прежде, может выбрать оптимальный потребительский набор. На рис.9.1 показан пример оптимального потребительского набора — набор ( , ). Как и раньше, он удовлетворяет условию оптимальности, состоящему в том, что предельная норма замещения равна отношению цен.

В данном конкретном случае > w ₁ , а w ₂ , так что потребитель является чистым покупателем товара 1 и чистым продавцом товара 2. Чистый спрос — это просто чистая величина покупки или продажи двух товаров. Вообще говоря, потребитель решает, быть ему покупателем или продавцом, в зависимости от относительных цен двух товаров.

9.3. Изменение начального запаса

В рамках проведенного нами ранее анализа потребительского выбора мы изучали, каким образом меняется оптимальное потребление с изменением денежного дохода при неизменных ценах. Подобный же анализ можно провести и здесь, задав вопрос, как меняется оптимальное потребление с изменением начального запаса при неизменных ценах.

Предположим, например, что начальный запас изменяется с ( w ₁ , w ₂ ) до некоторой другой величины (, ), так что

p ₁ w ₁ + p₂ w ₂ > p₁+ p₂.

Данное неравенство означает, что новый начальный запас (, ) стоит меньше старого — денежный доход, который потребитель мог бы получить, продав запас, меньше.

Это графически показано на рис.9.2: бюджетная линия сдвигается внутрь. Поскольку то же самое происходит при сокращении денежного дохода, отсюда можно сделать те же два вывода, что сделали мы при исследовании случая сокращения денежного дохода. Во-первых, при начальном запасе (, ) благосостояние потребителя определенно ниже, чем при старом начальном запасе, поскольку возможности его потребления сократились. Во-вторых, характер изменения спроса потребителя на каждый товар будет зависеть от того, является ли этот товар нормальным товаром или товаром низшей категории.

Например, если товар 1 — нормальный товар и начальный запас потребителя изменяется таким образом, что его стоимость сокращается, можно заключить, что спрос потребителя на товар 1 будет уменьшаться.

Случай возрастания стоимости начального запаса представлен на рис.9.2 B. Следуя логике приведенной выше аргументации, мы можем заключить, что если происходит параллельный сдвиг бюджетной линии наружу, благосостояние потребителя должно возрасти. На языке алгебры, если начальный запас изменяется с ( w ₁ , w ₂ ) до (, ) и p₁ w ₁ + p₂ w ₂ p₁+ p₂ , то новое бюджетное множество потребителя должно содержать в себе его старое бюджетное множество. Этим в свою очередь подразумевается, что оптимальный выбор потребителя при новом бюджетном множестве должен предпочитаться его оптимальному выбору при старом начальном запасе.

A Уменьшение стоимости начального запаса

B Увеличение стоимости начального запаса

Изменения в стоимости начального запаса . В случае A стоимость начального запаса уменьшается, в случае B растет.

Над этим моментом стоит немного поразмыслить. В гл. 7 мы утверждали, что сам факт более высокой стоимости одного набора по сравнению с другим еще не означает, что данный набор будет предпочтен другому. Это, однако, справедливо лишь для набора, который должен потребляться. Если же потребитель может продать товарный набор на конкурентном рынке по постоянным ценам, он всегда предпочтет набор большей стоимости набору меньшей стоимости просто потому, что набор большей стоимости принесет ему больше дохода и поэтому больше возможностей потребления. Следовательно, начальный запас, имеющий более высокую стоимость, будет всегда предпочитаться начальному запасу с более низкой стоимостью. Как мы далее увидим, из данного простого наблюдения вытекает ряд важных следствий.

Рассмотрим еще один случай: что произойдет, если p₁ w ₁ + p₂ w ₂ = p₁ + p₂ ? В этом случае бюджетное множество совершенно не изменяется: благосостояние потребителя одинаково и при ( w ₁ , w ₂ ), и при (, ), и оптимальный выбор потребителя должен быть тем же самым. Начальный запас лишь переместился вдоль исходной бюджетной линии.

9.4. Изменения цен

Ранее, когда мы изучали изменения спроса при изменениях цены, мы принимали гипотезу о том, что денежный доход потребителя остается постоянным. Теперь, когда денежный доход определяется стоимостью начального запаса, такая гипотеза выглядит неразумной: если стоимость товара, который вы продаете, изменяется, ваш денежный доход безусловно изменится. Следовательно, в случае наделенности потребителя начальным запасом изменение цен автоматически подразумевает изменение дохода.

Порассуждаем вначале на эту тему с позиций геометрии. Нам известно, что при снижении цены товара 1 бюджетная линия становится более пологой. Поскольку набор начального запаса всегда доступен, это означает, что бюджетная линия должна повернуться вокруг точки начального запаса, как показано на рис.9.3.

В этом случае потребитель первоначально выступает продавцом товара 1 и остается им даже после снижения цены. Что можно сказать о благосостоянии этого потребителя? В представленном графически случае потребитель после изменения цены оказывается на более низкой кривой безразличия, чем раньше, но всегда ли это будет так? Ответ дает нам применение принципа выявленных предпочтений.

Уменьшение цены товара 1 . Понижение цены товара 1 вызывает поворот бюджетной линии вокруг точки начального запаса. Если потребитель остается продавцом, его благосостояние должно понизиться.

Если потребитель остается продавцом, его новый потребительский набор должен лежать на жирной части новой бюджетной линии. Но эта часть новой бюджетной линии находится внутри исходного бюджетного множества: до изменения цены потребитель мог выбрать любой из этих наборов. Следовательно, согласно принципу выявленных предпочтений все эти наборы хуже исходного потребительского набора. Поэтому можно сделать вывод, что если цена товара, продаваемого потребителем, снижается, а потребитель решает остаться продавцом, благосостояние данного потребителя должно понизиться.

Что если цена продаваемого потребителем товара снижается и потребитель решает стать покупателем этого товара? В этом случае благосостояние потребителя может и повыситься, и понизиться — сказать наверняка невозможно.

Обратимся теперь к случаю, когда потребитель выступает чистым покупателем товара. В этом случае все происходит как раз наоборот: если потребитель является чистым покупателем товара, цена этого товара возрастает, а потребитель решает остаться покупателем, то его благосостояние определенно ухудшится. Но если рост цены побудит потребителя стать продавцом, может произойти и то, и другое — его благосостояние может и повыситься, и понизиться. Данные утверждения следуют из простого применения принципа выявленных предпочтений подобно тому, как это было сделано в случаях, описанных выше, но стоит самостоятельно нарисовать соответствующий график, чтобы убедиться, что логика этих рассуждений вам понятна.

Выявленные предпочтения позволяют нам также отметить ряд интересных моментов, касающихся принятия решения о том, оставаться ли при изменении цен покупателем или же стать продавцом. Представим себе, что потребитель, как на рис.9.4, выступает чистым покупателем товара 1, и подумаем, что происходит, если цена товара 1 снижается. В этом случае бюджетная линия, как видно из рис.9.4, становится более пологой.

Как обычно, нам в точности неизвестно, купит ли потребитель больше товара 1 или меньше — это зависит от его вкусов. Однако кое-что мы можем сказать наверняка: потребитель по-прежнему будет чистым покупателем товара 1 — он не сменит этой роли на роль продавца.

Откуда нам это известно? Посмотрим, что произошло бы, если бы потребитель переключился на новую роль. В этом случае его потребительский набор лежал бы где-то на жирной части новой бюджетной линии на рис. 9.4. Но все эти потребительские наборы были доступны ему и при исходной бюджетной линии и он отверг их в пользу набора ( , ). Таким образом, набор ( , ) должен быть лучше любого из указанных наборов. И при новой бюджетной линии ( , ) является доступным потребительским набором. Итак, какой бы набор ни потреблял данный потребитель при новой бюджетной линии, этот набор должен быть лучше, чем ( , ), и, следовательно, лучше, чем любые точки на жирной части новой бюджетной линии. Сказанное означает, что потребление x ₁ данным потребителем должно находиться справа от точки его начального запаса, т.е. что потребитель должен оставаться чистым покупателем товара 1.

Снижение цены товара 1 . Если данный индивид выступает покупателем и цена того, что он покупает, снижается, он остается покупателем.

Опять-таки наблюдения такого рода в равной степени применимы и к тому лицу, которое является чистым продавцом товара: если цена продаваемого товара растет, потребитель не переключится на роль чистого покупателя. Мы не можем сказать наверняка, будет ли данный потребитель потреблять больше или меньше того товара, который он продает, но мы знаем, что он по-прежнему будет продавать его, если цена растет.

9.5. Кривые «цена—потребление» и кривые спроса

Как вы помните из гл. 6, кривые «цена—потребление» показывают все комбинации обоих товаров, на которые может предъявить спрос данный потребитель, а кривые спроса показывают взаимосвязь между ценой некоего товара и количеством спроса на него. В точности те же построения сохраняют силу и в случае наделенности потребителя начальным запасом обоих товаров.

Рассмотрим, например, рис.9.5, на котором изображены кривая «цена—потребление» и кривая спроса для некоего потребителя. Кривая «цена—потребление» всегда проходит через точку начального запаса, поскольку при какой-то цене начальный запас становится набором спроса; т.е. при каких-то ценах потребитель в оптимуме предпочтет не торговать.

A Кривая «цена—потребление» B Кривая спроса

Кривая «цена—потребление» и кривая спроса . Это два способа изображения взаимосвязи между набором спроса и ценами при наличии начального запаса.

Как мы видели, потребитель может решить быть покупателем товара 1 при одних ценах и продавцом товара 1 — при других. Следовательно, кривая «цена—потребление» будет обычно проходить слева и справа от точки начального запаса.

Кривая спроса, изображенная на рис.9.5, есть кривая валового спроса, она показывает совокупное количество товара 1, которое хотел бы потребить потребитель. Кривая чистого спроса изображена на рис.9.6.

Обратите внимание, что чистый спрос на товар 1 при некоторых ценах обычно бывает отрицательным. Это происходит тогда, когда цена товара 1 становится столь высока, что потребитель предпочтет стать продавцом товара 1. При какой-то цене потребитель переключается на новую роль — из чистого покупателя товара 1 превращается в чистого продавца этого товара.

Кривую предложения принято рисовать в положительном квадранте, хотя на самом деле разумнее было бы считать предложение просто отрицательным спросом. Здесь мы последуем традиции и графически построим кривую чистого предложения нормальным способом, считая предложение величиной положительной, как на рис.9.6.

A Чистый спрос B Валовой спрос C Чистое предложение

Валовой спрос, чистый спрос и чистое предложение . Использование кривых валового и чистого спроса для отображения поведения потребителя в отношении спроса и предложения.

Алгебраически чистый спрос на товар 1, d ₁ ( p ₁ , p₂ ) есть разность валового спроса x ₁ ( p ₁ , p₂ ) и начального запаса товара 1, когда эта разность положительна, т.е. когда потребитель хочет иметь больше данного товара, чем имеет:

, если данная величина положительна;

, если она принимает другие значения.

Кривая чистого предложения есть разность того количества товара 1, которое есть у данного потребителя, и того количества данного товара, которое он хочет иметь, когда эта разность положительна:

, если данная величина положительна;

, если она принимает другие значения.

Все, что нам удалось установить в отношении свойств поведения потребителя как покупателя, непосредственно относится и к поведению потребителя как поставщика товаров, потому что предложение есть не что иное как отрицательный спрос. Если кривая валового спроса всегда нисходяща, то и кривая чистого спроса будет нисходящей, а кривая предложения — восходящей. Подумайте о следующем: если вследствие роста цены чистый спрос становится более отрицательным, то чистое предложение станет более положительным.

9.6. И снова уравнение Слуцкого

Рассмотренные выше применения принципа выявленных предпочтений удобны, но, в действительности не дают ответа на главный вопрос: как реагирует спрос на товар на изменение его цены? В гл. 8 мы видели, что при сохранении постоянным денежного дохода и в случае нормального товара снижение цены должно вести к увеличению спроса.

Ловушкой служат слова » при сохранении постоянным денежного дохода». Случай, рассматриваемый в настоящем параграфе, с необходимостью предполагает изменение денежного дохода, поскольку при изменении цены непременно произойдет изменение стоимости начального запаса.

В гл. 8 нами было описано уравнение Слуцкого, позволяющее разложить изменение спроса, вызванное изменением цены, на эффект замещения и эффект дохода. Эффект дохода мы связывали с изменением покупательной способности при изменении цен. Но теперь с изменением цены покупательная способность может меняться по двум причинам. Первая — та, которая учтена в формулировке уравнения Слуцкого: когда цена падает, например, вы можете купить столько же товара, сколько потребляли раньше, и при этом у вас еще останутся лишние деньги. Назовем этот эффект обычным эффектом дохода. Второй эффект, однако, является новым. Изменение цены товара вызывает изменение стоимости вашего начального запаса и вследствие этого изменяет ваш денежный доход. Например, если вы — чистый продавец товара, то снижение его цены сократит ваш денежный доход непосредственно, так как при продаже своего начального запаса вы не сможете выручить за него столько же денег, что и раньше. Мы будем иметь те же эффекты, что и прежде, плюс дополнительный эффект дохода, вызванный влиянием цен на стоимость набора начального запаса. Назовем его эффектом дохода, связанным с начальным запасом (далее по тексту используется чаще встречающееся в литературе сокращенное название данного эффекта — просто эффект начального запаса — прим. науч. ред.)

В ранее рассмотренной нами форме уравнения Слуцкого сумма денежного дохода принималась неизменной. Теперь нам приходится беспокоиться о том, как изменяется денежный доход с изменением стоимости начального запаса. Таким образом, при расчете общего эффекта изменения цены уравнение Слуцкого примет вид:

общее изменение спроса = изменение спроса вследствие эффекта замещения + изменение спроса вследствие обычного эффекта дохода + изменение спроса вследствие эффекта начального запаса.

Два первых эффекта нам знакомы. Как и раньше, будем обозначать через D x ₁ — общее изменение спроса, через D — изменение спроса, вызванное эффектом замещения, и через D — изменение спроса, вызванное обычным эффектом дохода. Подставив эти обозначения в приведенное выше «словесное уравнение», получим уравнение Слуцкого в форме отношений изменений:

=— x ₁ + эффект начального запаса. (9.1)

Как будет выглядеть последний член этого уравнения? Точное выражение для него мы выведем ниже, но вначале разберемся, о чем тут идет речь. С изменением стоимости начального запаса изменится денежный доход, и это изменение денежного дохода вызовет изменение спроса. Следовательно, эффект начального запаса будет состоять из двух членов:

эффект начального запаса = изменение спроса при изменении дохода *

* изменение дохода при изменении цены. (9.2)

Сначала посмотрим на второй эффект. Поскольку доход определяется как

Это говорит нам, как изменяется денежный доход при изменении цены товара 1: если у вас имеется для продажи 10 единиц товара 1 и его цена повышается на 1$, то ваш денежный доход возрастет на 10$.

Первый член уравнения (9.2) есть просто изменение спроса при изменении дохода. Для него уже имеется выражение: это D / D m — изменение спроса, деленное на изменение дохода. Таким образом, эффект начального запаса задан выражением

эффект начального запаса = = w ₁ . (9.3)

Подставив уравнение (9.3) в уравнение (9.1), получаем окончательный вид уравнения Слуцкого:

=+ ( w ₁ — x ₁ ) .

Это уравнение может быть использовано для ответа на поставленный выше вопрос. Нам известно, что эффект замещения всегда имеет отрицательный знак — противоположный направлению изменения цены. Предположим, что товар нормальный, так что D / D m > 0 . Тогда знак совокупного эффекта дохода зависит от того, является ли данный индивид чистым покупателем или чистым продавцом рассматриваемого товара. Если данный индивид — чистый покупатель нормального товара и цена этого товара растет, то потребитель, безусловно, купит его меньше. Если потребитель — чистый продавец нормального товара, то знак совокупного эффекта дохода неопределенный: он зависит от величины (положительной) совокупного эффекта дохода, сопоставленной с величиной (отрицательной) эффекта замещения.

Как и раньше, каждое из этих изменений может быть представлено графически, хотя график при этом становится довольно запутанным. Обратимся к рис.9.7, на котором изображено разложение эффекта цены по Слуцкому. Общее изменение спроса на товар 1 показано перемещением из A в C. Оно слагается из трех различных перемещений: эффекта замещения, представленного перемещением из A в B, и двумя эффектами дохода. Обычный эффект дохода, представленный перемещением из B в D, есть изменение спроса при сохранении денежного дохода неизменным, иными словами, — это тот самый эффект дохода, который мы изучали в гл. 8. Но поскольку стоимость начального запаса с изменением цены меняется, теперь имеется дополнительный эффект дохода: из-за изменения стоимости начального запаса меняется денежный доход. Это изменение денежного дохода вызывает сдвиг бюджетной линии назад внутрь, так что она проходит через набор начального запаса. Данный эффект начального запаса представлен изменением спроса при перемещении из D в C.

9.7. Применение уравнения Слуцкого

Предположим, что мы имеем дело с потребителем, продающим яблоки и апельсины, которые он выращивает на нескольких деревьях у себя в саду, подобно потребителю, о котором шла речь в начале гл. 8. Там было сказано, что если цена яблок возрастет, потребитель фактически может начать потреблять больше яблок. Воспользовавшись уравнением Слуцкого, выведенным в данной главе, нетрудно увидеть, почему это так. Если обозначить через x_a спрос данного потребителя на яблоки, а через p_a цену яблок, то известно, что

=+ (w_a — x_a).

Это выражение показывает, что общее изменение спроса на яблоки, вызванное изменением цены яблок, есть сумма эффекта замещения и эффекта дохода. Эффект замещения действует в правильном направлении — рост цены уменьшает спрос на яблоки. Но если яблоки являются для данного потребителя нормальным товаром, то эффект дохода действует в неправильном направлении. Поскольку потребитель выступает чистым поставщиком яблок, рост цены яблок увеличивает его денежный доход настолько существенно, что благодаря эффекту дохода у него возникает желание потреблять больше яблок. Если значение последнего члена данного выражения достаточно велико, чтобы перевесить эффект замещения, легко можно получить «ненормаль-ный» результат.

Снова уравнение Слуцкого . Разложение эффекта изменения цены на эффект замещения (от A до B), обычный эффект дохода (от B до D) и эффект начального запаса (от С до D).

ПРИМЕР: Расчет эффекта начального запаса

Рассмотрим небольшой числовой пример. Пусть владелец молочной фермы производит 40 кварт молока в неделю. Первоначально цена молока составляет 3$ за кварту. Функция спроса фермера на молоко для собственного потребления имеет вид

x ₁ = 10 + .

Поскольку он производит 40 кварт молока в неделю по 3$ за кварту, его доход равен 120$ в неделю. Его первоначальный спрос на молоко равен поэтому x ₁ = 14. Теперь допустим, что цена молока изменилась до 2$ за кварту. Денежный доход фермера тогда изменится до m’ = 2 * 40 = $80 , а его спрос станет равен = 10 + 80/20 = 14 . Если бы доход фермера оставался неизменным на уровне m = $120, он купил бы по этой цене x₁ = 10 + 120/10 * 2 = 16 кварт молока. Следовательно, эффект начального запаса — изменение его спроса вследствие изменения стоимости его начального запаса — составляет —2. Эффект замещения и обычный эффект дохода для этой задачи были подсчитаны в гл. 8.

9.8. Предложение труда

Применим идею начального запаса к исследованию решения потребителя в отношении предложения труда. Потребитель может выбрать одну из двух альтернатив: либо очень много работать и иметь сравнительно высокий уровень потребления, либо работать мало и иметь низкий уровень потребления. Величина потребления и затрат труда определяется взаимодействием предпочтений потребителя и его бюджетного ограничения.

Предположим, что первоначально у потребителя имеется некоторый денежный доход M, получаемый им независимо от того, работает он или нет. Это может быть, например, доход от инвестиций или же доход, выплачиваемый родственниками. Назовем эту сумму нетрудовым доходом потребителя. (Потребитель мог бы иметь нетрудовой доход, равный нулю, но мы допускаем, что он положителен.)

Обозначим величину потребления данного потребителя через C, а цену потребления через p. Тогда, если ставку заработной платы обозначить w, а предлагаемое им количество труда — L, то получим следующее бюджетное ограничение:

Оно показывает, что стоимость того, что потребляет потребитель, должна равняться сумме его нетрудового и трудового доходов.

Попробуем сравнить приведенную выше формулу с приведенными ранее примерами бюджетных ограничений. Главное отличие состоит в том, что в данной формуле в правой части уравнения оказалось нечто, что потребитель выбирает — предложение труда. Мы легко можем перенести его в левую часть уравнения, получив при этом

Это уже лучше, но у нас стоит знак «минус» там, где обычно стоит знак «плюс». Можем ли мы это исправить? Предположим, что существует некая максимально возможная величина предложения труда — 24 часа в сутки, 7 дней в неделю или что-то другое, что совместимо с используемыми нами единицами измерения. Обозначим это количество рабочего времени через . Тогда, прибавив w к каждой части уравнения и преобразовав его, получаем

pC + w(— L) = M + w.

Введем определение = M/p — величины потребления данного потребителя в случае, если он не работает вовсе. Иными словами, — это его начальный потребительский запас, поэтому можно записать

pC + w(— L) = p + w.

Теперь имеем уравнение, очень похожее на те, которые мы встречали раньше. У нас есть две переменные, характеризующие выбор потребителя, в левой части и две переменные, характеризующие начальный запас, в правой части. Переменную — L можно трактовать как величину «досуга», т.е. как время, не являющееся рабочим временем. Обозначим «досуг» с помощью переменной R (от слова «релаксация!»), так что R =— L . Тогда общая величина имеющегося времени досуга есть = , и бюджетное ограничение принимает вид

pC + wR = p + w .

Приведенное выше уравнение формально идентично самому первому уравнению бюджетного ограничения, записанному нами в настоящей главе. Однако ему можно дать гораздо более интересное истолкование. Оно говорит о том, что сумма стоимостей потребления потребителя и его досуга должна быть равна сумме стоимостей его начального потребительского запаса и его начального временного запаса, причем его временной запас оценивается по ставке заработной платы. Ставка заработной платы оказывается не только ценой труда, но и ценой досуга.

В конце концов если ставка вашей заработной платы составляет 10$ в час и вы решили потребить дополнительный час досуга, во сколько это вам обойдется? Ответ: это обойдется вам в 10$ потерянного дохода — такова цена этого дополнительного часового потребления досуга. Экономисты говорят иногда, что ставка заработной платы есть альтернативная стоимость досуга.

Правую часть этого бюджетного ограничения иногда называют полным доходом потребителя, или его предполагаемым доходом. Он показывает стоимость того, чем владеет потребитель — его начального потребительского запаса, если таковой имеется, и начального запаса его собственного времени. Данный доход следует отличать от измеряемого дохода потребителя, являющегося просто доходом, получаемым потребителем от продажи части своего времени.

Хорошо то, что данное бюджетное ограничение — совершенно такое же, как и бюджетные ограничения, виденные нами ранее. Оно проходит через точку начального запаса ( ) и имеет наклон, равный —w/p. Начальный запас — это то, что получил бы потребитель, если бы совсем не участвовал в рыночных сделках, а наклон бюджетной линии говорит нам о пропорции, в которой один товар может быть обменен на другой на рынке.

Оптимальный выбор, как показано на рис.9.8, имеет место тогда, когда предельная норма замещения — пропорция обмена между потреблением и досугом — равна w/p, реальной заработной плате. Cтоимость, в которую обойдется потребителю дополнительное потребление, получаемое благодаря чуть б ó льшим затратам труда, должна быть как раз равна стоимости потерянного досуга, которым пришлось пожертвовать, чтобы создать это дополнительное потребление. Реальная заработная плата есть величина потребления, которую может приобрести потребитель, отказавшись от одного часа досуга.

9.9. Сравнительная статика предложения труда

Сначала рассмотрим, каким образом изменяется предложение труда потребителем по мере изменения его денежного дохода при сохранении неизменными цены потребления и заработной платы. Что произойдет с вашим предложением труда, если вы выиграли в лотерею штата и ваш нетрудовой доход благодаря этому существенно увеличился? Что произойдет в этом случае с вашим спросом на досуг?

У большинства людей с ростом их денежного дохода предложение труда снижается. Другими словами, для большинства людей досуг, возможно, является нормальным товаром: когда их денежный доход растет, люди предпочитают потреблять больше досуга. Похоже, в пользу этого утверждения имеется достаточно свидетельств, так что примем его в качестве подтвержденной гипотезы: будем считать досуг нормальным товаром.

Что это означает с точки зрения реакции предложения труда потребителя на изменения ставки заработной платы? При увеличении ставки заработной платы наблюдаются два эффекта: люди снова начинают работать больше и увеличивается стоимость потребления досуга. Можно изолировать эти эффекты и исследовать их, воспользовавшись идеями эффектов дохода и замещения и уравнением Слуцкого.

При росте ставки заработной платы досуг становится дороже, что само по себе побуждает людей желать его в меньшей степени (эффект замещения). Поскольку досуг — это нормальный товар, можно предсказать, что рост ставки заработной платы с необходимостью приведет к уменьшению спроса на досуг, т.е. к увеличению предложения труда. Это следует из уравнения Слуцкого, приведенного в гл. 8. Кривая спроса на нормальный товар должна иметь отрицательный наклон. Если досуг — нормальный товар, то кривая предложения труда должна иметь положительный наклон.

Однако с этим анализом возникает проблема. Во-первых, если руководствоваться интуицией, то предположение о том, что возрастание заработной платы будет всегда иметь результатом увеличение предложения труда, не представляется разумным. Если моя заработная плата становится очень высокой, я вполне могу «истратить» дополнительный доход на потребление досуга. Как можно примирить это явно вполне допустимое поведение с вышеизложенной экономической теорией?

Предложение труда . Оптимальный выбор показывает спрос на досуг, измеряемый от начала координат вправо, и предложение труда, измеряемое от точки начального запаса влево.

Видео:3.2 Эффекты замены и доходаСкачать

Теоретический материал: Уравнение Слуцкого

Теоретический материал: Уравнение Слуцкого

Для описания декомпозиции изменения маршаллианского спроса в аналитической форме часто используется т. н. уравнение (или тождество) Слуцкого.

Чтобы упростить наши выкладки, будем считать, что:

— потребителю доступны два блага (1 и 2),

— его первоначальный оптимальный набор:

— доход потребителя – I, цена первого блага – p1, цена второго блага фиксирована и равна единице

–> чтобы упростить запись, мы не записываем цену второго блага в числе аргументов, т. к. она все равно не будет меняться

Тогда уравнение Слуцкого в простейшей форме можно записать так:

(1)

ЗАМЕТИМ, что это действительно тождество: вы можете привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения, и убедиться, что оно выполняется для любых параметров p1, p1’, I и I’!

Если обозначить каждую из разностей в фигурных скобках как соответствующую Δ (как это делает, например, Хэл Вэриан), уравнение (1) примет вид:

(2)

Уравнение Слуцкого часто представляют в виде отношений изменений. Разделим обе части уравнения (2) на Δp1:

(3)

Теперь давайте преобразуем последнее слагаемое в правой части уравнения (3). При декомпозиции по Слуцкому, компенсация должна позволить потребителю при новых ценах приобрести свой первоначальный набор, то есть:

Подставив это в знаменатель последнего слагаемого уравнения (3), получим:

(4)

Рассматривая бесконечно малые изменения p1 и I, мы могли бы записать это уравнение в первых производных.

Вначале, рассмотрим левую часть уравнения (4):

(5)

Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части уравнения (4):

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В отличие от выражения (5), данный предел уже нельзя рассматривать как частную производную функции маршаллианского спроса по p1, т. к. одновременно c p1 меняется I! [1]

Выход состоит в следующем: введем функцию , которая будет показывать, сколько товара 1 потребитель приобретет при цене p1 и компенсированном по Слуцкому доходе I’ (заметим, что тогда I’ полностью задается уравнением –
поэтому-то мы и не указываем его в числе аргументов !).

(6)

è Будем называть функцию функцией компенсированного (по Слуцкому) спроса на товар 1.

ЗАМЕЧАНИЕ 1: При декомпозиции по Хиксу, мы используем аналогичный прием: вводим функцию компенсированного (по Хиксу) спроса на товар 1: .

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Поскольку в курсах продвинутого уровня практически всегда используется именно декомпозиция по Хиксу, функцию компенсированного спроса часто обозначают как “h”, и называют «хиксианским спросом» (“hicksian demand”) – в противовес обычному («маршаллианскому»).

Наконец, рассмотрим второе слагаемое в правой части уравнения (4):

(7)

Имея уравнения (4), (5), (6) и (7), мы можем записать уравнение Слуцкого в дифференциальной форме:

(8)

ЗАМЕТИМ: между уравнениями (4) и (8) возникает некоторая натяжка: в то время как в уравнении (4) знак перед вторым слагаемым в правой части положителен, в уравнении (8) он отрицателен.

Формально, никакого противоречия здесь нет. ОДНАКО, чтобы СТАНДАРТИЗИРОВАТЬ запись уравнения Слуцкого, при записи уравнения Слуцкого в дискретной форме (уравнение (4)) экономисты рассматривают эффект дохода с обратным знаком:

Δx1I = = – Δx1N.

Если в уравнении (4) заменить Δx1N на Δx1I, мы получим канонический вид уравнения Слуцкого в дискретной форме:

(9)

Убедительно прошу вас придерживаться именно его, т. к. это профессиональный стандарт.

Задача 1. (из прошлого семинара)

Функция полезности потребителя задана формулой , а бюджетное ограничение формулой .

а) Найдите функцию спроса и функцию компенсированного спроса потребителя.

б) Найдите разложение величины на эффекты замещения и дохода.

Задача 2. (из прошлого семинара)

Товары и считаются абсолютно взаимодополняющими, и потребитель потреблял их в соотношении две единицы на одну единицу . Первоначально они стоили 1 и 8 рублей соответственно. Доход потребителя равен 560 руб. Цена на не изменилась, а на повысилась до 14 руб. Найдите изменение спроса на товар в силу эффектов замещения и дохода.

Студентка, любящая шоколад, может тратить 10 долларов в день. Этот доход она расходует на шоколад и другие товары. Переменная обозначает количество унций шоколада, которое она покупает в день, переменная обозначает количество покупаемых единиц композитного товара ценой в 1 доллар. Функция полезности студентки . В начале декабря шоколад стоил 0,5 доллара за унцию, но к Рождеству подешевел и стал стоить всего 0,2 доллара. Найдите изменение потребления шоколада в силу эффекта замещения и эффекта дохода, вызванное его удешевлением.