Решение задач составление дифференциальных уравнений

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Видео:Разностные уравнения | Решение задачСкачать

Разностные уравнения | Решение задач

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Видео:Дифференциальные уравнения: задача 3Скачать

Дифференциальные уравнения: задача 3

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Решение  физических задач с помощью дифференциальных уравнений

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x quad (x ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Видео:Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям.Скачать

Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям.

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, , y(1/3)=1, , y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= frac, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+cos x, quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Видео:Дифференциальные уравнения: задача 2Скачать

Дифференциальные уравнения: задача 2

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=frac<9e^><3+e^>, quad y(0)=4ln 4, y'(0)=3(3ln 4-1). $$

Видео:Задача на составление дифференциального уравненияСкачать

Задача на составление дифференциального уравнения

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Видео:Задача на составление Дифференциального уравненияСкачать

Задача на составление Дифференциального уравнения

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$

Видео:Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

III. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Составление дифференциального уравнения по условию за­дачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между пе­ременными величинами и их приращениями.

В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений — за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением Решение задач составление дифференциальных уравнений, мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что

Решение задач составление дифференциальных уравнений.

Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:

Решение задач составление дифференциальных уравнений.

При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:

1) к определению его отдельных моментов;

2) к установлению общего закона его хода.

Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными — диффе­ренциальным уравнением; закон общего хода процесса выра­жается уравнением, связывающим переменные величины про­цесса, но уже без дифференциалов этих величии.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения техни­ческих задач с применением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений сводится к следующему:

1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.

2.Составление дифференциального уравнения рассматривае­мого процесса.

3.Интегрирование составленного дифференциального уравне­ния и определение общего решения этого уравнения.

4.Определение частного решения задачи на основании дан­ных начальных условий.

5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара­
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.

6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число­
вое определение искомых величии.

7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.

Как и при составлении алгебраических уравнений, при реше­нии прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.

Рассмотрим процесс решения следующих задач:

Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение:

В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:

Решение задач составление дифференциальных уравнений.

где Т – температура хлеба;

t – температура окружающего воздуха ( в нашем случае 25 0 );

k – коэффициент пропорциональности;

Решение задач составление дифференциальных уравнений— скорость охлаждения хлеба.

Пусть Решение задач составление дифференциальных уравнений— время охлаждения.

Тогда, разделяя переменные, получим:

Решение задач составление дифференциальных уравнений,

или для условий данной задачи :

Решение задач составление дифференциальных уравнений.

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений,

Решение задач составление дифференциальных уравнений. (1)

Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при Решение задач составление дифференциальных уравнениймин, Т=100 о .

Решение задач составление дифференциальных уравненийили С=75.

Величину Решение задач составление дифференциальных уравненийопределяем, исходя из данного дополнительного условия: при Решение задач составление дифференциальных уравнениймин, Т=60 о .

Решение задач составление дифференциальных уравнений

и Решение задач составление дифференциальных уравнений.

Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:

Решение задач составление дифференциальных уравнений. (2)

Из уравнения (2) легко определяем искомое время Решение задач составление дифференциальных уравненийпри температуре хлеба Т=30 о :

Решение задач составление дифференциальных уравнений, илиРешение задач составление дифференциальных уравнений.

Решение задач составление дифференциальных уравнениймин.

Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.

Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.

Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду:

Решение задач составление дифференциальных уравнений, (1)

где F(x)- площадь сечения тела на расстоянии х,

k – коэффициент теплопроводности.

Здесь Решение задач составление дифференциальных уравнений(2)

Решение задач составление дифференциальных уравнений

где l – длина трубы в см,

х – радиус трубопровода в см.

Таким образом, после разделения переменных дифференциальное уравнение примет вид:

Решение задач составление дифференциальных уравнений(3)

Интегрируя обе части равенства (3), находим:

Решение задач составление дифференциальных уравнений

или Решение задач составление дифференциальных уравнений(4)

Разделив почленно уравнения второе на первое, получим:

Решение задач составление дифференциальных уравнений.

Отсюда закон распределения температуры внутри изоляции:

Решение задач составление дифференциальных уравнений.

Из первого уравнения системы(4) при Решение задач составление дифференциальных уравнений=100 см имеем:

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно

Решение задач составление дифференциальных уравненийкал.

Видео:Решение задачи Коши дифференциального уравнения #maths #calculus #differentialequation #algebraСкачать

Решение задачи Коши дифференциального уравнения #maths #calculus #differentialequation #algebra

Урок по теме «Составление дифференциальных уравнений»

Разделы: Математика

Цель урока:

  1. Научить составлять дифференциальное уравнение некоторого явления. Закрепить навык решения дифференциального уравнения.
  2. Развивать мышление и речь учащихся.

1. Повторить:

а) Какое уравнение называется дифференциальным?
б) Что значит решить дифференциальное уравнение?
в) Что называется решением дифференциального уравнения?
г) Какие способы решения дифференциального уравнения вам известны?

2. а) N 21. (Виленкин Н.Я. “Алгебра и математический анализ” )

y=f(x) – функция, (x;y) – координаты точки касания.

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Точка пересечения касательной с осью Оx:

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Абсцисса точки пересечения касательной с осью Оу равна 0.

Так как точка (х;у)- середина отрезка, абсциссы концов которого

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

В комнате, где температура 20 0 С , некоторое тело остыло за 20 мин. от 100 0 до 60 0 С. Найдите закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 30 0 С?

Повышением температуры в комнате пренебречь.

Решение: В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды) можем записать:

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

в) Криминалисты, прибыв на место преступление, обнаружили труп человека, температура тела которого была 27 0 . Через один час температура трупа стала 25 0 . Температура окружающего воздуха 16 0 . Считая, что в момент убийства человек имел температуру тела 37 0 , определите промежуток времени между моментом убийства человека и моментом обнаружения его тела.

Решение задач составление дифференциальных уравнений

Решение задач составление дифференциальных уравнений

г) Напишите уравнение кривой, проходящей через точку В(3;1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пересечения с осью Оу.

💥 Видео

Диффуры на выживание | Дифференциальные уравненияСкачать

Диффуры на выживание | Дифференциальные уравнения

Задача на составление уравнения движения системыСкачать

Задача на составление  уравнения движения системы

Составление дифференциального уравненияСкачать

Составление дифференциального уравнения

ФП1. Решение текстовых задач на составление дифференциальных уравненийСкачать

ФП1. Решение текстовых задач на составление дифференциальных уравнений

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Особые решения дифференциальных уравнений, огибающая семейства кривых | Лекция 34 | МатанализСкачать

Особые решения дифференциальных уравнений, огибающая семейства кривых | Лекция 34 | Матанализ

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задач

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

5  Численное решение дифференциальных уравнений Part 1

Решение физических задач при помощи диффуров | Дифференциальные уравненияСкачать

Решение физических задач при помощи диффуров | Дифференциальные уравнения

Остров Диффуров: где капитан Флинт спрятал уравнение Клеро? | Дифференциальные уравненияСкачать

Остров Диффуров: где капитан Флинт спрятал уравнение Клеро? | Дифференциальные уравнения
Поделиться или сохранить к себе: