Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Содержание
  1. I. Механика
  2. Тестирование онлайн
  3. Гармоническое колебание
  4. График гармонического колебания
  5. Уравнение гармонического колебания
  6. Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
  7. Максимальные значения скорости и ускорения
  8. Как получить зависимости v(t) и a(t)
  9. Уравнение гармонических колебаний
  10. п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс
  11. п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении
  12. п.3. Примеры
  13. Гармонические колебания в физике — формулы и определение с примерами
  14. Основные параметры гармонических колебаний
  15. Гармонические колебания пружинного маятника
  16. Гармонические колебания математического маятника
  17. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
  18. Превращения энергии при гармонических колебаниях
  19. Теоретический материал
  20. Превращения энергии при гармонических колебаниях
  21. Энергия при гармонических колебаниях
  22. 📹 Видео

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

I. Механика

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Тестирование онлайн

Видео:Урок 330. Скорость и ускорение при гармонических колебанияхСкачать

Урок 330. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

Видео:5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

5.4 Уравнение гармонических колебаний

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой Уравнение скорости точки при гармоническом колебании.

Видео:Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 1 часть. 9 класс.Скачать

Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 1 часть. 9 класс.

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Если колебание описывать по закону синуса

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Видео:Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Выполнялка 53.Гармонические колебания.

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Видео:Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/Скачать

Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/

Уравнение гармонических колебаний

п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс

Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.

Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10 -14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10 15 с

Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени (s=x(t)), то для периодического процесса выполняется равенство: (x(t+T)=x(t)).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции (sin⁡t) и (cos⁡t) с периодом (T=2pi).

Множитель (omega) перед аргументом (t) тригонометрической функции сокращает её период в (omega) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:

Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при (t_0=0), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой (varphi_0=0). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: begin nu=frac Nt, omega=2pinu=2pifrac Nt\ omega=2picdotfrac=4pi text end Получаем закон колебаний: (x(t)=5cos(4pi t))

п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении

Пусть (x(t)) — координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos⁡omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-Aomega sinomega t=Aomega cos⁡left(omega t+fracpi 2right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на (fracpi 2). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=Aomega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=-Aomega^2 cosomega t=Aomega^2 cos⁡(omega t+pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на (fracpi 2) и колебания координаты на (pi). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=Aomega^2 $$ Например:
При A=2 и (omega=frac12) получаем такие синусоиды:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Из уравнения для ускорения получаем: $$ x»(t)=-Aomega^2cosomega t=-omega^2(Acosomega t)=-omega^2 x(t) $$ Откуда следует:

Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin⁡(omega t+varphi_0) text x(t)=A cos⁡(omega t+varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл (x(t)) и (omega) будет разным.

п.3. Примеры

Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииГоризонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения.

По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: (F=-kcdot x(t))
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: begin F=ma=mcdot x»(t)\ mcdot x»(t)=-kcdot x(t) end Уравнение движения грузика: $$ x»(t)+frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: (omega=sqrt)
Общее решение уравнения: (x(t)=Acosleft(sqrt+varphi_0right))
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=Asqrt, a_m=Afrac km $$ Ответ: (omega=sqrt)

Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииМатематический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g.

Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииLC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.
Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем.

Напряжение на конденсаторе (U_C(t)=frac). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС (varepsilon_L(t)=-Lfrac). При переходе к пределу (triangle trightarrow 0) получаем производную (varepsilon_L(t)=-LI'(t)). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: begin U_c(t)=varepsilon_L(t)Rightarrow frac=-LI'(t)Rightarrow frac+LI'(t)=0 end Вспомним, что (Q'(t)=I(t)) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда (I'(t)=Q»(t)).
begin frac+LQ»(t)=0 end Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q»(t)=fracQ(t)=0, omega=frac<sqrt> $$ Общее решение уравнения: (Q(t)=Q_m cosleft(frac<sqrt>t+varphi_0right))
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=frac=fraccosleft(frac<sqrt>t+varphi_0right) $$ Амплитудное значение напряжения: (U_m=frac)
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-frac<sqrt>sinleft(frac<sqrt>t+varphi_0right)=frac<sqrt>cosleft(frac<sqrt>t+varphi_0+fracpi 2right) $$ Амплитудное значение тока: (I_m=frac<sqrt>)
Ток опережает колебания заряда и напряжения на (fracpi 2)

Видео:Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1Скачать

Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1

Гармонические колебания в физике — формулы и определение с примерами

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – Уравнение скорости точки при гармоническом колебании, а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

С течением времени смещение груза уменьшается относительно Уравнение скорости точки при гармоническом колебании, но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение (Уравнение скорости точки при гармоническом колебании) равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде (Уравнение скорости точки при гармоническом колебании):

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

здесь: Уравнение скорости точки при гармоническом колебании– циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, Уравнение скорости точки при гармоническом колебании– начальная фаза, (Уравнение скорости точки при гармоническом колебании) фаза колебания с течением времени Уравнение скорости точки при гармоническом колебании.
Из математики известно, что Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниипоэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений.

Видео:Как решить уравнение колебаний? | Олимпиадная физика, механические гармонические колебания, 11 классСкачать

Как решить уравнение колебаний? | Олимпиадная физика, механические гармонические колебания, 11 класс

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания Уравнение скорости точки при гармоническом колебании– время одного полного колебания:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании)

б) частота колебания Уравнение скорости точки при гармоническом колебании– количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Единица Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
c) циклическая частота Уравнение скорости точки при гармоническом колебании– количество колебаний за Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниисекунд:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются.
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Формула и решение:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Видео:11 класс. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. решение задач.Скачать

11 класс. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. решение задач.

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниисила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— масса шарика, закрепленного на пружине, Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— проекция ускорения шарика вдоль оси Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— жесткость пружины, Уравнение скорости точки при гармоническом колебании-удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниисоответствует квадрату циклической частоты Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииявляются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниифаза колебания, Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииЗначение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииВ этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииили Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Сила тяжести Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниидействующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииОднако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии перпендикулярная нити Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииСила натяжения Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии составляющая силы тяжести Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииуравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей Уравнение скорости точки при гармоническом колебании«пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив проекциях на ось ОХ:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Приняв во внимание, что:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Для уравнения движения математического маятника получим:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Где Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— длина математического маятника (нити), Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— ускорение свободного падения, Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниитакже соответствует квадрату циклической частоты Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на Уравнение скорости точки при гармоническом колебании(а).

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииа колебания смещения на

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании(см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииимеет максимальное значение:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииа в точке равновесия максимальна:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииостается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

b) для математического маятника:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают: Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании(2)

Высоту Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииможно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Если колебания малые, то Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииИз треугольника KCD на рисунке 8 находим

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Подставив выражение для Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив формулу I (2), получим

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Подставляя выражения для Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив соотношение (1), находим

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение Уравнение скорости точки при гармоническом колебании, модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

где Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниигруза в точке с

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Так как Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол Уравнение скорости точки при гармоническом колебании(рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниито из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниит. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Высоту Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииможно выразить через длину Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниимаятника и амплитуду Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииколебаний. Если колебания малые, то Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииИз Уравнение скорости точки при гармоническом колебании(см. рис. 10) находим:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

или Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Подставив выражение (3) для Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив формулу (2), получим:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Подставляя выражения (3) для Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии (4) для Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив соотношение (1), находим:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

В крайних положениях, когда Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниимодуль скорости маятника Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниився энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

где Уравнение скорости точки при гармоническом колебании— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

С учетом выражений для координаты Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии проекции скорости груза Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииа также для Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниинаходим его потенциальную энергию Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии кинетическую энергию Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниив произвольный момент времени

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Таким образом, начальное смещение Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииопределяет начальную потенциальную, а начальная скорость Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииопределяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниисм и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииОпределите период Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииколебании маятника.
Дано:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Решение

По закону сохранения механической энергии

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Ответ: Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Пример №2

Груз массой Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииг находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииЕго смешают на расстояние Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниисм от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииОпределите потенциальную Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниии кинетическую Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииэнергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Решение Потенциальная энергия груза:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Кинетическая энергия груза:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Отсюда
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Циклическая частота:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
В начальный момент времени Уравнение скорости точки при гармоническом колебаниикоордината груза Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииОтсюда начальная фаза:
Уравнение скорости точки при гармоническом колебании
Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Ответ: Уравнение скорости точки при гармоническом колебанииУравнение скорости точки при гармоническом колебании

Уравнение скорости точки при гармоническом колебании

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Вынужденные колебания в физике
  • Электромагнитные колебания
  • Свободные и вынужденные колебания в физике
  • Вынужденные электромагнитные колебания
  • Закон Архимеда
  • Движение жидкостей
  • Уравнение Бернулли
  • Механические колебания и волны в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Физика 9 класс. §25 Гармонические колебанияСкачать

Физика 9 класс. §25 Гармонические колебания

Гармонические колебанияСкачать

Гармонические колебания

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | ИнфоурокСкачать

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | Инфоурок

Превращение энергии при гармонических колебаниях Урок 117Скачать

Превращение энергии при гармонических колебаниях  Урок 117

Колебательное движение. Уравнение гармонических колебаний | ФизикаСкачать

Колебательное движение. Уравнение гармонических колебаний | Физика

Выпуск 192. Гармонические колебания. Скорость при колебательном движении.Скачать

Выпуск 192. Гармонические колебания. Скорость при колебательном движении.
Поделиться или сохранить к себе: