Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Полярное уравнение и параметры прямой

Прямая AB (рисунок ниже)
Уравнение прямой в полярных координатах вывод
не проходящая через полюс, представляется в полярных координатах уравнением
Уравнение прямой в полярных координатах вывод
p = OK и α = ∠XOK — полярные параметры прямой AB.

Полярным расстоянием прямой AB называется длина p перпендикуляра OK , проведённого к прямой из начала О . Полярное расстояние положительно или равно нулю.
Полярным углом прямой AB называется угол α=∠XOK между лучами OX и OK (взятым в данном порядке).
Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой.

Если прямая представлена уравнением Ax+By+C=0 , то её полярное расстояние определяется по формуле

а полярный угол

где верхние знаки берутся, когда C>0 , а нижние – когда C ; если же С=0 , то произвольно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

Пример 1
Найти полярные параметры прямой 4x-3y+5=0

Видео:§12 Полярное уравнение прямойСкачать

§12 Полярное уравнение прямой

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Затем нужно взять верхние знаки, так как С=+1 , следовательно

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Пример 2
Найти полярные параметры прямой 2x-y+9=0

Решение
p=0
Можно взять только верхние знаки, либо только нижние. В первом случае

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Прямая в полярных координатах

Видео:Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатах

Прямая в полярных координатах вне полюса

Для получения уравнения прямой в полярных координатах рассмотрим рисунок, на котором полюс лежит вне прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Согласно этого рисунка прямую в полярных координатах можно представить следующим уравнением:

ρ, φполярные координаты,
P, αКонстанты — полярные параметры прямой,
PДлина нормали опущенной из полюса на прямую,
αУгол между полярной осью и нормалью к прямой.

Это уравнение получается если рассмотреть треугольник OKM и посмотреть определение косинуса

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Прямая в полярных координатах проходящая через полюс

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Однако когда P = 0, то прямая проходит через полюс и уравнение (1) больше не описывает прямую. Для описания прямой проходящей через полюс достаточно угла между прямой и полярной осью.

Видео:Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

4.4. Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса Уравнение прямой в полярных координатах выводот полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от Уравнение прямой в полярных координатах выводдо Уравнение прямой в полярных координатах вывод(иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от Уравнение прямой в полярных координатах выводдо Уравнение прямой в полярных координатах вывод). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции Уравнение прямой в полярных координатах вывод, соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.

«Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль Уравнение прямой в полярных координатах вывод. На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до Уравнение прямой в полярных координатах вывод:
Уравнение прямой в полярных координатах выводДалее, пересекая полярную ось в точке Уравнение прямой в полярных координатах вывод, спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне Уравнение прямой в полярных координатах вывод.
В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен Уравнение прямой в полярных координатах вывод, то отрицательные углы у функции Уравнение прямой в полярных координатах выводрассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.

Уравнение вида Уравнение прямой в полярных координатах выводопределяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса Уравнение прямой в полярных координатах вывод.

Например, Уравнение прямой в полярных координатах вывод. Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу Уравнение прямой в полярных координатах вывод, проведём замену:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Возведём обе части в квадрат:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения Уравнение прямой в полярных координатах вывод.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Задача 116

Построить линию Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство Уравнение прямой в полярных координатах вывод. Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
я советую более быстрый графический метод решения:

– Посмотрим на график функции Уравнение прямой в полярных координатах вывод(см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство Уравнение прямой в полярных координатах вывод? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс Уравнение прямой в полярных координатах вывод, а именно, его часть на отрезке Уравнение прямой в полярных координатах вывод. И, соответственно, интервал Уравнение прямой в полярных координатах выводне подходит. Таким образом, область определения нашей функции: Уравнение прямой в полярных координатах вывод, то есть график Уравнение прямой в полярных координатах выводрасположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.

Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса Уравнение прямой в полярных координатах выводсоответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод
В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы Уравнение прямой в полярных координатах вывод, но я расскажу вам о более хитром приёме.

Обе части уравнения Уравнение прямой в полярных координатах выводискусственно домножаем на «эр»: Уравнение прямой в полярных координатах выводи используем более компактные формулы перехода:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:
Уравнение прямой в полярных координатах выводУравнение прямой в полярных координатах вывод
Уравнение прямой в полярных координатах вывод– уравнение окружности с центром в точке Уравнение прямой в полярных координатах вывод, радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка Уравнение прямой в полярных координатах вывод?

Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции Уравнение прямой в полярных координатах выводнас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида Уравнение прямой в полярных координатах выводзадаёт окружность диаметра Уравнение прямой в полярных координатах выводс центром в точке Уравнение прямой в полярных координатах вывод.

Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси Уравнение прямой в полярных координатах выводи обязательно проходят через полюс. Если же Уравнение прямой в полярных координатах вывод, то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Задача 117

Построить линию Уравнение прямой в полярных координатах выводи найти её уравнение в декартовой системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце книги.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

💥 Видео

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"

Уравнение прямой.Скачать

Уравнение прямой.

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координат

Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.

Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение прямой"
Поделиться или сохранить к себе: