Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Полярное уравнение и параметры прямой

Прямая AB (рисунок ниже)
Уравнение прямой в полярных координатах вывод
не проходящая через полюс, представляется в полярных координатах уравнением
Уравнение прямой в полярных координатах вывод
p = OK и α = ∠XOK — полярные параметры прямой AB.

Полярным расстоянием прямой AB называется длина p перпендикуляра OK , проведённого к прямой из начала О . Полярное расстояние положительно или равно нулю.
Полярным углом прямой AB называется угол α=∠XOK между лучами OX и OK (взятым в данном порядке).
Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой.

Если прямая представлена уравнением Ax+By+C=0 , то её полярное расстояние определяется по формуле

а полярный угол

где верхние знаки берутся, когда C>0 , а нижние – когда C ; если же С=0 , то произвольно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

Пример 1
Найти полярные параметры прямой 4x-3y+5=0

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Затем нужно взять верхние знаки, так как С=+1 , следовательно

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Пример 2
Найти полярные параметры прямой 2x-y+9=0

Решение
p=0
Можно взять только верхние знаки, либо только нижние. В первом случае

Видео:§12 Полярное уравнение прямойСкачать

§12 Полярное уравнение прямой

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Прямая в полярных координатах

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Прямая в полярных координатах вне полюса

Для получения уравнения прямой в полярных координатах рассмотрим рисунок, на котором полюс лежит вне прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Согласно этого рисунка прямую в полярных координатах можно представить следующим уравнением:

ρ, φполярные координаты,
P, αКонстанты — полярные параметры прямой,
PДлина нормали опущенной из полюса на прямую,
αУгол между полярной осью и нормалью к прямой.

Это уравнение получается если рассмотреть треугольник OKM и посмотреть определение косинуса

Видео:Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

Прямая в полярных координатах проходящая через полюс

Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Однако когда P = 0, то прямая проходит через полюс и уравнение (1) больше не описывает прямую. Для описания прямой проходящей через полюс достаточно угла между прямой и полярной осью.

Видео:Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатах

4.4. Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса Уравнение прямой в полярных координатах выводот полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от Уравнение прямой в полярных координатах выводдо Уравнение прямой в полярных координатах вывод(иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от Уравнение прямой в полярных координатах выводдо Уравнение прямой в полярных координатах вывод). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции Уравнение прямой в полярных координатах вывод, соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.

«Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль Уравнение прямой в полярных координатах вывод. На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до Уравнение прямой в полярных координатах вывод:
Уравнение прямой в полярных координатах выводДалее, пересекая полярную ось в точке Уравнение прямой в полярных координатах вывод, спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне Уравнение прямой в полярных координатах вывод.
В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен Уравнение прямой в полярных координатах вывод, то отрицательные углы у функции Уравнение прямой в полярных координатах выводрассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.

Уравнение вида Уравнение прямой в полярных координатах выводопределяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса Уравнение прямой в полярных координатах вывод.

Например, Уравнение прямой в полярных координатах вывод. Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу Уравнение прямой в полярных координатах вывод, проведём замену:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Возведём обе части в квадрат:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения Уравнение прямой в полярных координатах вывод.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Задача 116

Построить линию Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство Уравнение прямой в полярных координатах вывод. Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
я советую более быстрый графический метод решения:

– Посмотрим на график функции Уравнение прямой в полярных координатах вывод(см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство Уравнение прямой в полярных координатах вывод? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс Уравнение прямой в полярных координатах вывод, а именно, его часть на отрезке Уравнение прямой в полярных координатах вывод. И, соответственно, интервал Уравнение прямой в полярных координатах выводне подходит. Таким образом, область определения нашей функции: Уравнение прямой в полярных координатах вывод, то есть график Уравнение прямой в полярных координатах выводрасположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.

Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса Уравнение прямой в полярных координатах выводсоответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод
В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы Уравнение прямой в полярных координатах вывод, но я расскажу вам о более хитром приёме.

Обе части уравнения Уравнение прямой в полярных координатах выводискусственно домножаем на «эр»: Уравнение прямой в полярных координатах выводи используем более компактные формулы перехода:
Уравнение прямой в полярных координатах вывод

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:
Уравнение прямой в полярных координатах выводУравнение прямой в полярных координатах вывод
Уравнение прямой в полярных координатах вывод– уравнение окружности с центром в точке Уравнение прямой в полярных координатах вывод, радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка Уравнение прямой в полярных координатах вывод?

Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции Уравнение прямой в полярных координатах выводнас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида Уравнение прямой в полярных координатах выводзадаёт окружность диаметра Уравнение прямой в полярных координатах выводс центром в точке Уравнение прямой в полярных координатах вывод.

Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси Уравнение прямой в полярных координатах выводи обязательно проходят через полюс. Если же Уравнение прямой в полярных координатах вывод, то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Задача 117

Построить линию Уравнение прямой в полярных координатах выводи найти её уравнение в декартовой системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце книги.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

🌟 Видео

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Уравнение прямой.Скачать

Уравнение прямой.

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координат

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение прямой"

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.
Поделиться или сохранить к себе: