15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Содержание
  1. Приложения операционного исчисления
  2. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления
  3. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления.doc
  4. Введение
  5. §1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу
  6. §2. Основные теоремы операционного исчисления
  7. 2.1 Свертка оригиналов.
  8. Свойство линейности.
  9. 2.2 Теорема подобия.
  10. 2.3 Теорема запаздывания.
  11. 2.4 Теорема смещения.
  12. 2.5 Теорема упреждения.
  13. 2.6 Умножение оригиналов
  14. 2.7 Дифференцирование оригинала
  15. 2.8 Дифференцирование изображения
  16. 2.9 Интегрирование оригинала
  17. 2.10 Интегрирование изображения
  18. §3. Изображения простейших функций
  19. §4. Отыскание оригинала по изображению
  20. 4.1 Разложение на простейшие дроби.
  21. Операционное исчисление с примерами решения и образцами выполнения
  22. Преобразование Лапласа
  23. Свойства преобразования Лапласа
  24. Линейность
  25. Смещение (затухание)
  26. Запаздывание
  27. Дифференцирование оригинала
  28. Дифференцирование изображения
  29. Интегрирование оригинала
  30. Интегрирование изображения
  31. Умножение изображений
  32. Умножение оригиналов
  33. Таблица оригиналов и изображений
  34. Обратное преобразование Лапласа
  35. Формула Римана-Меллина
  36. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Видео:14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

14. Операционное исчисление.  Система ДУ

Приложения операционного исчисления

ГЛАВА 15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Преобразование Лапласа.

Пусть — функция (которая, вообще говоря, может принимать и комплексные значения) действительного аргумента , такая, что:

1) она кусочно-непрерывна на , т.е. непрерывна на данном промежутке, за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода; 2) существуют положительные числа и такие, что для всех справедливо неравенство .

Преобразованием Лапласа функции называется функция комплексного переменного , , определяемая равенством :

При этом функция называется оригиналом, а функция — его изображением. Соответствие между оригиналом и его изображением символически записывается в виде или .

Если функция задана на всей числовой прямой ( ), то вместо неё всюду в дальнейшем, без специальных оговорок, будем рассматривать функцию , где — единичная функция Хевисайда, т.е. будем считать при , причём .

При нахождении изображений и оригиналов широко применяются таблица изображений преобразования Лапласа и его свойства, а также формулы: ; ; ; .

В задачах 15.1-15.4пользуясь определением преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:

15.1 15.2

15.3 15.4

Таблица изображений преобразования Лапласа

1.1/p
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

Cвойства преобразования Лапласа.

1.Аддитивность:

2.Однородность:

3.Теорема смещения:

4.Теорема запаздывания:

5.Теорема о свертке: где

6.Теорема о дифференцировании изображения:

7.Теорема о дифференцировании оригинала:

8.Теорема об интегрировании оригинала:

9.Теорема об интегрировании изображения:

В задачах 15.5-15.22используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:

15.5 15.6

15.7 15.8

15.9 15.10

15.11 15.12

15.13 15.14

15.15 15.16

15.17 15.18

15.19 15.20

15.21 15.22

В задачах 15.23-15.28используя теорему смещения, найти изображения следующих функций:

15.23 15.24 15.25

15.26 15.27 15.28

В задачах 15.29-15.34используя теорему о дифференцировании изображения, найти изображения следующих функций:

15.29 15.30 15.31

15.32 15.33 15.34

В задачах 15.35-15.40используя теорему об интегрировании изображения, найти изображения следующих функций:

15.35 15.36 15.37

15.38 15.39 15.40

В задачах 15.41-15.46используя теорему об интегрировании оригинала, найти изображения следующих функций:

15.41 15.42 15.43

15.44 15.45 15.46

В задачах 15.47-15.52используя теорему о свёртке, найти изображения следующих функций:

15.47 15.48

15.49 15.50

15.51 15.52

В задачах 15.53-15.62используя теорему запаздывания, найти изображения следующих функций:

15.53 15.54

15.55 15.56

15.57 15.58

15.59 15.60

15.61 15.62

В задачах 15.63-15.74используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти оригиналы для изображений:

15.63 15.64 15.65

15.66 15.67 15.68

15.69 15.70 15.71

15.72 15.73 15.74

В задачах 15.75-15.80используя теорему запаздывания, найти оригиналы для следующих изображений:

15.75 15.76

15.77 15.78

15.79 15.80

Приложения операционного исчисления.

Для нахождения решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , удовлетворяющего начальным условиям , , , , к обеим частям уравнения следует применить преобразование Лапласа и перейти к операторному уравнению , где — изображение искомого решения , — изображение функции , — некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данных , , , ( , если ). Решив операторное уравнение относительно : и найдя оригинал для , получим искомое решение . Если начальные данные , , , считать произвольными постоянными , то найденное решение будет являться общим решением данного дифференциального уравнения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются аналогично. Отличие состоит лишь в том, что вместо одного операторного уравнения получится система операторных уравнений, линейных относительно изображений искомых функций.

В задачах 15.81-15.86найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:

15.81 15.82

15.83 15.84

15.85 15.86

В задачах 15.87-15.100найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях:

15.87 , . 15.88 , .

15.89 .

15.90 .

15.91 .

15.92 .

15.93 .

15.94 .

15.95 .

15.96 .

15.97 , ,где

15.98 , ,где

15.99 , ,где

15.100 , ,где

В задачах 15.101-15.112найти частные решения систем дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:

15.101

15.102

15.103

15.104

15.105

15.106

15.107 , .

15.108 , .

15.109 , .

15.110

15.111 ,

где и

15.112

где

Для нахождения решений линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, используя теорему о свёртке, находят сначала изображения искомых решений этих уравнений, а затем и само решение.

В задачах 15.113-15.120найти решения следующих интегральных уравнений:

15.113 15.114

15.115 15.116

15.117 15.118

15.119 15.120

В задачах 15.121-15.125найти решения интегро-дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:

15.121 , .

15.122 , .

15.123 , .

15.124 ,

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Ноября 2012 в 19:20, реферат

Краткое описание

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Содержание

Введение 3
§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 5
§2. Основные теоремы операционного исчисления 8
2.1 Свертка оригиналов. 8
2.1 Свойство линейности. 9
2.2 Теорема подобия. 9
2.3 Теорема запаздывания. 10
2.4 Теорема смещения. 10
2.5 Теорема упреждения. 11
2.6 Умножение оригиналов 11
2.7 Дифференцирование оригинала 11
2.8 Дифференцирование изображения 12
2.9 Интегрирование оригинала 12
2.10 Интегрирование изображения 13
§3. Изображения простейших функций 13
§4. Отыскание оригинала по изображению 15
4.1 Разложение на простейшие дроби. 15
4.2. Первая теорема разложения 16
§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:Системы дифференциальных уравненийСкачать

Системы дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления.doc

Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан

Бухарский Инженерно-технический институт

по дисциплине: «Высшая математика»

Тема: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления

Выполнил: ст. гр. 25-11 ЕСМТ Аппазов Энвер

Принял: доц. Рахманов Каим Киямович

Бухара – 2012 год

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 5

§2. Основные теоремы операционного исчисления 8

2.1 Свертка оригиналов. 8

2.1 Свойство линейности. 9

2.2 Теорема подобия. 9

2.3 Теорема запаздывания. 10

2.4 Теорема смещения. 10

2.5 Теорема упреждения. 11

2.6 Умножение оригиналов 11

2.7 Дифференцирование оригинала 11

2.8 Дифференцирование изображения 12

2.9 Интегрирование оригинала 12

2.10 Интегрирование изображения 13

§3. Изображения простейших функций 13

§4. Отыскание оригинала по изображению 15

4.1 Разложение на простейшие дроби. 15

4.2. Первая теорема разложения 16

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 18

Видео:13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядка

Введение

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

  1. таблица оригиналов и соответствующих им изображений;
  2. знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1. Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t) º 0 , при t 0 , где M > 0, s0 ³ 0 — некоторые действительные постоянные, s0 называют показателем роста функции f(t).

3) На любом конечном отрезке [a, b] положительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

где – комплексный параметр.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости (то есть изображение F(p) заведомо определено при ), где s0 – показатель роста f (t).

, но по свойству модулей .

Заметим, что по определению оригинала

Вычислим этот интеграл:

То есть получаем что F(p) существует при

Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

§2. Основные теоремы операционного исчисления

Видео:Операционное исчисление. Решение дифференциального уравнения четвертого порядка.Скачать

Операционное исчисление. Решение дифференциального уравнения четвертого порядка.

2.1 Свертка оригиналов.

Сверткой оригиналов и называется функция

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем .

Теорема 1. Если и , то

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Воспользуемся определением свертки:

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

Введем вместо t новую переменную . Тогда

что и требовалось доказать. ▲

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных a и b:

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Домножим равенство на α:

Так как , то , то есть

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

2.2 Теорема подобия.

Для любого постоянного a > 0:

Умножение аргумента оригинала на положительное число a приводит к делению изображения и его аргумента на это число a.

Положим αt=u. Тогда .

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при получаем и

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

2.3 Теорема запаздывания.

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину t приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e -pt .

Видео:Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

Система дифференциальных уравнений. Операционный метод

2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

Из определения изображения имеем:

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

2.5 Теорема упреждения.

При а > 0 имеет место соотношение:

Видео:Решение ДУ.Операционный методСкачать

Решение ДУ.Операционный метод

2.6 Умножение оригиналов

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

2.7 Дифференцирование оригинала

Если и – оригиналы и , то

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

Тогда по теореме 1

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Видео:Решение разных задач по операционному исчислению.Скачать

Решение разных задач по операционному исчислению.

2.8 Дифференцирование изображения

Если , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства получим:

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

2.9 Интегрирование оригинала

Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть и . Из видно, что

Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим

Но, по условию теоремы, . Следовательно, или .

А отсюда и из соотношений и следует, что .

Видео:Преобразование Лапласа Решение системы линейных дифференциальных уравненийСкачать

Преобразование Лапласа Решение системы линейных дифференциальных уравнений

2.10 Интегрирование изображения

Если и принадлежит множеству оригиналов, то .

Видео:Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXY

§3. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда.

Так как при , то .

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

Экспонента. По теореме смещения

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим , где . Тогда при

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

§4. Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Формула обращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s0.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

4.1 Разложение на простейшие дроби.

Если есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

Пример 1. Найти оригинал по изображению.

Разложим функцию на сумму дробей:

Найдем методом неопределенных коэффициэнтов А, В, С:

Операционное исчисление с примерами решения и образцами выполнения

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

  1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
  2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
  3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

  1. 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем
  2. f(t)— кусочно-непрерывная при 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системт. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
  3. Существуют такие числа 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системчто для всех t выполняется неравенство 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системназывается показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем), степенные 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи другие (для функций вида 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системона считается оригиналом, если действительные функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системявляются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, определяемая интегралом

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системили 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем.

Докажем первую часть теоремы. Пусть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системпроизвольная точка полуплоскости 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(см. рис. 302).

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Учитывая, что 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системнаходим:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системне могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системили на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

По формуле (78.1) при 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системнаходим:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. e. 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, или, в символической записи, 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображение функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Замечание:

Функция 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системявляется аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

— постоянные числа, то

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Используя свойства интеграла, находим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображения функций 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— любое число), с (const), 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Аналогично получаем формулу

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Далее, 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системт. е.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Аналогично получаем формулу

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системприводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем. Тогда

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Смещение (затухание)

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. умножение оригинала на функцию 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системвлечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти оригинал по его изображению

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системприводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем.

Положив 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, получим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системимеют одинаковый вид, но график функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системсдвинут на 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системединиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системописывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, начинается с опозданием на время 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем.

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

можно записать так:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(см. рис. 306, а), то, зная, что 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(см. формулу (78.4)), 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи, используя свойство линейности, находим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Если же понимать функцию f(t) как

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображение функции

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи обобщенной единичной функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем. Поэтому

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображение функции

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Изображение функции f(t) будет равно

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системявляются оригиналами, то

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

По определению изображения находим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Итак, 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системПользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Пусть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системТогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Дифференцирование изображения

Если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системто

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системСледовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображения функций 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Так как 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системт. е.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Продолжая дифференцирование, получим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

С учетом свойства смещения получаем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Согласно формуле (78.5), 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системСледовательно,

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Интегрирование оригинала

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системявляется оригиналом (можно проверить).

Пусть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системТогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

(так как 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем). А так как

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Интегрирование изображения

Если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи интеграл 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системсходится, то 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системт. е. интегрированию изображения от p до 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системсоответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти изображение функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системнайти изображение интегрального синуса 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

т. е. 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системПрименяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Умножение изображений

Если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системто

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Можно показать, что функция 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системявляется оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(см. рис. 309).

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Изменяя порядок интегрирования и полагая 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, получим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи обозначается символом 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, т. е.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Можно убедиться (положив 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти оригинал функций

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Следствие:

Если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системтакже является оригиналом, то

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Запишем произведение 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системв виде

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системПоэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системили

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Умножение оригиналов

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

где путь интегрирования — вертикальная прямая 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем(см. рис. 310) (примем без доказательства).

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

6. Дифференцирование изображения

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системможет быть представлена в виде ряда Лорана

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Следовательно, на основании теоремы 79.1

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Запишем лорановское разложение функции 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системв окрестности точки15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

где 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системСледовательно,

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Теорема:

Если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системправильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системто функция

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системдолжна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системна простейшие:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

где 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системэтого разложения умножим обе части этого равенства почленно на 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Переходя в этом равенстве к пределу при 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем, получаем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Итак, 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системАналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системнайдем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Подставляя найденные значения 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системв равенство (79.2), получим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Так как по формуле (78.3)

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

то на основании свойства линейности имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системопределяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Можно показать, что если 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системправильная дробь, но корни (нули) 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системзнаменателя В(р) имеют кратности 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системсоответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системявляется дробно-рациональной функцией от 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

где интеграл берется вдоль любой прямой 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем.

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Проще всего поступить так:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

корни знаменателя 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи, согласно формуле (79.1),

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

— простой корень знаменателя, 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

на сумму простейших дробей:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системи так как 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системпользуясь свойством умножения изображений, имеем:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

удовлетворяющее начальным условиям

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

где 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем— заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системПользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

В этом случае 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системпри условиях 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

Пусть 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системТогда

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Отсюда 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системНаходим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системно так как корни знаменателя 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и системпростые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Пример:

Найти решение уравнения

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

при условии 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Таким образом, имеем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

то по теореме запаздывания находим:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решение:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Система операторных уравнений принимает вид

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поделиться или сохранить к себе: