Уравнение предельного равновесия связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М для любой пло­щадки тп, проведенной через эту точку под углом а (рис. 64, а), возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности, суммарно оцениваемые [см. формулу (11.23′)] давлением связности рг. Тогда на площадку тп (рис. 64, а) будут действовать нормальное напряжение оа+ре и каса­тельное Та .

При изменении угла а величина составляющих напряжений так­же будет меняться и, если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по дру­гой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в дан­ной точке будет

Это отношение равно тангенсу угла отклонения 9, т. е. угла, на ко­торый отклоняется полное напряжение для площадки о от нормали к этой площадке.

Рис. 64. Круги предельных напряжений:

а — схема напряжений в данной точке; б— диаграмма сдвига для сыпучих грунтов; в — то же, для грунтов связных

Так как через заданную точку можно провести множество пло­щадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную пло­щадку, для которой будет существовать максимальный угол откло­нения бтах- Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (см. рис. 64, б) максимальное значение угла от­клонения бтах будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Как было показано ранее (см. гл. II, § 4) и что вытекает из гео­метрических соотношений, поставленному условию удовлетворяет

120 равенство (11.24):

где 01 и 02 — главные напряжения;

Ф — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грун­тов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

1 — 51П ф 1 + 51Пф

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак «минус» (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак «плюс» — пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения 01 и 02 через со­ставляющие напряжения о2, ау и хуг (для плоской задачи). Тогда будем иметь следующее выражение, тождественное зависимости (11.24):

(0у + ог) У> 1уг составляющие напряжении;

у — объемный вес грунта.

В этих двух дифференциальных уравнениях три неизвестных (ог, оу и хуг); таким образом, задача является (без добавочных усло­вий) статически неопределимой. Если же добавить к этим двум уравнениям третье, например, (П.251У), то получим замкнутую систему трех уравнений с тремя неизвестными, но для предельного на­пряженного состояния, так как уравнение (П.251У) является усло­вием предельного равновесия:

Таким образом, задача в общей постановке статически опреде­лима.

Решение дифференциаль­ных уравнений равновесия (а1) и (аг) совместно с усло­вием предельного равнове­сия (аз) в дальнейшем полу­чено (проф. В. В. Соколов­ским, 1942 г.) как системы уравнений гиперболического типа.

Пространственная задача имеет замкнутую систему уравнений (статиче­ски определимую) только для случая осевой симмет­рии.

Для осесимметричной за­дачи, воспользовавшись ци­линдрической системой ко­ординат (г, т>) и приняв обо­значения составляющих на­пряжений по рис. 65, имеем следующую систему уравне­ний равновесия:

Рис. 65. Схема пространственной

напряжении в случае осесимметричной за­дачи

Видео:📚Лекция VI-1. Теория предельного равновесияСкачать

Уравнение предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М (рис. 4.4, а) для любой площадки mn, проведенной через эту точку пол углом α, возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности; суммарно оцениваемые давлением связности ре. Тогда на площадку mn (рис. 4.4, а) будут действовать нормальное напряжение σ_α + р_е и касательное τ_α.

Рис. 4.4. Круги предельных напряжений: а – схема напряжений в данной точке; кривые сдвига для сыпучих (б) и связных (в) грунтов

При изменении угла α величины составляющих напряжений также будут меняться, и если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по другой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в данной точке будет

Если f — величина постоянная, то в предельном состоянии она представляет собой тангенс угла наклона прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений (рис. 4.4, б,в).

С другой стороны, согласно рис. 4.4, а

Это отношение равно тангенсу угла отклонения Θ, т. е. угла, на который отклоняется полное напряжение для площадки σ от нормали к этой площадке.

Так как через заданную точку можно провести множество площадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную площадку, для которой будет существовать максимальный угол отклонения Θ_max. Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (рис. 4.4, б) максимальное значение угла отклонения Θ_max будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Из геометрических соотношений вытекает, что поставленному условию удовлетворяет равенство:

где σ₁ и σ₂ —главные напряжения; φ — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грунтов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак минус (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак плюс – пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения σ₁ и σ₂ через составляющие напряжения σ_z, σ_y и τ_zy (для плоской задачи). Тогда будем иметь выражение:

Для связных грунтов, подобно предыдущему, пользуясь кривой предельных напряжений (рис. 4.4,в), получим условие предельного равновесия в виде

(2.25)

где с—сцепление грунта, определяемое как начальный параметр огибающей кругов предельных напряжений, то уравнение (2.25) может быть представлено в виде

Последняя формула широко используется в задачах теории предельного равновесия.

Условие предельного равновесия в составляющих напряжениях σ_z, σ_y и τ_zy для связных грунтов имеет следующий вид:

Отметим, что круг предельных напряжений дает возможность определить направления площадок скольжения для любой заданной точки.

Если соединить точку касания предельной прямой ОЕ (рис. 4.4, в) с концом отрезка, изображающего в масштабе σ₂ (точка А), то направление ЕА определит направление площадки скольжения. По рис. 4.4, в

Таким образом, в условиях предельного равновесия площадки скольжения будут наклонены под углом ±( 45°+ φ/2)к направлению площадки наибольшего главного напряжения, или, что то же самое, под углом ±(45°—φ/2) к направлению главного напряжения σ₁.

Дата добавления: 2015-01-29 ; просмотров: 276 ; Нарушение авторских прав

Видео:Лекция VI-1. Теория предельного равновесияСкачать

Условия предельного равновесия (условия прочности) сыпучих и связных грунтов

1. Для сыпучих грунтов (различного рода пески, крупнообломочные грунты, галечники). Зависимость σ – τ принимается прямой, проходящей через начало координат и наклонной к оси нормальных напряжений σ под углом внутреннего трения φ

Указанная зависимость – условие прочности грунта (закон Кулона) для сыпучих тел: сопротивление сыпучих грунтов сдвигу есть сопротивление трения, прямо пропорциональное нормальному давлению.

2. Для связных грунтов (пылевато-глинистые грунты) прямая σ – τ не проходит через начало координат, а отсекает отрезок c на оси τ, так как в связных грунтах, обладающих сцеплением между частицами, при отсутствии нормального давления (σ = 0) сопротивление грунта сдвигу больше нуля, что обусловливается силами сцепления

Общее сопротивление сдвигу связного грунта можно выразить уравнением:

Таким образом, сопротивление связного грунта сдвигу складывается из сопротивления трения, пропорционального нормальному давлению, плюс сцепление, не зависящее от давления.

Структурно-фазовая деформируемость грунтов. Принцип линейной деформируемости.

При не очень больших изменениях внешних давлений (порядка 100…300Па для обычных и до 500..700Па для плотных грунтов) с достаточной для практических целей точностью зависимость между деформациями ε и напряжениями σ может приниматься линейной. В этом случае для определения напряжений в грунтах применимы решения теории упругости.

Профессор Н.М.Герсеванов в 1931г. сформулировал принцип линейной деформируемости:

При небольших изменениях давлений грунты можно рассматривать как линейно деформируемые тела, т.е. с достаточной для практических целей точностью можно принимать зависимость между общими деформациями и напряжениями для грунтов линейной.

Распределение напряжений в грунтовой толще от действия сосредоточенной силы. Способ элементарного суммирования.

Определение напряжений в грунтовой толще от действия внешних нагрузок необходимо для установления условий прочности и устойчивости грунтов, определения деформаций и осадок оснований фундаментов.

В большинстве практических случаев при решении вопроса о распределении напряжений в грунтах в механике грунтов применяют теорию линейно деформируемых тел. Для определения напряжений по этой теории будут полностью справедливы уравнения теории упругости, также базирующиеся на линейной зависимости между напряжениями и деформациями (закон Гука).

💥 Видео

Применение метода предельного равновесия для расчет на сейсмику (МРЗ)Скачать

Лекция VI-2. Устойчивость откосов и склоновСкачать

М 1-2 Первое предельное состояниеСкачать

МГ. 2-11. Теория предельного напряжённого состоянияСкачать

Лекция VII-5. Численные методы в механике грунтовСкачать

Лекция VI-3. Давление грунтов на ограждающие конструкцииСкачать

Определяем в лаборатории коэффициент фильтрации грунтаСкачать

М 1-7 Расчетные параметры крупнообломочных грунтовСкачать

Определение плотности связных грунтов методом гидростатического взвешиванияСкачать

Лекция VII-2. Динамические свойства грунтовСкачать

Задача о составной конструкцииСкачать

МГ. 2-14. Давление грунта на сооружение (активное, пассивное давление грунта, давление покоя)Скачать

Сопротивление грунтов сдвигу и характеристики их прочности (угол внутреннего трения; сцепление)Скачать

М 1-9 Расчетные параметры скальных грунтовСкачать

Лекция №2. Физ. свойства грунтовСкачать

Вознесенский Е. А. - Грунтоведение - Прочностные свойства грунтовСкачать